Скачок рейтинга после голоса: наибольшее число голосов — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Проценты и округление. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 14 посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным 86. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?
б) Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 12. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста, рейтинг стал равен 14. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
а) Всего проголосовало 14 посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным 86. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?
б) Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 12. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста, рейтинг стал равен 14. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Показать ответ
а) 87: рейтинг 86 при 14 голосовавших даёт ровно 12 голосов (85,71 %), после голоса Васи это 13 из 15 (86,67 %), то есть 87
б) да, например при 8 проголосовавших голоса разделились как 1 и 7: рейтинги 13 и 88, их сумма 101 больше 100
в) 74; например, за футболиста отдано 10 голосов из 74 (13,51 %), а до голоса Васи было 9 из 73 (12,33 %)
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5.
а) При 14 голосовавших рейтинг 86 даёт только k = 12: доля 85,71 %. После голоса Васи голосов стало 15, за футболиста — 13, доля 86,67 %, что округляется до 87. Ответ: 87.
б) Возьмём 8 голосов, разделённых как 1 и 7: доли округляются до 13 и 88, сумма 101 > 100 (каждое округление вверх добавляет до 0,5). Ответ: да.
в) Из 100k/n ≥ 14 − 0,5 и 100(k − 1)/(n − 1) < 12 + 0,5 после вычитания получаем n(14 − 12 − 1) < 100 − 12 − 0,5, то есть n < 87,5. Перебор в этих границах даёт наибольшее n = 74 при k = 10: 12,33 % и 13,51 %. Ответ: 74.
а) При 14 голосовавших рейтинг 86 даёт только k = 12: доля 85,71 %. После голоса Васи голосов стало 15, за футболиста — 13, доля 86,67 %, что округляется до 87. Ответ: 87.
б) Возьмём 8 голосов, разделённых как 1 и 7: доли округляются до 13 и 88, сумма 101 > 100 (каждое округление вверх добавляет до 0,5). Ответ: да.
в) Из 100k/n ≥ 14 − 0,5 и 100(k − 1)/(n − 1) < 12 + 0,5 после вычитания получаем n(14 − 12 − 1) < 100 − 12 − 0,5, то есть n < 87,5. Перебор в этих границах даёт наибольшее n = 74 при k = 10: 12,33 % и 13,51 %. Ответ: 74.
Пример 2
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным 27. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?
б) Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 7. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста, рейтинг стал равен 9. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным 27. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?
б) Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 7. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста, рейтинг стал равен 9. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Показать ответ
а) 33: рейтинг 27 при 11 голосовавших даёт ровно 3 голоса (27,27 %), после голоса Васи это 4 из 12 (33,33 %), то есть 33
б) да, например при 8 проголосовавших голоса разделились как 1 и 7: рейтинги 13 и 88, их сумма 101 больше 100
в) 82; например, за футболиста отдано 7 голосов из 82 (8,54 %), а до голоса Васи было 6 из 81 (7,41 %)
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5.
а) При 11 голосовавших рейтинг 27 даёт только k = 3: доля 27,27 %. После голоса Васи голосов стало 12, за футболиста — 4, доля 33,33 %, что округляется до 33. Ответ: 33.
б) Возьмём 8 голосов, разделённых как 1 и 7: доли округляются до 13 и 88, сумма 101 > 100 (каждое округление вверх добавляет до 0,5). Ответ: да.
в) Из 100k/n ≥ 9 − 0,5 и 100(k − 1)/(n − 1) < 7 + 0,5 после вычитания получаем n(9 − 7 − 1) < 100 − 7 − 0,5, то есть n < 92,5. Перебор в этих границах даёт наибольшее n = 82 при k = 7: 7,41 % и 8,54 %. Ответ: 82.
а) При 11 голосовавших рейтинг 27 даёт только k = 3: доля 27,27 %. После голоса Васи голосов стало 12, за футболиста — 4, доля 33,33 %, что округляется до 33. Ответ: 33.
б) Возьмём 8 голосов, разделённых как 1 и 7: доли округляются до 13 и 88, сумма 101 > 100 (каждое округление вверх добавляет до 0,5). Ответ: да.
в) Из 100k/n ≥ 9 − 0,5 и 100(k − 1)/(n − 1) < 7 + 0,5 после вычитания получаем n(9 − 7 − 1) < 100 − 7 − 0,5, то есть n < 92,5. Перебор в этих границах даёт наибольшее n = 82 при k = 7: 7,41 % и 8,54 %. Ответ: 82.
Пример 3
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 16 посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным 44. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?
б) Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 7. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста, рейтинг стал равен 9. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
а) Всего проголосовало 16 посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным 44. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?
б) Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 7. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста, рейтинг стал равен 9. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Показать ответ
а) 47: рейтинг 44 при 16 голосовавших даёт ровно 7 голосов (43,75 %), после голоса Васи это 8 из 17 (47,06 %), то есть 47
б) да, например при 8 проголосовавших голоса разделились как 1 и 7: рейтинги 13 и 88, их сумма 101 больше 100
в) 82; например, за футболиста отдано 7 голосов из 82 (8,54 %), а до голоса Васи было 6 из 81 (7,41 %)
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5.
а) При 16 голосовавших рейтинг 44 даёт только k = 7: доля 43,75 %. После голоса Васи голосов стало 17, за футболиста — 8, доля 47,06 %, что округляется до 47. Ответ: 47.
б) Возьмём 8 голосов, разделённых как 1 и 7: доли округляются до 13 и 88, сумма 101 > 100 (каждое округление вверх добавляет до 0,5). Ответ: да.
