Склад и контейнеры 1×1×3: наибольший гарантированный процент — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Расстановки и покрытия. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Склад имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длины рёбер которого выражаются целыми числами. Этот склад заполняют контейнерами размером 1 × 1 × 3. При этом контейнеры можно располагать как угодно, но их грани должны быть параллельны граням склада.
а) Могло ли получиться так, что склад объёмом 210 невозможно полностью заполнить контейнерами?
б) Могло ли получиться так, что на складе объёмом 100 невозможно разместить 33 контейнера?
в) Какой наибольший процент объёма любого склада объёмом не менее 200 гарантированно удастся заполнить контейнерами?
а) Могло ли получиться так, что склад объёмом 210 невозможно полностью заполнить контейнерами?
б) Могло ли получиться так, что на складе объёмом 100 невозможно разместить 33 контейнера?
в) Какой наибольший процент объёма любого склада объёмом не менее 200 гарантированно удастся заполнить контейнерами?
Показать ответ
а) нет: 210 делится на 3, а 3 — простое число, поэтому в любом разложении 210 = a · b · c хотя бы одно ребро кратно 3; вдоль него склад режется на слои толщины 3 и заполняется полностью
б) да, например склад 2 × 2 × 25: вдоль рёбер длины 2 контейнер не помещается, поэтому все контейнеры лежат вдоль длинной стороны, а в каждом из четырёх «столбиков» их не больше 8 — всего не больше 32 < 33
в) 96 %: любой склад a × b × c заполняется, кроме не более чем (a mod 3)(b mod 3)(c mod 3) ≤ 8 клеток, то есть не менее чем на (V − 8)/V; при V ≥ 200 это 96 %, и на складе 2 × 2 × 50 ровно 8 клеток остаются пустыми
Решение
а) 210 делится на 3, а 3 — простое, поэтому в любом разложении 210 = a · b · c хотя бы одно ребро делится на 3 (иначе произведение a · b · c не делилось бы на 3). Разрежем склад слоями толщины 3 вдоль этого ребра — каждый слой заполняется контейнерами полностью. Ответ: нет.
б) Возьмём склад 2 × 2 × 25 объёма 100. Контейнер длиной 3 не помещается вдоль рёбер длины 2, значит все контейнеры лежат вдоль длинной стороны. Склад распадается на четыре «столбика» 1 × 1 × 25, в каждый входит не больше ⌊25/3⌋ = 8 контейнеров, всего не больше 32, а это меньше 33. Ответ: да.
в) Уложим контейнеры в три этапа: сначала заполним часть 3⌊a/3⌋ × b × c вдоль ребра a, затем (a mod 3) × 3⌊b/3⌋ × c вдоль ребра b, затем (a mod 3) × (b mod 3) × 3⌊c/3⌋ вдоль ребра c. Незаполненным остаётся параллелепипед (a mod 3) × (b mod 3) × (c mod 3), то есть не более 2 · 2 · 2 = 8 клеток. Значит заполняется не менее (V − 8)/V объёма, а при V ≥ 200 это не менее 96 %. Оценка точная: на складе 2 × 2 × 50 все контейнеры лежат вдоль длинной стороны, их не больше 64, то есть заполняется ровно 192 из 200. Ответ: 96 %.
б) Возьмём склад 2 × 2 × 25 объёма 100. Контейнер длиной 3 не помещается вдоль рёбер длины 2, значит все контейнеры лежат вдоль длинной стороны. Склад распадается на четыре «столбика» 1 × 1 × 25, в каждый входит не больше ⌊25/3⌋ = 8 контейнеров, всего не больше 32, а это меньше 33. Ответ: да.
в) Уложим контейнеры в три этапа: сначала заполним часть 3⌊a/3⌋ × b × c вдоль ребра a, затем (a mod 3) × 3⌊b/3⌋ × c вдоль ребра b, затем (a mod 3) × (b mod 3) × 3⌊c/3⌋ вдоль ребра c. Незаполненным остаётся параллелепипед (a mod 3) × (b mod 3) × (c mod 3), то есть не более 2 · 2 · 2 = 8 клеток. Значит заполняется не менее (V − 8)/V объёма, а при V ≥ 200 это не менее 96 %. Оценка точная: на складе 2 × 2 × 50 все контейнеры лежат вдоль длинной стороны, их не больше 64, то есть заполняется ровно 192 из 200. Ответ: 96 %.
