Шахматы: показатель «поражений» — наименьшее число партий — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Проценты и округление. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» — процент побед, округлённый до целого, «ничьи» — процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17.)
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 63, если было сыграно менее 40 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 3?
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 63, если было сыграно менее 40 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 3?
Показать ответ
а) да, например после 8 партий при 5 победах: 62,5 % округляется до 63
б) да, например после 18 партий при 13 победах и 4 ничьих: до последней (выигранной) партии показатель «поражений» был 5, а стал 6
в) 26; например, 3 победы, 22 ничьи и 1 поражение: «победы» = 12, «ничьи» = 85, «поражения» = 3
Решение
Показатель равен R ⟺ R − 0,5 ≤ процент < R + 0,5, поэтому каждое округление добавляет меньше 0,5.
а) Достаточно предъявить момент: после 8 партий и 5 побед процент побед равен 62,5 %, что округляется до 63, а 8 < 40. Ответ: да.
б) Выигранная партия увеличивает и число побед, и число партий, но процент ничьих при этом падает — и падать он может «через границу округления». Пример: 18 партий, 13 побед и 4 ничьи; показатель «поражений» вырос с 5 до 6. Ответ: да.
в) Пусть сыграно n партий: w побед, d ничьих и l ≥ 1 поражений. Тогда «победы» + «ничьи» < 100(w + d)/n + 1 = 100 − 100l/n + 1, поэтому показатель «поражений» больше 100l/n − 1. Из «поражений» = 3 получаем 100l/n − 1 < 3, то есть n > 100l/4 ≥ 25,00. Наименьшее n, при котором пример существует, равно 26: 3 победы, 22 ничьи, 1 поражение. Ответ: 26.
а) Достаточно предъявить момент: после 8 партий и 5 побед процент побед равен 62,5 %, что округляется до 63, а 8 < 40. Ответ: да.
б) Выигранная партия увеличивает и число побед, и число партий, но процент ничьих при этом падает — и падать он может «через границу округления». Пример: 18 партий, 13 побед и 4 ничьи; показатель «поражений» вырос с 5 до 6. Ответ: да.
в) Пусть сыграно n партий: w побед, d ничьих и l ≥ 1 поражений. Тогда «победы» + «ничьи» < 100(w + d)/n + 1 = 100 − 100l/n + 1, поэтому показатель «поражений» больше 100l/n − 1. Из «поражений» = 3 получаем 100l/n − 1 < 3, то есть n > 100l/4 ≥ 25,00. Наименьшее n, при котором пример существует, равно 26: 3 победы, 22 ничьи, 1 поражение. Ответ: 26.
Пример 2
В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» — процент побед, округлённый до целого, «ничьи» — процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17.)
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 26, если было сыграно менее 40 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 2?
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 26, если было сыграно менее 40 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 2?
Показать ответ
а) да, например после 19 партий при 5 победах: 26,32 % округляется до 26
б) да, например после 18 партий при 13 победах и 4 ничьих: до последней (выигранной) партии показатель «поражений» был 5, а стал 6
в) 34; например, 8 побед, 25 ничьих и 1 поражение: «победы» = 24, «ничьи» = 74, «поражения» = 2
Решение
Показатель равен R ⟺ R − 0,5 ≤ процент < R + 0,5, поэтому каждое округление добавляет меньше 0,5.
а) Достаточно предъявить момент: после 19 партий и 5 побед процент побед равен 26,32 %, что округляется до 26, а 19 < 40. Ответ: да.
б) Выигранная партия увеличивает и число побед, и число партий, но процент ничьих при этом падает — и падать он может «через границу округления». Пример: 18 партий, 13 побед и 4 ничьи; показатель «поражений» вырос с 5 до 6. Ответ: да.
в) Пусть сыграно n партий: w побед, d ничьих и l ≥ 1 поражений. Тогда «победы» + «ничьи» < 100(w + d)/n + 1 = 100 − 100l/n + 1, поэтому показатель «поражений» больше 100l/n − 1. Из «поражений» = 2 получаем 100l/n − 1 < 2, то есть n > 100l/3 ≥ 33,33. Наименьшее n, при котором пример существует, равно 34: 8 побед, 25 ничьих, 1 поражение. Ответ: 34.