в) Из 100k/n ≥ 9 − 0,5 и 100(k − 1)/(n − 1) < 7 + 0,5 после вычитания получаем n(9 − 7 − 1) < 100 − 7 − 0,5, то есть n < 92,5. Перебор в этих границах даёт наибольшее n = 82 при k = 7: 7,41 % и 8,54 %. Ответ: 82.
а) При 16 голосовавших рейтинг 44 даёт только k = 7: доля 43,75 %. После голоса Васи голосов стало 17, за футболиста — 8, доля 47,06 %, что округляется до 47. Ответ: 47.
б) Возьмём 8 голосов, разделённых как 1 и 7: доли округляются до 13 и 88, сумма 101 > 100 (каждое округление вверх добавляет до 0,5). Ответ: да.
в) Из 100k/n ≥ 9 − 0,5 и 100(k − 1)/(n − 1) < 7 + 0,5 после вычитания получаем n(9 − 7 − 1) < 100 − 7 − 0,5, то есть n < 92,5. Перебор в этих границах даёт наибольшее n = 82 при k = 7: 7,41 % и 8,54 %. Ответ: 82.
Пример 4
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 15 посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным 20. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?
б) Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 6. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста, рейтинг стал равен 8. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
а) Всего проголосовало 15 посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным 20. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?
б) Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 6. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста, рейтинг стал равен 8. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Показать ответ
а) 25: рейтинг 20 при 15 голосовавших даёт ровно 3 голоса (20 %), после голоса Васи это 4 из 16 (25 %), то есть 25
б) да, например при 8 проголосовавших голоса разделились как 1 и 7: рейтинги 13 и 88, их сумма 101 больше 100
в) 80; например, за футболиста отдано 6 голосов из 80 (7,5 %), а до голоса Васи было 5 из 79 (6,33 %)
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5.
а) При 15 голосовавших рейтинг 20 даёт только k = 3: доля 20 %. После голоса Васи голосов стало 16, за футболиста — 4, доля 25 %, что округляется до 25. Ответ: 25.
б) Возьмём 8 голосов, разделённых как 1 и 7: доли округляются до 13 и 88, сумма 101 > 100 (каждое округление вверх добавляет до 0,5). Ответ: да.
в) Из 100k/n ≥ 8 − 0,5 и 100(k − 1)/(n − 1) < 6 + 0,5 после вычитания получаем n(8 − 6 − 1) < 100 − 6 − 0,5, то есть n < 93,5. Перебор в этих границах даёт наибольшее n = 80 при k = 6: 6,33 % и 7,5 %. Ответ: 80.
а) При 15 голосовавших рейтинг 20 даёт только k = 3: доля 20 %. После голоса Васи голосов стало 16, за футболиста — 4, доля 25 %, что округляется до 25. Ответ: 25.
б) Возьмём 8 голосов, разделённых как 1 и 7: доли округляются до 13 и 88, сумма 101 > 100 (каждое округление вверх добавляет до 0,5). Ответ: да.
в) Из 100k/n ≥ 8 − 0,5 и 100(k − 1)/(n − 1) < 6 + 0,5 после вычитания получаем n(8 − 6 − 1) < 100 − 6 − 0,5, то есть n < 93,5. Перебор в этих границах даёт наибольшее n = 80 при k = 6: 6,33 % и 7,5 %. Ответ: 80.
Пример 5
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным 77. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?
б) Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 11. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста, рейтинг стал равен 13. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
а) Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным 77. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?
б) Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 11. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста, рейтинг стал равен 13. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Показать ответ
а) 79: рейтинг 77 при 13 голосовавших даёт ровно 10 голосов (76,92 %), после голоса Васи это 11 из 14 (78,57 %), то есть 79
б) да, например при 8 проголосовавших голоса разделились как 1 и 7: рейтинги 13 и 88, их сумма 101 больше 100
в) 88; например, за футболиста отдано 11 голосов из 88 (12,5 %), а до голоса Васи было 10 из 87 (11,49 %)
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5.
а) При 13 голосовавших рейтинг 77 даёт только k = 10: доля 76,92 %. После голоса Васи голосов стало 14, за футболиста — 11, доля 78,57 %, что округляется до 79. Ответ: 79.
б) Возьмём 8 голосов, разделённых как 1 и 7: доли округляются до 13 и 88, сумма 101 > 100 (каждое округление вверх добавляет до 0,5). Ответ: да.
в) Из 100k/n ≥ 13 − 0,5 и 100(k − 1)/(n − 1) < 11 + 0,5 после вычитания получаем n(13 − 11 − 1) < 100 − 11 − 0,5, то есть n < 88,5. Перебор в этих границах даёт наибольшее n = 88 при k = 11: 11,49 % и 12,5 %. Ответ: 88.
а) При 13 голосовавших рейтинг 77 даёт только k = 10: доля 76,92 %. После голоса Васи голосов стало 14, за футболиста — 11, доля 78,57 %, что округляется до 79. Ответ: 79.
б) Возьмём 8 голосов, разделённых как 1 и 7: доли округляются до 13 и 88, сумма 101 > 100 (каждое округление вверх добавляет до 0,5). Ответ: да.
в) Из 100k/n ≥ 13 − 0,5 и 100(k − 1)/(n − 1) < 11 + 0,5 после вычитания получаем n(13 − 11 − 1) < 100 − 11 − 0,5, то есть n < 88,5. Перебор в этих границах даёт наибольшее n = 88 при k = 11: 11,49 % и 12,5 %. Ответ: 88.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.