Рейтинг не изменился после голоса: наименьшее число голосов — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Проценты и округление. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 23?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из двух футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 12. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 23?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из двух футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 12. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Показать ответ
а) нет: при 11 голосовавших рейтинг — это округление одного из чисел 100k/11, а они дают только значения 0, 9, 18, 27, 36, 45, 55, 64, 73, 82, 91, 100; числа 23 среди них нет
б) да, например при 8 проголосовавших голоса разделились как 7, 1: рейтинги равны 88, 13, а их сумма 101 больше 100
в) 105; например, за футболиста отдано 13 голосов из 105 (12,38 %), а до голоса Васи было 12 из 104 (11,54 %) — оба числа округляются до 12
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5, где k — голоса за футболиста, n — всего голосов.
а) При n = 11 возможные доли — это числа 100k/11 при k = 0, 1, …, 11; их округления дают только 0, 9, 18, 27, 36, 45, 55, 64, 73, 82, 91, 100. Значения 23 среди них нет. Ответ: нет.
б) Каждое округление увеличивает долю меньше чем на 0,5, но при доле, равной ровно «половине», округление идёт вверх. Возьмём 8 голосов, разделённых как 7, 1: рейтинги 88, 13, сумма 101 > 100. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100k/n, и 100(k − 1)/(n − 1) округляются до 12, то есть (2·12 − 1)n ≤ 200k < (2·12 + 1)n и то же самое для n − 1 и k − 1. Перебор n снизу даёт наименьшее n = 105 при k = 13: 11,54 % и 12,38 % — оба округляются до 12. Ответ: 105.
а) При n = 11 возможные доли — это числа 100k/11 при k = 0, 1, …, 11; их округления дают только 0, 9, 18, 27, 36, 45, 55, 64, 73, 82, 91, 100. Значения 23 среди них нет. Ответ: нет.
б) Каждое округление увеличивает долю меньше чем на 0,5, но при доле, равной ровно «половине», округление идёт вверх. Возьмём 8 голосов, разделённых как 7, 1: рейтинги 88, 13, сумма 101 > 100. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100k/n, и 100(k − 1)/(n − 1) округляются до 12, то есть (2·12 − 1)n ≤ 200k < (2·12 + 1)n и то же самое для n − 1 и k − 1. Перебор n снизу даёт наименьшее n = 105 при k = 13: 11,54 % и 12,38 % — оба округляются до 12. Ответ: 105.
Пример 2
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 17 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 22?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 15. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
а) Всего проголосовало 17 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 22?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 15. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Показать ответ
а) нет: при 17 голосовавших рейтинг — это округление одного из чисел 100k/17, а они дают только значения 0, 6, 12, 18, 24, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 76, 82, 88, 94, 100; числа 22 среди них нет
б) да, например при 6 проголосовавших голоса разделились как 4, 1, 1: рейтинги равны 67, 17, 17, а их сумма 101 больше 100
в) 97; например, за футболиста отдано 15 голосов из 97 (15,46 %), а до голоса Васи было 14 из 96 (14,58 %) — оба числа округляются до 15
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5, где k — голоса за футболиста, n — всего голосов.
а) При n = 17 возможные доли — это числа 100k/17 при k = 0, 1, …, 17; их округления дают только 0, 6, 12, 18, 24, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 76, 82, 88, 94, 100. Значения 22 среди них нет. Ответ: нет.
б) Каждое округление увеличивает долю меньше чем на 0,5, но при доле, равной ровно «половине», округление идёт вверх. Возьмём 6 голосов, разделённых как 4, 1, 1: рейтинги 67, 17, 17, сумма 101 > 100. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100k/n, и 100(k − 1)/(n − 1) округляются до 15, то есть (2·15 − 1)n ≤ 200k < (2·15 + 1)n и то же самое для n − 1 и k − 1. Перебор n снизу даёт наименьшее n = 97 при k = 15: 14,58 % и 15,46 % — оба округляются до 15. Ответ: 97.