Пример 2
Склад имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длины рёбер которого выражаются целыми числами. Этот склад заполняют контейнерами размером 1 × 1 × 3. При этом контейнеры можно располагать как угодно, но их грани должны быть параллельны граням склада.
а) Могло ли получиться так, что склад объёмом 150 невозможно полностью заполнить контейнерами?
б) Могло ли получиться так, что на складе объёмом 220 невозможно разместить 73 контейнера?
в) Какой наибольший процент объёма любого склада объёмом не менее 80 гарантированно удастся заполнить контейнерами?
а) Могло ли получиться так, что склад объёмом 150 невозможно полностью заполнить контейнерами?
б) Могло ли получиться так, что на складе объёмом 220 невозможно разместить 73 контейнера?
в) Какой наибольший процент объёма любого склада объёмом не менее 80 гарантированно удастся заполнить контейнерами?
Показать ответ
а) нет: 150 делится на 3, а 3 — простое число, поэтому в любом разложении 150 = a · b · c хотя бы одно ребро кратно 3; вдоль него склад режется на слои толщины 3 и заполняется полностью
б) да, например склад 2 × 2 × 55: вдоль рёбер длины 2 контейнер не помещается, поэтому все контейнеры лежат вдоль длинной стороны, а в каждом из четырёх «столбиков» их не больше 18 — всего не больше 72 < 73
в) 90 %: любой склад a × b × c заполняется, кроме не более чем (a mod 3)(b mod 3)(c mod 3) ≤ 8 клеток, то есть не менее чем на (V − 8)/V; при V ≥ 80 это 90 %, и на складе 2 × 2 × 20 ровно 8 клеток остаются пустыми
Решение
а) 150 делится на 3, а 3 — простое, поэтому в любом разложении 150 = a · b · c хотя бы одно ребро делится на 3 (иначе произведение a · b · c не делилось бы на 3). Разрежем склад слоями толщины 3 вдоль этого ребра — каждый слой заполняется контейнерами полностью. Ответ: нет.
б) Возьмём склад 2 × 2 × 55 объёма 220. Контейнер длиной 3 не помещается вдоль рёбер длины 2, значит все контейнеры лежат вдоль длинной стороны. Склад распадается на четыре «столбика» 1 × 1 × 55, в каждый входит не больше ⌊55/3⌋ = 18 контейнеров, всего не больше 72, а это меньше 73. Ответ: да.
в) Уложим контейнеры в три этапа: сначала заполним часть 3⌊a/3⌋ × b × c вдоль ребра a, затем (a mod 3) × 3⌊b/3⌋ × c вдоль ребра b, затем (a mod 3) × (b mod 3) × 3⌊c/3⌋ вдоль ребра c. Незаполненным остаётся параллелепипед (a mod 3) × (b mod 3) × (c mod 3), то есть не более 2 · 2 · 2 = 8 клеток. Значит заполняется не менее (V − 8)/V объёма, а при V ≥ 80 это не менее 90 %. Оценка точная: на складе 2 × 2 × 20 все контейнеры лежат вдоль длинной стороны, их не больше 24, то есть заполняется ровно 72 из 80. Ответ: 90 %.
б) Возьмём склад 2 × 2 × 55 объёма 220. Контейнер длиной 3 не помещается вдоль рёбер длины 2, значит все контейнеры лежат вдоль длинной стороны. Склад распадается на четыре «столбика» 1 × 1 × 55, в каждый входит не больше ⌊55/3⌋ = 18 контейнеров, всего не больше 72, а это меньше 73. Ответ: да.
в) Уложим контейнеры в три этапа: сначала заполним часть 3⌊a/3⌋ × b × c вдоль ребра a, затем (a mod 3) × 3⌊b/3⌋ × c вдоль ребра b, затем (a mod 3) × (b mod 3) × 3⌊c/3⌋ вдоль ребра c. Незаполненным остаётся параллелепипед (a mod 3) × (b mod 3) × (c mod 3), то есть не более 2 · 2 · 2 = 8 клеток. Значит заполняется не менее (V − 8)/V объёма, а при V ≥ 80 это не менее 90 %. Оценка точная: на складе 2 × 2 × 20 все контейнеры лежат вдоль длинной стороны, их не больше 24, то есть заполняется ровно 72 из 80. Ответ: 90 %.
