Синие и красные карточки: наибольшее число синих — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Средние в контейнере. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой написаны натуральные числа, среднее арифметическое которых равно 18. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 35,4.
а) Может ли быть 20 синих карточек?
б) Может ли быть 11 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
а) Может ли быть 20 синих карточек?
б) Может ли быть 11 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
Показать ответ
а) да, например красные — 30 карточек с числом 1; синие — 20 карточек с числами 34, 35, 36, …, 53
б) нет: удвоение синих увеличивает общую сумму ровно на сумму синих, поэтому сумма чисел на синих равна 50·(35,4 − 18) = 870, а на красных — 30. При 11 красных карточках наибольшее красное число не меньше 3, значит 39 различных синих чисел дают в сумме не меньше 897 > 870
в) 38; например красные — 3 карточки с числом 1, 9 карточек с числом 3; синие — 38 карточек с числами 4, 5, 6, …, 42
Решение
После удвоения чисел на синих карточках сумма выросла ровно на сумму синих чисел, поэтому
S_син = 50·(35,4 − 18) = 870, а S_кр = 50·18 − 870 = 30.
Пусть красных карточек r, тогда синих 50 − r. Каждое красное число натуральное, поэтому r ≤ 30, а наибольшее красное число m не меньше ⌈30/r⌉. Числа на синих различны и больше m, поэтому
S_син ≥ (50 − r)(m + 1) + (50 − r)(50 − r − 1)/2.
а) При 20 синих карточках все красные равны 1, и условие выполняется: красные — 30 карточек с числом 1; синие — 20 карточек с числами 34, 35, 36, …, 53.
б) При 11 красных карточках m ≥ 3, и минимальная сумма синих равна 897, что больше 870. Значит столько красных быть не может.
в) Перебирая r, получаем наибольшее число синих 38 (при r = 12, m = 3): красные — 3 карточки с числом 1, 9 карточек с числом 3; синие — 38 карточек с числами 4, 5, 6, …, 42.
Ответ: 38.
S_син = 50·(35,4 − 18) = 870, а S_кр = 50·18 − 870 = 30.
Пусть красных карточек r, тогда синих 50 − r. Каждое красное число натуральное, поэтому r ≤ 30, а наибольшее красное число m не меньше ⌈30/r⌉. Числа на синих различны и больше m, поэтому
S_син ≥ (50 − r)(m + 1) + (50 − r)(50 − r − 1)/2.
а) При 20 синих карточках все красные равны 1, и условие выполняется: красные — 30 карточек с числом 1; синие — 20 карточек с числами 34, 35, 36, …, 53.
б) При 11 красных карточках m ≥ 3, и минимальная сумма синих равна 897, что больше 870. Значит столько красных быть не может.
в) Перебирая r, получаем наибольшее число синих 38 (при r = 12, m = 3): красные — 3 карточки с числом 1, 9 карточек с числом 3; синие — 38 карточек с числами 4, 5, 6, …, 42.
Ответ: 38.
Пример 2
Есть синие и красные карточки. Всего карточек 60 штук. На каждой написаны натуральные числа, среднее арифметическое которых равно 18. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 35,4.
а) Может ли быть 24 синих карточек?
б) Может ли быть 17 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
а) Может ли быть 24 синих карточек?
б) Может ли быть 17 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
Показать ответ
а) да, например красные — 36 карточек с числом 1; синие — 24 карточки с числами 32, 33, 34, …, 55
б) нет: удвоение синих увеличивает общую сумму ровно на сумму синих, поэтому сумма чисел на синих равна 60·(35,4 − 18) = 1044, а на красных — 36. При 17 красных карточках наибольшее красное число не меньше 3, значит 43 различных синих чисел дают в сумме не меньше 1075 > 1044
в) 42; например красные — 18 карточек с числом 2; синие — 42 карточки с числами 4, 5, 6, …, 46
Решение
После удвоения чисел на синих карточках сумма выросла ровно на сумму синих чисел, поэтому
S_син = 60·(35,4 − 18) = 1044, а S_кр = 60·18 − 1044 = 36.
Пусть красных карточек r, тогда синих 60 − r. Каждое красное число натуральное, поэтому r ≤ 36, а наибольшее красное число m не меньше ⌈36/r⌉. Числа на синих различны и больше m, поэтому
S_син ≥ (60 − r)(m + 1) + (60 − r)(60 − r − 1)/2.
а) При 24 синих карточках все красные равны 1, и условие выполняется: красные — 36 карточек с числом 1; синие — 24 карточки с числами 32, 33, 34, …, 55.
б) При 17 красных карточках m ≥ 3, и минимальная сумма синих равна 1075, что больше 1044. Значит столько красных быть не может.
в) Перебирая r, получаем наибольшее число синих 42 (при r = 18, m = 2): красные — 18 карточек с числом 2; синие — 42 карточки с числами 4, 5, 6, …, 46.