а) При n = 17 возможные доли — это числа 100k/17 при k = 0, 1, …, 17; их округления дают только 0, 6, 12, 18, 24, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 76, 82, 88, 94, 100. Значения 22 среди них нет. Ответ: нет.
б) Каждое округление увеличивает долю меньше чем на 0,5, но при доле, равной ровно «половине», округление идёт вверх. Возьмём 6 голосов, разделённых как 4, 1, 1: рейтинги 67, 17, 17, сумма 101 > 100. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100k/n, и 100(k − 1)/(n − 1) округляются до 15, то есть (2·15 − 1)n ≤ 200k < (2·15 + 1)n и то же самое для n − 1 и k − 1. Перебор n снизу даёт наименьшее n = 97 при k = 15: 14,58 % и 15,46 % — оба округляются до 15. Ответ: 97.
Пример 3
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 12 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 24?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 7. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
а) Всего проголосовало 12 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 24?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 7. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Показать ответ
а) нет: при 12 голосовавших рейтинг — это округление одного из чисел 100k/12, а они дают только значения 0, 8, 17, 25, 33, 42, 50, 58, 67, 75, 83, 92, 100; числа 24 среди них нет
б) да, например при 6 проголосовавших голоса разделились как 4, 1, 1: рейтинги равны 67, 17, 17, а их сумма 101 больше 100
в) 107; например, за футболиста отдано 8 голосов из 107 (7,48 %), а до голоса Васи было 7 из 106 (6,6 %) — оба числа округляются до 7
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5, где k — голоса за футболиста, n — всего голосов.
а) При n = 12 возможные доли — это числа 100k/12 при k = 0, 1, …, 12; их округления дают только 0, 8, 17, 25, 33, 42, 50, 58, 67, 75, 83, 92, 100. Значения 24 среди них нет. Ответ: нет.
б) Каждое округление увеличивает долю меньше чем на 0,5, но при доле, равной ровно «половине», округление идёт вверх. Возьмём 6 голосов, разделённых как 4, 1, 1: рейтинги 67, 17, 17, сумма 101 > 100. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100k/n, и 100(k − 1)/(n − 1) округляются до 7, то есть (2·7 − 1)n ≤ 200k < (2·7 + 1)n и то же самое для n − 1 и k − 1. Перебор n снизу даёт наименьшее n = 107 при k = 8: 6,6 % и 7,48 % — оба округляются до 7. Ответ: 107.
а) При n = 12 возможные доли — это числа 100k/12 при k = 0, 1, …, 12; их округления дают только 0, 8, 17, 25, 33, 42, 50, 58, 67, 75, 83, 92, 100. Значения 24 среди них нет. Ответ: нет.
б) Каждое округление увеличивает долю меньше чем на 0,5, но при доле, равной ровно «половине», округление идёт вверх. Возьмём 6 голосов, разделённых как 4, 1, 1: рейтинги 67, 17, 17, сумма 101 > 100. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100k/n, и 100(k − 1)/(n − 1) округляются до 7, то есть (2·7 − 1)n ≤ 200k < (2·7 + 1)n и то же самое для n − 1 и k − 1. Перебор n снизу даёт наименьшее n = 107 при k = 8: 6,6 % и 7,48 % — оба округляются до 7. Ответ: 107.
Пример 4
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 12 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 22?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 8. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
а) Всего проголосовало 12 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 22?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 8. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Показать ответ
а) нет: при 12 голосовавших рейтинг — это округление одного из чисел 100k/12, а они дают только значения 0, 8, 17, 25, 33, 42, 50, 58, 67, 75, 83, 92, 100; числа 22 среди них нет
б) да, например при 6 проголосовавших голоса разделились как 4, 1, 1: рейтинги равны 67, 17, 17, а их сумма 101 больше 100
в) 106; например, за футболиста отдано 9 голосов из 106 (8,49 %), а до голоса Васи было 8 из 105 (7,62 %) — оба числа округляются до 8
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5, где k — голоса за футболиста, n — всего голосов.