Пример 3
Склад имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длины рёбер которого выражаются целыми числами. Этот склад заполняют контейнерами размером 1 × 1 × 3. При этом контейнеры можно располагать как угодно, но их грани должны быть параллельны граням склада.
а) Могло ли получиться так, что склад объёмом 300 невозможно полностью заполнить контейнерами?
б) Могло ли получиться так, что на складе объёмом 160 невозможно разместить 53 контейнера?
в) Какой наибольший процент объёма любого склада объёмом не менее 200 гарантированно удастся заполнить контейнерами?
а) Могло ли получиться так, что склад объёмом 300 невозможно полностью заполнить контейнерами?
б) Могло ли получиться так, что на складе объёмом 160 невозможно разместить 53 контейнера?
в) Какой наибольший процент объёма любого склада объёмом не менее 200 гарантированно удастся заполнить контейнерами?
Показать ответ
а) нет: 300 делится на 3, а 3 — простое число, поэтому в любом разложении 300 = a · b · c хотя бы одно ребро кратно 3; вдоль него склад режется на слои толщины 3 и заполняется полностью
б) да, например склад 2 × 2 × 40: вдоль рёбер длины 2 контейнер не помещается, поэтому все контейнеры лежат вдоль длинной стороны, а в каждом из четырёх «столбиков» их не больше 13 — всего не больше 52 < 53
в) 96 %: любой склад a × b × c заполняется, кроме не более чем (a mod 3)(b mod 3)(c mod 3) ≤ 8 клеток, то есть не менее чем на (V − 8)/V; при V ≥ 200 это 96 %, и на складе 2 × 2 × 50 ровно 8 клеток остаются пустыми
Решение
а) 300 делится на 3, а 3 — простое, поэтому в любом разложении 300 = a · b · c хотя бы одно ребро делится на 3 (иначе произведение a · b · c не делилось бы на 3). Разрежем склад слоями толщины 3 вдоль этого ребра — каждый слой заполняется контейнерами полностью. Ответ: нет.
б) Возьмём склад 2 × 2 × 40 объёма 160. Контейнер длиной 3 не помещается вдоль рёбер длины 2, значит все контейнеры лежат вдоль длинной стороны. Склад распадается на четыре «столбика» 1 × 1 × 40, в каждый входит не больше ⌊40/3⌋ = 13 контейнеров, всего не больше 52, а это меньше 53. Ответ: да.
в) Уложим контейнеры в три этапа: сначала заполним часть 3⌊a/3⌋ × b × c вдоль ребра a, затем (a mod 3) × 3⌊b/3⌋ × c вдоль ребра b, затем (a mod 3) × (b mod 3) × 3⌊c/3⌋ вдоль ребра c. Незаполненным остаётся параллелепипед (a mod 3) × (b mod 3) × (c mod 3), то есть не более 2 · 2 · 2 = 8 клеток. Значит заполняется не менее (V − 8)/V объёма, а при V ≥ 200 это не менее 96 %. Оценка точная: на складе 2 × 2 × 50 все контейнеры лежат вдоль длинной стороны, их не больше 64, то есть заполняется ровно 192 из 200. Ответ: 96 %.
б) Возьмём склад 2 × 2 × 40 объёма 160. Контейнер длиной 3 не помещается вдоль рёбер длины 2, значит все контейнеры лежат вдоль длинной стороны. Склад распадается на четыре «столбика» 1 × 1 × 40, в каждый входит не больше ⌊40/3⌋ = 13 контейнеров, всего не больше 52, а это меньше 53. Ответ: да.
в) Уложим контейнеры в три этапа: сначала заполним часть 3⌊a/3⌋ × b × c вдоль ребра a, затем (a mod 3) × 3⌊b/3⌋ × c вдоль ребра b, затем (a mod 3) × (b mod 3) × 3⌊c/3⌋ вдоль ребра c. Незаполненным остаётся параллелепипед (a mod 3) × (b mod 3) × (c mod 3), то есть не более 2 · 2 · 2 = 8 клеток. Значит заполняется не менее (V − 8)/V объёма, а при V ≥ 200 это не менее 96 %. Оценка точная: на складе 2 × 2 × 50 все контейнеры лежат вдоль длинной стороны, их не больше 64, то есть заполняется ровно 192 из 200. Ответ: 96 %.
