Сколько задач в сборнике и дней у Пети — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Вася и Петя решают сборник. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли быть в сборнике 121 задача?
б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трёх дней?
в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 14 дней, а количество задач в сборнике меньше 400?
а) Могло ли быть в сборнике 121 задача?
б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трёх дней?
в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 14 дней, а количество задач в сборнике меньше 400?
Показать ответ
а) да, например Вася решал 11 дней, начав с 6 задач, а Петя — 11 дней, начав с 1
б) нет: сумма задач Пети равна bp + b(b − 1) = b(p + b − 1), поэтому число дней Пети b делит 213. Разложение 213 = 3 · 71 показывает, что делителей, больших 3 и не превосходящих ⌊√213⌋ = 14, у него нет, а из p ≥ 1 следует b ≤ √213
в) 19; например в сборнике 399 задач: Вася решал 14 дней, начав с 22, а Петя — 19 дней, начав с 3
Решение
Сумма задач Пети равна bp + b(b − 1) = b(p + b − 1), поэтому число его дней b — делитель N, причём из p ≥ 1 следует b ≤ √N. Сумма задач Васи равна av + a(a − 1)/2.
а) Для N = 121 подходит, например, Вася — 11 дней с 6, Петя — 11 дней с 1.
б) Для N = 213 делителей, больших 3 и не превосходящих 14, нет, поэтому Петя не мог решать более 3 дней.
в) Если Вася решил сборник за 14 дней, то N = 14v + 91. Перебирая v при N < 400 и беря наибольший делитель N, не превосходящий √N, получаем 19 дней (N = 399, v = 22, p = 3).
Ответ: 19.
а) Для N = 121 подходит, например, Вася — 11 дней с 6, Петя — 11 дней с 1.
б) Для N = 213 делителей, больших 3 и не превосходящих 14, нет, поэтому Петя не мог решать более 3 дней.
в) Если Вася решил сборник за 14 дней, то N = 14v + 91. Перебирая v при N < 400 и беря наибольший делитель N, не превосходящий √N, получаем 19 дней (N = 399, v = 22, p = 3).
Ответ: 19.
Пример 2
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли быть в сборнике 115 задач?
б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трёх дней?
в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 400?
а) Могло ли быть в сборнике 115 задач?
б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трёх дней?
в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 400?
Показать ответ
а) да, например Вася решал 10 дней, начав с 7 задач, а Петя — 5 дней, начав с 19
б) нет: сумма задач Пети равна bp + b(b − 1) = b(p + b − 1), поэтому число дней Пети b делит 213. Разложение 213 = 3 · 71 показывает, что делителей, больших 3 и не превосходящих ⌊√213⌋ = 14, у него нет, а из p ≥ 1 следует b ≤ √213
в) 18; например в сборнике 360 задач: Вася решал 16 дней, начав с 15, а Петя — 18 дней, начав с 3
Решение
Сумма задач Пети равна bp + b(b − 1) = b(p + b − 1), поэтому число его дней b — делитель N, причём из p ≥ 1 следует b ≤ √N. Сумма задач Васи равна av + a(a − 1)/2.
а) Для N = 115 подходит, например, Вася — 10 дней с 7, Петя — 5 дней с 19.
б) Для N = 213 делителей, больших 3 и не превосходящих 14, нет, поэтому Петя не мог решать более 3 дней.
в) Если Вася решил сборник за 16 дней, то N = 16v + 120. Перебирая v при N < 400 и беря наибольший делитель N, не превосходящий √N, получаем 18 дней (N = 360, v = 15, p = 3).
Ответ: 18.
а) Для N = 115 подходит, например, Вася — 10 дней с 7, Петя — 5 дней с 19.
б) Для N = 213 делителей, больших 3 и не превосходящих 14, нет, поэтому Петя не мог решать более 3 дней.
в) Если Вася решил сборник за 16 дней, то N = 16v + 120. Перебирая v при N < 400 и беря наибольший делитель N, не превосходящий √N, получаем 18 дней (N = 360, v = 15, p = 3).
Ответ: 18.
Пример 3
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли быть в сборнике 121 задача?
б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трёх дней?
в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 400?
а) Могло ли быть в сборнике 121 задача?
б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трёх дней?
в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 400?
Показать ответ
а) да, например Вася решал 11 дней, начав с 6 задач, а Петя — 11 дней, начав с 1
б) нет: сумма задач Пети равна bp + b(b − 1) = b(p + b − 1), поэтому число дней Пети b делит 213. Разложение 213 = 3 · 71 показывает, что делителей, больших 3 и не превосходящих ⌊√213⌋ = 14, у него нет, а из p ≥ 1 следует b ≤ √213
в) 18; например в сборнике 360 задач: Вася решал 16 дней, начав с 15, а Петя — 18 дней, начав с 3
Решение
Сумма задач Пети равна bp + b(b − 1) = b(p + b − 1), поэтому число его дней b — делитель N, причём из p ≥ 1 следует b ≤ √N. Сумма задач Васи равна av + a(a − 1)/2.