а) При n = 12 возможные доли — это числа 100k/12 при k = 0, 1, …, 12; их округления дают только 0, 8, 17, 25, 33, 42, 50, 58, 67, 75, 83, 92, 100. Значения 22 среди них нет. Ответ: нет.
б) Каждое округление увеличивает долю меньше чем на 0,5, но при доле, равной ровно «половине», округление идёт вверх. Возьмём 6 голосов, разделённых как 4, 1, 1: рейтинги 67, 17, 17, сумма 101 > 100. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100k/n, и 100(k − 1)/(n − 1) округляются до 8, то есть (2·8 − 1)n ≤ 200k < (2·8 + 1)n и то же самое для n − 1 и k − 1. Перебор n снизу даёт наименьшее n = 106 при k = 9: 7,62 % и 8,49 % — оба округляются до 8. Ответ: 106.
а) При n = 12 возможные доли — это числа 100k/12 при k = 0, 1, …, 12; их округления дают только 0, 8, 17, 25, 33, 42, 50, 58, 67, 75, 83, 92, 100. Значения 22 среди них нет. Ответ: нет.
б) Каждое округление увеличивает долю меньше чем на 0,5, но при доле, равной ровно «половине», округление идёт вверх. Возьмём 6 голосов, разделённых как 4, 1, 1: рейтинги 67, 17, 17, сумма 101 > 100. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100k/n, и 100(k − 1)/(n − 1) округляются до 8, то есть (2·8 − 1)n ≤ 200k < (2·8 + 1)n и то же самое для n − 1 и k − 1. Перебор n снизу даёт наименьшее n = 106 при k = 9: 7,62 % и 8,49 % — оба округляются до 8. Ответ: 106.
Пример 5
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 20 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 42?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из четырёх футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 5. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
а) Всего проголосовало 20 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 42?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из четырёх футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 5. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Показать ответ
а) нет: при 20 голосовавших рейтинг — это округление одного из чисел 100k/20, а они дают только значения 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100; числа 42 среди них нет
б) да, например при 6 проголосовавших голоса разделились как 3, 1, 1, 1: рейтинги равны 50, 17, 17, 17, а их сумма 101 больше 100
в) 110; например, за футболиста отдано 6 голосов из 110 (5,45 %), а до голоса Васи было 5 из 109 (4,59 %) — оба числа округляются до 5
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5, где k — голоса за футболиста, n — всего голосов.
а) При n = 20 возможные доли — это числа 100k/20 при k = 0, 1, …, 20; их округления дают только 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100. Значения 42 среди них нет. Ответ: нет.
б) Каждое округление увеличивает долю меньше чем на 0,5, но при доле, равной ровно «половине», округление идёт вверх. Возьмём 6 голосов, разделённых как 3, 1, 1, 1: рейтинги 50, 17, 17, 17, сумма 101 > 100. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100k/n, и 100(k − 1)/(n − 1) округляются до 5, то есть (2·5 − 1)n ≤ 200k < (2·5 + 1)n и то же самое для n − 1 и k − 1. Перебор n снизу даёт наименьшее n = 110 при k = 6: 4,59 % и 5,45 % — оба округляются до 5. Ответ: 110.
а) При n = 20 возможные доли — это числа 100k/20 при k = 0, 1, …, 20; их округления дают только 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100. Значения 42 среди них нет. Ответ: нет.
б) Каждое округление увеличивает долю меньше чем на 0,5, но при доле, равной ровно «половине», округление идёт вверх. Возьмём 6 голосов, разделённых как 3, 1, 1, 1: рейтинги 50, 17, 17, 17, сумма 101 > 100. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100k/n, и 100(k − 1)/(n − 1) округляются до 5, то есть (2·5 − 1)n ≤ 200k < (2·5 + 1)n и то же самое для n − 1 и k − 1. Перебор n снизу даёт наименьшее n = 110 при k = 6: 4,59 % и 5,45 % — оба округляются до 5. Ответ: 110.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.