Пример 4
Склад имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длины рёбер которого выражаются целыми числами. Этот склад заполняют контейнерами размером 1 × 1 × 3. При этом контейнеры можно располагать как угодно, но их грани должны быть параллельны граням склада.
а) Могло ли получиться так, что склад объёмом 180 невозможно полностью заполнить контейнерами?
б) Могло ли получиться так, что на складе объёмом 400 невозможно разместить 133 контейнера?
в) Какой наибольший процент объёма любого склада объёмом не менее 800 гарантированно удастся заполнить контейнерами?
а) Могло ли получиться так, что склад объёмом 180 невозможно полностью заполнить контейнерами?
б) Могло ли получиться так, что на складе объёмом 400 невозможно разместить 133 контейнера?
в) Какой наибольший процент объёма любого склада объёмом не менее 800 гарантированно удастся заполнить контейнерами?
Показать ответ
а) нет: 180 делится на 3, а 3 — простое число, поэтому в любом разложении 180 = a · b · c хотя бы одно ребро кратно 3; вдоль него склад режется на слои толщины 3 и заполняется полностью
б) да, например склад 2 × 2 × 100: вдоль рёбер длины 2 контейнер не помещается, поэтому все контейнеры лежат вдоль длинной стороны, а в каждом из четырёх «столбиков» их не больше 33 — всего не больше 132 < 133
в) 99 %: любой склад a × b × c заполняется, кроме не более чем (a mod 3)(b mod 3)(c mod 3) ≤ 8 клеток, то есть не менее чем на (V − 8)/V; при V ≥ 800 это 99 %, и на складе 2 × 2 × 200 ровно 8 клеток остаются пустыми
Решение
а) 180 делится на 3, а 3 — простое, поэтому в любом разложении 180 = a · b · c хотя бы одно ребро делится на 3 (иначе произведение a · b · c не делилось бы на 3). Разрежем склад слоями толщины 3 вдоль этого ребра — каждый слой заполняется контейнерами полностью. Ответ: нет.
б) Возьмём склад 2 × 2 × 100 объёма 400. Контейнер длиной 3 не помещается вдоль рёбер длины 2, значит все контейнеры лежат вдоль длинной стороны. Склад распадается на четыре «столбика» 1 × 1 × 100, в каждый входит не больше ⌊100/3⌋ = 33 контейнеров, всего не больше 132, а это меньше 133. Ответ: да.
в) Уложим контейнеры в три этапа: сначала заполним часть 3⌊a/3⌋ × b × c вдоль ребра a, затем (a mod 3) × 3⌊b/3⌋ × c вдоль ребра b, затем (a mod 3) × (b mod 3) × 3⌊c/3⌋ вдоль ребра c. Незаполненным остаётся параллелепипед (a mod 3) × (b mod 3) × (c mod 3), то есть не более 2 · 2 · 2 = 8 клеток. Значит заполняется не менее (V − 8)/V объёма, а при V ≥ 800 это не менее 99 %. Оценка точная: на складе 2 × 2 × 200 все контейнеры лежат вдоль длинной стороны, их не больше 264, то есть заполняется ровно 792 из 800. Ответ: 99 %.
б) Возьмём склад 2 × 2 × 100 объёма 400. Контейнер длиной 3 не помещается вдоль рёбер длины 2, значит все контейнеры лежат вдоль длинной стороны. Склад распадается на четыре «столбика» 1 × 1 × 100, в каждый входит не больше ⌊100/3⌋ = 33 контейнеров, всего не больше 132, а это меньше 133. Ответ: да.
в) Уложим контейнеры в три этапа: сначала заполним часть 3⌊a/3⌋ × b × c вдоль ребра a, затем (a mod 3) × 3⌊b/3⌋ × c вдоль ребра b, затем (a mod 3) × (b mod 3) × 3⌊c/3⌋ вдоль ребра c. Незаполненным остаётся параллелепипед (a mod 3) × (b mod 3) × (c mod 3), то есть не более 2 · 2 · 2 = 8 клеток. Значит заполняется не менее (V − 8)/V объёма, а при V ≥ 800 это не менее 99 %. Оценка точная: на складе 2 × 2 × 200 все контейнеры лежат вдоль длинной стороны, их не больше 264, то есть заполняется ровно 792 из 800. Ответ: 99 %.