а) Для N = 121 подходит, например, Вася — 11 дней с 6, Петя — 11 дней с 1.
б) Для N = 213 делителей, больших 3 и не превосходящих 14, нет, поэтому Петя не мог решать более 3 дней.
в) Если Вася решил сборник за 16 дней, то N = 16v + 120. Перебирая v при N < 400 и беря наибольший делитель N, не превосходящий √N, получаем 18 дней (N = 360, v = 15, p = 3).
Ответ: 18.
а) Для N = 121 подходит, например, Вася — 11 дней с 6, Петя — 11 дней с 1.
б) Для N = 213 делителей, больших 3 и не превосходящих 14, нет, поэтому Петя не мог решать более 3 дней.
в) Если Вася решил сборник за 16 дней, то N = 16v + 120. Перебирая v при N < 400 и беря наибольший делитель N, не превосходящий √N, получаем 18 дней (N = 360, v = 15, p = 3).
Ответ: 18.
Пример 4
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли быть в сборнике 91 задача?
б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трёх дней?
в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 14 дней, а количество задач в сборнике меньше 400?
а) Могло ли быть в сборнике 91 задача?
б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трёх дней?
в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 14 дней, а количество задач в сборнике меньше 400?
Показать ответ
а) да, например Вася решал 13 дней, начав с 1 задачи, а Петя — 7 дней, начав с 7
б) нет: сумма задач Пети равна bp + b(b − 1) = b(p + b − 1), поэтому число дней Пети b делит 213. Разложение 213 = 3 · 71 показывает, что делителей, больших 3 и не превосходящих ⌊√213⌋ = 14, у него нет, а из p ≥ 1 следует b ≤ √213
в) 19; например в сборнике 399 задач: Вася решал 14 дней, начав с 22, а Петя — 19 дней, начав с 3
Решение
Сумма задач Пети равна bp + b(b − 1) = b(p + b − 1), поэтому число его дней b — делитель N, причём из p ≥ 1 следует b ≤ √N. Сумма задач Васи равна av + a(a − 1)/2.
а) Для N = 91 подходит, например, Вася — 13 дней с 1, Петя — 7 дней с 7.
б) Для N = 213 делителей, больших 3 и не превосходящих 14, нет, поэтому Петя не мог решать более 3 дней.
в) Если Вася решил сборник за 14 дней, то N = 14v + 91. Перебирая v при N < 400 и беря наибольший делитель N, не превосходящий √N, получаем 19 дней (N = 399, v = 22, p = 3).
Ответ: 19.
а) Для N = 91 подходит, например, Вася — 13 дней с 1, Петя — 7 дней с 7.
б) Для N = 213 делителей, больших 3 и не превосходящих 14, нет, поэтому Петя не мог решать более 3 дней.
в) Если Вася решил сборник за 14 дней, то N = 14v + 91. Перебирая v при N < 400 и беря наибольший делитель N, не превосходящий √N, получаем 19 дней (N = 399, v = 22, p = 3).
Ответ: 19.
Пример 5
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли быть в сборнике 91 задача?
б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трёх дней?
в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 400?
а) Могло ли быть в сборнике 91 задача?
б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трёх дней?
в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 400?
Показать ответ
а) да, например Вася решал 13 дней, начав с 1 задачи, а Петя — 7 дней, начав с 7
б) нет: сумма задач Пети равна bp + b(b − 1) = b(p + b − 1), поэтому число дней Пети b делит 213. Разложение 213 = 3 · 71 показывает, что делителей, больших 3 и не превосходящих ⌊√213⌋ = 14, у него нет, а из p ≥ 1 следует b ≤ √213
в) 18; например в сборнике 360 задач: Вася решал 16 дней, начав с 15, а Петя — 18 дней, начав с 3
Решение
Сумма задач Пети равна bp + b(b − 1) = b(p + b − 1), поэтому число его дней b — делитель N, причём из p ≥ 1 следует b ≤ √N. Сумма задач Васи равна av + a(a − 1)/2.
а) Для N = 91 подходит, например, Вася — 13 дней с 1, Петя — 7 дней с 7.
б) Для N = 213 делителей, больших 3 и не превосходящих 14, нет, поэтому Петя не мог решать более 3 дней.
в) Если Вася решил сборник за 16 дней, то N = 16v + 120. Перебирая v при N < 400 и беря наибольший делитель N, не превосходящий √N, получаем 18 дней (N = 360, v = 15, p = 3).
Ответ: 18.
а) Для N = 91 подходит, например, Вася — 13 дней с 1, Петя — 7 дней с 7.
б) Для N = 213 делителей, больших 3 и не превосходящих 14, нет, поэтому Петя не мог решать более 3 дней.
в) Если Вася решил сборник за 16 дней, то N = 16v + 120. Перебирая v при N < 400 и беря наибольший делитель N, не превосходящий √N, получаем 18 дней (N = 360, v = 15, p = 3).
Ответ: 18.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.