Ответ: 42.
S_син = 60·(35,4 − 18) = 1044, а S_кр = 60·18 − 1044 = 36.
Пусть красных карточек r, тогда синих 60 − r. Каждое красное число натуральное, поэтому r ≤ 36, а наибольшее красное число m не меньше ⌈36/r⌉. Числа на синих различны и больше m, поэтому
S_син ≥ (60 − r)(m + 1) + (60 − r)(60 − r − 1)/2.
а) При 24 синих карточках все красные равны 1, и условие выполняется: красные — 36 карточек с числом 1; синие — 24 карточки с числами 32, 33, 34, …, 55.
б) При 17 красных карточках m ≥ 3, и минимальная сумма синих равна 1075, что больше 1044. Значит столько красных быть не может.
в) Перебирая r, получаем наибольшее число синих 42 (при r = 18, m = 2): красные — 18 карточек с числом 2; синие — 42 карточки с числами 4, 5, 6, …, 46.
Ответ: 42.
Пример 3
Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой написаны натуральные числа, среднее арифметическое которых равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.
а) Может ли быть 10 синих карточек?
б) Может ли быть 14 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
а) Может ли быть 10 синих карточек?
б) Может ли быть 14 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
Показать ответ
а) да, например красные — 40 карточек с числом 1; синие — 10 карточек с числами 71, 72, 73, …, 81
б) нет: удвоение синих увеличивает общую сумму ровно на сумму синих, поэтому сумма чисел на синих равна 50·(31,2 − 16) = 760, а на красных — 40. При 14 красных карточках наибольшее красное число не меньше 3, значит 36 различных синих чисел дают в сумме не меньше 774 > 760
в) 35; например красные — 2 карточки с числом 1, 1 карточка с числом 2, 12 карточек с числом 3; синие — 35 карточек с числами 4, 5, 6, …, 39
Решение
После удвоения чисел на синих карточках сумма выросла ровно на сумму синих чисел, поэтому
S_син = 50·(31,2 − 16) = 760, а S_кр = 50·16 − 760 = 40.
Пусть красных карточек r, тогда синих 50 − r. Каждое красное число натуральное, поэтому r ≤ 40, а наибольшее красное число m не меньше ⌈40/r⌉. Числа на синих различны и больше m, поэтому
S_син ≥ (50 − r)(m + 1) + (50 − r)(50 − r − 1)/2.
а) При 10 синих карточках все красные равны 1, и условие выполняется: красные — 40 карточек с числом 1; синие — 10 карточек с числами 71, 72, 73, …, 81.
б) При 14 красных карточках m ≥ 3, и минимальная сумма синих равна 774, что больше 760. Значит столько красных быть не может.
в) Перебирая r, получаем наибольшее число синих 35 (при r = 15, m = 3): красные — 2 карточки с числом 1, 1 карточка с числом 2, 12 карточек с числом 3; синие — 35 карточек с числами 4, 5, 6, …, 39.
Ответ: 35.
S_син = 50·(31,2 − 16) = 760, а S_кр = 50·16 − 760 = 40.
Пусть красных карточек r, тогда синих 50 − r. Каждое красное число натуральное, поэтому r ≤ 40, а наибольшее красное число m не меньше ⌈40/r⌉. Числа на синих различны и больше m, поэтому
S_син ≥ (50 − r)(m + 1) + (50 − r)(50 − r − 1)/2.
а) При 10 синих карточках все красные равны 1, и условие выполняется: красные — 40 карточек с числом 1; синие — 10 карточек с числами 71, 72, 73, …, 81.
б) При 14 красных карточках m ≥ 3, и минимальная сумма синих равна 774, что больше 760. Значит столько красных быть не может.
в) Перебирая r, получаем наибольшее число синих 35 (при r = 15, m = 3): красные — 2 карточки с числом 1, 1 карточка с числом 2, 12 карточек с числом 3; синие — 35 карточек с числами 4, 5, 6, …, 39.
Ответ: 35.
Пример 4
Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой написаны натуральные числа, среднее арифметическое которых равно 18. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 35,6.
а) Может ли быть 30 синих карточек?
б) Может ли быть 10 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
а) Может ли быть 30 синих карточек?
б) Может ли быть 10 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
Показать ответ
а) да, например красные — 20 карточек с числом 1; синие — 30 карточек с числами 14, 15, 16, …, 44
б) нет: удвоение синих увеличивает общую сумму ровно на сумму синих, поэтому сумма чисел на синих равна 50·(35,6 − 18) = 880, а на красных — 20. При 10 красных карточках наибольшее красное число не меньше 2, значит 40 различных синих чисел дают в сумме не меньше 900 > 880
в) 39; например красные — 2 карточки с числом 1, 9 карточек с числом 2; синие — 39 карточек с числами 3, 4, 5, …, 42
Решение
После удвоения чисел на синих карточках сумма выросла ровно на сумму синих чисел, поэтому
S_син = 50·(35,6 − 18) = 880, а S_кр = 50·18 − 880 = 20.