Пример 5
Склад имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длины рёбер которого выражаются целыми числами. Этот склад заполняют контейнерами размером 1 × 1 × 3. При этом контейнеры можно располагать как угодно, но их грани должны быть параллельны граням склада.
а) Могло ли получиться так, что склад объёмом 210 невозможно полностью заполнить контейнерами?
б) Могло ли получиться так, что на складе объёмом 220 невозможно разместить 73 контейнера?
в) Какой наибольший процент объёма любого склада объёмом не менее 800 гарантированно удастся заполнить контейнерами?
а) Могло ли получиться так, что склад объёмом 210 невозможно полностью заполнить контейнерами?
б) Могло ли получиться так, что на складе объёмом 220 невозможно разместить 73 контейнера?
в) Какой наибольший процент объёма любого склада объёмом не менее 800 гарантированно удастся заполнить контейнерами?
Показать ответ
а) нет: 210 делится на 3, а 3 — простое число, поэтому в любом разложении 210 = a · b · c хотя бы одно ребро кратно 3; вдоль него склад режется на слои толщины 3 и заполняется полностью
б) да, например склад 2 × 2 × 55: вдоль рёбер длины 2 контейнер не помещается, поэтому все контейнеры лежат вдоль длинной стороны, а в каждом из четырёх «столбиков» их не больше 18 — всего не больше 72 < 73
в) 99 %: любой склад a × b × c заполняется, кроме не более чем (a mod 3)(b mod 3)(c mod 3) ≤ 8 клеток, то есть не менее чем на (V − 8)/V; при V ≥ 800 это 99 %, и на складе 2 × 2 × 200 ровно 8 клеток остаются пустыми
Решение
а) 210 делится на 3, а 3 — простое, поэтому в любом разложении 210 = a · b · c хотя бы одно ребро делится на 3 (иначе произведение a · b · c не делилось бы на 3). Разрежем склад слоями толщины 3 вдоль этого ребра — каждый слой заполняется контейнерами полностью. Ответ: нет.
б) Возьмём склад 2 × 2 × 55 объёма 220. Контейнер длиной 3 не помещается вдоль рёбер длины 2, значит все контейнеры лежат вдоль длинной стороны. Склад распадается на четыре «столбика» 1 × 1 × 55, в каждый входит не больше ⌊55/3⌋ = 18 контейнеров, всего не больше 72, а это меньше 73. Ответ: да.
в) Уложим контейнеры в три этапа: сначала заполним часть 3⌊a/3⌋ × b × c вдоль ребра a, затем (a mod 3) × 3⌊b/3⌋ × c вдоль ребра b, затем (a mod 3) × (b mod 3) × 3⌊c/3⌋ вдоль ребра c. Незаполненным остаётся параллелепипед (a mod 3) × (b mod 3) × (c mod 3), то есть не более 2 · 2 · 2 = 8 клеток. Значит заполняется не менее (V − 8)/V объёма, а при V ≥ 800 это не менее 99 %. Оценка точная: на складе 2 × 2 × 200 все контейнеры лежат вдоль длинной стороны, их не больше 264, то есть заполняется ровно 792 из 800. Ответ: 99 %.
б) Возьмём склад 2 × 2 × 55 объёма 220. Контейнер длиной 3 не помещается вдоль рёбер длины 2, значит все контейнеры лежат вдоль длинной стороны. Склад распадается на четыре «столбика» 1 × 1 × 55, в каждый входит не больше ⌊55/3⌋ = 18 контейнеров, всего не больше 72, а это меньше 73. Ответ: да.
в) Уложим контейнеры в три этапа: сначала заполним часть 3⌊a/3⌋ × b × c вдоль ребра a, затем (a mod 3) × 3⌊b/3⌋ × c вдоль ребра b, затем (a mod 3) × (b mod 3) × 3⌊c/3⌋ вдоль ребра c. Незаполненным остаётся параллелепипед (a mod 3) × (b mod 3) × (c mod 3), то есть не более 2 · 2 · 2 = 8 клеток. Значит заполняется не менее (V − 8)/V объёма, а при V ≥ 800 это не менее 99 %. Оценка точная: на складе 2 × 2 × 200 все контейнеры лежат вдоль длинной стороны, их не больше 264, то есть заполняется ровно 792 из 800. Ответ: 99 %.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.