Средние упали на 10 %: наименьший балл в школе № 2 — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Две школы, средний балл. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 21 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 157?
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 157?
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Показать ответ
а) да, например в школе №1 было 2 учащихся с баллами 57 и 3 (средний 30); после ухода учащегося с баллом 57 средний стал 3, то есть уменьшился в 10 раз
б) нет: при каждом числе учащихся школы №1 первоначальный средний балл школы №2 обязан быть кратен одному из чисел 20, 25, 26, 40, 45, 110 и 115, а 157 — простое число, большее любого из них, и ни на одно из них не делится
в) 20; например: в школе №1 было 19 учащихся с баллами 14, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4 и 4 (средний 5), в школе №2 — 2 учащихся с баллами по 20; переходит учащийся с баллом 14
Решение
Пусть в школе №1 было n учащихся со средним баллом a, в школе №2 — m учащихся со средним b, n + m = 21, и перешёл учащийся с баллом x.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 0,9a и (bm + x)/(m + 1) = 0,9b. Отсюда 10x = a·(n + 9) = b·(9 − m).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 20, 25, 26, 40, 45, 110 и 115. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 20.
Оно достигается при n = 19, m = 2, a = 5, x = 14.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 0,9a и (bm + x)/(m + 1) = 0,9b. Отсюда 10x = a·(n + 9) = b·(9 − m).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 20, 25, 26, 40, 45, 110 и 115. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 20.
Оно достигается при n = 19, m = 2, a = 5, x = 14.
Пример 2
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 11 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 113?
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 113?
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Показать ответ
а) да, например в школе №1 было 2 учащихся с баллами 95 и 5 (средний 50); после ухода учащегося с баллом 95 средний стал 5, то есть уменьшился в 10 раз
б) нет: при каждом числе учащихся школы №1 первоначальный средний балл школы №2 обязан быть кратен одному из чисел 15, 16, 60, 65, 70, 85 и 90, а 113 — простое число, большее любого из них, и ни на одно из них не делится
в) 15; например: в школе №1 было 6 учащихся с баллами 6, 4, 4, 4, 3 и 3 (средний 4), в школе №2 — 5 учащихся с баллами по 15; переходит учащийся с баллом 6
Решение
Пусть в школе №1 было n учащихся со средним баллом a, в школе №2 — m учащихся со средним b, n + m = 11, и перешёл учащийся с баллом x.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 0,9a и (bm + x)/(m + 1) = 0,9b. Отсюда 10x = a·(n + 9) = b·(9 − m).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 15, 16, 60, 65, 70, 85 и 90. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 15.
Оно достигается при n = 6, m = 5, a = 4, x = 6.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 0,9a и (bm + x)/(m + 1) = 0,9b. Отсюда 10x = a·(n + 9) = b·(9 − m).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 15, 16, 60, 65, 70, 85 и 90. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 15.
Оно достигается при n = 6, m = 5, a = 4, x = 6.
Пример 3
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 17 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 151?
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 151?
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Показать ответ
а) да, например в школе №1 было 2 учащихся с баллами 76 и 4 (средний 40); после ухода учащегося с баллом 76 средний стал 4, то есть уменьшился в 10 раз
б) нет: при каждом числе учащихся школы №1 первоначальный средний балл школы №2 обязан быть кратен одному из чисел 20, 22, 90, 95, 105, 115 и 120, а 151 — простое число, большее любого из них, и ни на одно из них не делится
в) 20; например: в школе №1 было 11 учащихся с баллами 6, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 2 и 2 (средний 3), в школе №2 — 6 учащихся с баллами по 20; переходит учащийся с баллом 6
Решение
Пусть в школе №1 было n учащихся со средним баллом a, в школе №2 — m учащихся со средним b, n + m = 17, и перешёл учащийся с баллом x.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 0,9a и (bm + x)/(m + 1) = 0,9b. Отсюда 10x = a·(n + 9) = b·(9 − m).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 20, 22, 90, 95, 105, 115 и 120. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 20.
Оно достигается при n = 11, m = 6, a = 3, x = 6.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 0,9a и (bm + x)/(m + 1) = 0,9b. Отсюда 10x = a·(n + 9) = b·(9 − m).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 20, 22, 90, 95, 105, 115 и 120. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 20.
Оно достигается при n = 11, m = 6, a = 3, x = 6.
Пример 4
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 15 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 199?
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 199?
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Показать ответ
а) да, например в школе №1 было 2 учащихся с баллами 38 и 2 (средний 20); после ухода учащегося с баллом 38 средний стал 2, то есть уменьшился в 10 раз
б) нет: при каждом числе учащихся школы №1 первоначальный средний балл школы №2 обязан быть кратен одному из чисел 4, 30, 35, 80, 85, 95 и 110, а 199 — простое число, большее любого из них, и ни на одно из них не делится
в) 8; например: в школе №1 было 11 учащихся с баллами 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1 и 1 (средний 2), в школе №2 — 4 учащихся с баллами по 8; переходит учащийся с баллом 4
Решение
Пусть в школе №1 было n учащихся со средним баллом a, в школе №2 — m учащихся со средним b, n + m = 15, и перешёл учащийся с баллом x.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 0,9a и (bm + x)/(m + 1) = 0,9b. Отсюда 10x = a·(n + 9) = b·(9 − m).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 4, 30, 35, 80, 85, 95 и 110. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 8.
Оно достигается при n = 11, m = 4, a = 2, x = 4.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 0,9a и (bm + x)/(m + 1) = 0,9b. Отсюда 10x = a·(n + 9) = b·(9 − m).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 4, 30, 35, 80, 85, 95 и 110. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 8.
Оно достигается при n = 11, m = 4, a = 2, x = 4.
Пример 5
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 19 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 131?
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 131?
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Показать ответ
а) да, например в школе №1 было 2 учащихся с баллами 57 и 3 (средний 30); после ухода учащегося с баллом 57 средний стал 3, то есть уменьшился в 10 раз
б) нет: при каждом числе учащихся школы №1 первоначальный средний балл школы №2 обязан быть кратен одному из чисел 20, 24, 25, 105, 110, 115 и 130, а 131 — простое число, большее любого из них, и ни на одно из них не делится
в) 24; например: в школе №1 было 15 учащихся с баллами 12, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 4, 4 и 4 (средний 5), в школе №2 — 4 учащихся с баллами по 24; переходит учащийся с баллом 12
Решение
Пусть в школе №1 было n учащихся со средним баллом a, в школе №2 — m учащихся со средним b, n + m = 19, и перешёл учащийся с баллом x.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 0,9a и (bm + x)/(m + 1) = 0,9b. Отсюда 10x = a·(n + 9) = b·(9 − m).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 20, 24, 25, 105, 110, 115 и 130. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 24.
Оно достигается при n = 15, m = 4, a = 5, x = 12.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 0,9a и (bm + x)/(m + 1) = 0,9b. Отсюда 10x = a·(n + 9) = b·(9 − m).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 20, 24, 25, 105, 110, 115 и 130. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 24.
Оно достигается при n = 15, m = 4, a = 5, x = 12.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.