Пусть красных карточек r, тогда синих 50 − r. Каждое красное число натуральное, поэтому r ≤ 20, а наибольшее красное число m не меньше ⌈20/r⌉. Числа на синих различны и больше m, поэтому
S_син ≥ (50 − r)(m + 1) + (50 − r)(50 − r − 1)/2.
а) При 30 синих карточках все красные равны 1, и условие выполняется: красные — 20 карточек с числом 1; синие — 30 карточек с числами 14, 15, 16, …, 44.
б) При 10 красных карточках m ≥ 2, и минимальная сумма синих равна 900, что больше 880. Значит столько красных быть не может.
в) Перебирая r, получаем наибольшее число синих 39 (при r = 11, m = 2): красные — 2 карточки с числом 1, 9 карточек с числом 2; синие — 39 карточек с числами 3, 4, 5, …, 42.
Ответ: 39.
S_син = 50·(35,6 − 18) = 880, а S_кр = 50·18 − 880 = 20.
Пусть красных карточек r, тогда синих 50 − r. Каждое красное число натуральное, поэтому r ≤ 20, а наибольшее красное число m не меньше ⌈20/r⌉. Числа на синих различны и больше m, поэтому
S_син ≥ (50 − r)(m + 1) + (50 − r)(50 − r − 1)/2.
а) При 30 синих карточках все красные равны 1, и условие выполняется: красные — 20 карточек с числом 1; синие — 30 карточек с числами 14, 15, 16, …, 44.
б) При 10 красных карточках m ≥ 2, и минимальная сумма синих равна 900, что больше 880. Значит столько красных быть не может.
в) Перебирая r, получаем наибольшее число синих 39 (при r = 11, m = 2): красные — 2 карточки с числом 1, 9 карточек с числом 2; синие — 39 карточек с числами 3, 4, 5, …, 42.
Ответ: 39.
Пример 5
Есть синие и красные карточки. Всего карточек 40 штук. На каждой написаны натуральные числа, среднее арифметическое которых равно 14. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 27,5.
а) Может ли быть 20 синих карточек?
б) Может ли быть 9 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
а) Может ли быть 20 синих карточек?
б) Может ли быть 9 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
Показать ответ
а) да, например красные — 20 карточек с числом 1; синие — 20 карточек с числами 17, 18, 19, …, 37
б) нет: удвоение синих увеличивает общую сумму ровно на сумму синих, поэтому сумма чисел на синих равна 40·(27,5 − 14) = 540, а на красных — 20. При 9 красных карточках наибольшее красное число не меньше 3, значит 31 различных синих чисел дают в сумме не меньше 589 > 540
в) 30; например красные — 10 карточек с числом 2; синие — 30 карточек с числами 3, 4, 5, …, 33
Решение
После удвоения чисел на синих карточках сумма выросла ровно на сумму синих чисел, поэтому
S_син = 40·(27,5 − 14) = 540, а S_кр = 40·14 − 540 = 20.
Пусть красных карточек r, тогда синих 40 − r. Каждое красное число натуральное, поэтому r ≤ 20, а наибольшее красное число m не меньше ⌈20/r⌉. Числа на синих различны и больше m, поэтому
S_син ≥ (40 − r)(m + 1) + (40 − r)(40 − r − 1)/2.
а) При 20 синих карточках все красные равны 1, и условие выполняется: красные — 20 карточек с числом 1; синие — 20 карточек с числами 17, 18, 19, …, 37.
б) При 9 красных карточках m ≥ 3, и минимальная сумма синих равна 589, что больше 540. Значит столько красных быть не может.
в) Перебирая r, получаем наибольшее число синих 30 (при r = 10, m = 2): красные — 10 карточек с числом 2; синие — 30 карточек с числами 3, 4, 5, …, 33.
Ответ: 30.
S_син = 40·(27,5 − 14) = 540, а S_кр = 40·14 − 540 = 20.
Пусть красных карточек r, тогда синих 40 − r. Каждое красное число натуральное, поэтому r ≤ 20, а наибольшее красное число m не меньше ⌈20/r⌉. Числа на синих различны и больше m, поэтому
S_син ≥ (40 − r)(m + 1) + (40 − r)(40 − r − 1)/2.
а) При 20 синих карточках все красные равны 1, и условие выполняется: красные — 20 карточек с числом 1; синие — 20 карточек с числами 17, 18, 19, …, 37.
б) При 9 красных карточках m ≥ 3, и минимальная сумма синих равна 589, что больше 540. Значит столько красных быть не может.
в) Перебирая r, получаем наибольшее число синих 30 (при r = 10, m = 2): красные — 10 карточек с числом 2; синие — 30 карточек с числами 3, 4, 5, …, 33.
Ответ: 30.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.