а) Достаточно предъявить момент: после 19 партий и 5 побед процент побед равен 26,32 %, что округляется до 26, а 19 < 40. Ответ: да.
б) Выигранная партия увеличивает и число побед, и число партий, но процент ничьих при этом падает — и падать он может «через границу округления». Пример: 18 партий, 13 побед и 4 ничьи; показатель «поражений» вырос с 5 до 6. Ответ: да.
в) Пусть сыграно n партий: w побед, d ничьих и l ≥ 1 поражений. Тогда «победы» + «ничьи» < 100(w + d)/n + 1 = 100 − 100l/n + 1, поэтому показатель «поражений» больше 100l/n − 1. Из «поражений» = 2 получаем 100l/n − 1 < 2, то есть n > 100l/3 ≥ 33,33. Наименьшее n, при котором пример существует, равно 34: 8 побед, 25 ничьих, 1 поражение. Ответ: 34.
Пример 3
В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» — процент побед, округлённый до целого, «ничьи» — процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17.)
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 20, если было сыграно менее 40 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 20, если было сыграно менее 40 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?
Показать ответ
а) да, например после 5 партий при 1 победе: 20 % округляется до 20
б) да, например после 18 партий при 13 победах и 4 ничьих: до последней (выигранной) партии показатель «поражений» был 5, а стал 6
в) 51; например, 12 побед, 38 ничьих и 1 поражение: «победы» = 24, «ничьи» = 75, «поражения» = 1
Решение
Показатель равен R ⟺ R − 0,5 ≤ процент < R + 0,5, поэтому каждое округление добавляет меньше 0,5.
а) Достаточно предъявить момент: после 5 партий и 1 победы процент побед равен 20 %, что округляется до 20, а 5 < 40. Ответ: да.
б) Выигранная партия увеличивает и число побед, и число партий, но процент ничьих при этом падает — и падать он может «через границу округления». Пример: 18 партий, 13 побед и 4 ничьи; показатель «поражений» вырос с 5 до 6. Ответ: да.
в) Пусть сыграно n партий: w побед, d ничьих и l ≥ 1 поражений. Тогда «победы» + «ничьи» < 100(w + d)/n + 1 = 100 − 100l/n + 1, поэтому показатель «поражений» больше 100l/n − 1. Из «поражений» = 1 получаем 100l/n − 1 < 1, то есть n > 100l/2 ≥ 50,00. Наименьшее n, при котором пример существует, равно 51: 12 побед, 38 ничьих, 1 поражение. Ответ: 51.
а) Достаточно предъявить момент: после 5 партий и 1 победы процент побед равен 20 %, что округляется до 20, а 5 < 40. Ответ: да.
б) Выигранная партия увеличивает и число побед, и число партий, но процент ничьих при этом падает — и падать он может «через границу округления». Пример: 18 партий, 13 побед и 4 ничьи; показатель «поражений» вырос с 5 до 6. Ответ: да.
в) Пусть сыграно n партий: w побед, d ничьих и l ≥ 1 поражений. Тогда «победы» + «ничьи» < 100(w + d)/n + 1 = 100 − 100l/n + 1, поэтому показатель «поражений» больше 100l/n − 1. Из «поражений» = 1 получаем 100l/n − 1 < 1, то есть n > 100l/2 ≥ 50,00. Наименьшее n, при котором пример существует, равно 51: 12 побед, 38 ничьих, 1 поражение. Ответ: 51.
Пример 4
В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» — процент побед, округлённый до целого, «ничьи» — процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17.)
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 87, если было сыграно менее 40 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 3?
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 87, если было сыграно менее 40 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 3?
Показать ответ
а) да, например после 15 партий при 13 победах: 86,67 % округляется до 87
б) да, например после 18 партий при 13 победах и 4 ничьих: до последней (выигранной) партии показатель «поражений» был 5, а стал 6
в) 26; например, 3 победы, 22 ничьи и 1 поражение: «победы» = 12, «ничьи» = 85, «поражения» = 3
Решение
Показатель равен R ⟺ R − 0,5 ≤ процент < R + 0,5, поэтому каждое округление добавляет меньше 0,5.
а) Достаточно предъявить момент: после 15 партий и 13 побед процент побед равен 86,67 %, что округляется до 87, а 15 < 40. Ответ: да.
б) Выигранная партия увеличивает и число побед, и число партий, но процент ничьих при этом падает — и падать он может «через границу округления». Пример: 18 партий, 13 побед и 4 ничьи; показатель «поражений» вырос с 5 до 6. Ответ: да.
в) Пусть сыграно n партий: w побед, d ничьих и l ≥ 1 поражений. Тогда «победы» + «ничьи» < 100(w + d)/n + 1 = 100 − 100l/n + 1, поэтому показатель «поражений» больше 100l/n − 1. Из «поражений» = 3 получаем 100l/n − 1 < 3, то есть n > 100l/4 ≥ 25,00. Наименьшее n, при котором пример существует, равно 26: 3 победы, 22 ничьи, 1 поражение. Ответ: 26.
а) Достаточно предъявить момент: после 15 партий и 13 побед процент побед равен 86,67 %, что округляется до 87, а 15 < 40. Ответ: да.
б) Выигранная партия увеличивает и число побед, и число партий, но процент ничьих при этом падает — и падать он может «через границу округления». Пример: 18 партий, 13 побед и 4 ничьи; показатель «поражений» вырос с 5 до 6. Ответ: да.
в) Пусть сыграно n партий: w побед, d ничьих и l ≥ 1 поражений. Тогда «победы» + «ничьи» < 100(w + d)/n + 1 = 100 − 100l/n + 1, поэтому показатель «поражений» больше 100l/n − 1. Из «поражений» = 3 получаем 100l/n − 1 < 3, то есть n > 100l/4 ≥ 25,00. Наименьшее n, при котором пример существует, равно 26: 3 победы, 22 ничьи, 1 поражение. Ответ: 26.
Пример 5
В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» — процент побед, округлённый до целого, «ничьи» — процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17.)
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 47, если было сыграно менее 50 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 47, если было сыграно менее 50 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?
Показать ответ
а) да, например после 15 партий при 7 победах: 46,67 % округляется до 47
б) да, например после 18 партий при 13 победах и 4 ничьих: до последней (выигранной) партии показатель «поражений» был 5, а стал 6
в) 51; например, 12 побед, 38 ничьих и 1 поражение: «победы» = 24, «ничьи» = 75, «поражения» = 1
Решение
Показатель равен R ⟺ R − 0,5 ≤ процент < R + 0,5, поэтому каждое округление добавляет меньше 0,5.
а) Достаточно предъявить момент: после 15 партий и 7 побед процент побед равен 46,67 %, что округляется до 47, а 15 < 50. Ответ: да.
б) Выигранная партия увеличивает и число побед, и число партий, но процент ничьих при этом падает — и падать он может «через границу округления». Пример: 18 партий, 13 побед и 4 ничьи; показатель «поражений» вырос с 5 до 6. Ответ: да.
в) Пусть сыграно n партий: w побед, d ничьих и l ≥ 1 поражений. Тогда «победы» + «ничьи» < 100(w + d)/n + 1 = 100 − 100l/n + 1, поэтому показатель «поражений» больше 100l/n − 1. Из «поражений» = 1 получаем 100l/n − 1 < 1, то есть n > 100l/2 ≥ 50,00. Наименьшее n, при котором пример существует, равно 51: 12 побед, 38 ничьих, 1 поражение. Ответ: 51.
а) Достаточно предъявить момент: после 15 партий и 7 побед процент побед равен 46,67 %, что округляется до 47, а 15 < 50. Ответ: да.
б) Выигранная партия увеличивает и число побед, и число партий, но процент ничьих при этом падает — и падать он может «через границу округления». Пример: 18 партий, 13 побед и 4 ничьи; показатель «поражений» вырос с 5 до 6. Ответ: да.
в) Пусть сыграно n партий: w побед, d ничьих и l ≥ 1 поражений. Тогда «победы» + «ничьи» < 100(w + d)/n + 1 = 100 − 100l/n + 1, поэтому показатель «поражений» больше 100l/n − 1. Из «поражений» = 1 получаем 100l/n − 1 < 1, то есть n > 100l/2 ≥ 50,00. Наименьшее n, при котором пример существует, равно 51: 12 побед, 38 ничьих, 1 поражение. Ответ: 51.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.