Средние выросли на 10 %: наименьший балл в школе № 2 — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Две школы, средний балл. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 11 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 197?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 197?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Показать ответ
а) нет: если в школе №1 было n ≥ 2 учащихся со средним a, то после ухода учащегося с баллом x средний равен (an − x)/(n − 1); равенство (an − x)/(n − 1) = 2a даёт x = a(2 − n) ≤ 0, а балл обязан быть натуральным
б) нет: при каждом числе учащихся школы №1 первоначальный средний балл школы №2 обязан быть кратен одному из чисел 4, 5, 9, 10, 15, 30, 35 и 40, а 197 — простое число, большее любого из них, и ни на одно из них не делится
в) 4; например: в школе №1 было 7 учащихся с баллами 6, 17, 17, 17, 16, 16 и 16 (средний 15), в школе №2 — 4 учащихся с баллами по 4; переходит учащийся с баллом 6
Решение
Пусть в школе №1 было n учащихся со средним баллом a, в школе №2 — m учащихся со средним b, n + m = 11, и перешёл учащийся с баллом x.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 1,1a и (bm + x)/(m + 1) = 1,1b. Отсюда 10x = a·(11 − n) = b·(m + 11).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 4, 5, 9, 10, 15, 30, 35 и 40. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 4.
Оно достигается при n = 7, m = 4, a = 15, x = 6.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 1,1a и (bm + x)/(m + 1) = 1,1b. Отсюда 10x = a·(11 − n) = b·(m + 11).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 4, 5, 9, 10, 15, 30, 35 и 40. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 4.
Оно достигается при n = 7, m = 4, a = 15, x = 6.
Пример 2
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 11 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 191?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 191?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Показать ответ
а) нет: если в школе №1 было n ≥ 2 учащихся со средним a, то после ухода учащегося с баллом x средний равен (an − x)/(n − 1); равенство (an − x)/(n − 1) = 2a даёт x = a(2 − n) ≤ 0, а балл обязан быть натуральным
б) нет: при каждом числе учащихся школы №1 первоначальный средний балл школы №2 обязан быть кратен одному из чисел 4, 5, 9, 10, 15, 30, 35 и 40, а 191 — простое число, большее любого из них, и ни на одно из них не делится
в) 4; например: в школе №1 было 7 учащихся с баллами 6, 17, 17, 17, 16, 16 и 16 (средний 15), в школе №2 — 4 учащихся с баллами по 4; переходит учащийся с баллом 6
Решение
Пусть в школе №1 было n учащихся со средним баллом a, в школе №2 — m учащихся со средним b, n + m = 11, и перешёл учащийся с баллом x.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 1,1a и (bm + x)/(m + 1) = 1,1b. Отсюда 10x = a·(11 − n) = b·(m + 11).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 4, 5, 9, 10, 15, 30, 35 и 40. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 4.
Оно достигается при n = 7, m = 4, a = 15, x = 6.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 1,1a и (bm + x)/(m + 1) = 1,1b. Отсюда 10x = a·(11 − n) = b·(m + 11).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 4, 5, 9, 10, 15, 30, 35 и 40. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 4.
Оно достигается при n = 7, m = 4, a = 15, x = 6.
Пример 3
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 11 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 181?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 181?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Показать ответ
а) нет: если в школе №1 было n ≥ 2 учащихся со средним a, то после ухода учащегося с баллом x средний равен (an − x)/(n − 1); равенство (an − x)/(n − 1) = 2a даёт x = a(2 − n) ≤ 0, а балл обязан быть натуральным
б) нет: при каждом числе учащихся школы №1 первоначальный средний балл школы №2 обязан быть кратен одному из чисел 4, 5, 9, 10, 15, 30, 35 и 40, а 181 — простое число, большее любого из них, и ни на одно из них не делится
в) 4; например: в школе №1 было 7 учащихся с баллами 6, 17, 17, 17, 16, 16 и 16 (средний 15), в школе №2 — 4 учащихся с баллами по 4; переходит учащийся с баллом 6
Решение
Пусть в школе №1 было n учащихся со средним баллом a, в школе №2 — m учащихся со средним b, n + m = 11, и перешёл учащийся с баллом x.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 1,1a и (bm + x)/(m + 1) = 1,1b. Отсюда 10x = a·(11 − n) = b·(m + 11).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 4, 5, 9, 10, 15, 30, 35 и 40. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 4.
Оно достигается при n = 7, m = 4, a = 15, x = 6.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 1,1a и (bm + x)/(m + 1) = 1,1b. Отсюда 10x = a·(11 − n) = b·(m + 11).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 4, 5, 9, 10, 15, 30, 35 и 40. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 4.
Оно достигается при n = 7, m = 4, a = 15, x = 6.
Пример 4
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 11 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 101?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 101?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Показать ответ
а) нет: если в школе №1 было n ≥ 2 учащихся со средним a, то после ухода учащегося с баллом x средний равен (an − x)/(n − 1); равенство (an − x)/(n − 1) = 2a даёт x = a(2 − n) ≤ 0, а балл обязан быть натуральным
б) нет: при каждом числе учащихся школы №1 первоначальный средний балл школы №2 обязан быть кратен одному из чисел 4, 5, 9, 10, 15, 30, 35 и 40, а 101 — простое число, большее любого из них, и ни на одно из них не делится
в) 4; например: в школе №1 было 7 учащихся с баллами 6, 17, 17, 17, 16, 16 и 16 (средний 15), в школе №2 — 4 учащихся с баллами по 4; переходит учащийся с баллом 6
Решение
Пусть в школе №1 было n учащихся со средним баллом a, в школе №2 — m учащихся со средним b, n + m = 11, и перешёл учащийся с баллом x.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 1,1a и (bm + x)/(m + 1) = 1,1b. Отсюда 10x = a·(11 − n) = b·(m + 11).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 4, 5, 9, 10, 15, 30, 35 и 40. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 4.
Оно достигается при n = 7, m = 4, a = 15, x = 6.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 1,1a и (bm + x)/(m + 1) = 1,1b. Отсюда 10x = a·(11 − n) = b·(m + 11).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 4, 5, 9, 10, 15, 30, 35 и 40. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 4.
Оно достигается при n = 7, m = 4, a = 15, x = 6.
Пример 5
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 11 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 193?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 193?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Показать ответ
а) нет: если в школе №1 было n ≥ 2 учащихся со средним a, то после ухода учащегося с баллом x средний равен (an − x)/(n − 1); равенство (an − x)/(n − 1) = 2a даёт x = a(2 − n) ≤ 0, а балл обязан быть натуральным
б) нет: при каждом числе учащихся школы №1 первоначальный средний балл школы №2 обязан быть кратен одному из чисел 4, 5, 9, 10, 15, 30, 35 и 40, а 193 — простое число, большее любого из них, и ни на одно из них не делится
в) 4; например: в школе №1 было 7 учащихся с баллами 6, 17, 17, 17, 16, 16 и 16 (средний 15), в школе №2 — 4 учащихся с баллами по 4; переходит учащийся с баллом 6
Решение
Пусть в школе №1 было n учащихся со средним баллом a, в школе №2 — m учащихся со средним b, n + m = 11, и перешёл учащийся с баллом x.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 1,1a и (bm + x)/(m + 1) = 1,1b. Отсюда 10x = a·(11 − n) = b·(m + 11).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 4, 5, 9, 10, 15, 30, 35 и 40. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 4.
Оно достигается при n = 7, m = 4, a = 15, x = 6.
Из определения среднего: (an − x)/(n − 1) = 1,1a и (bm + x)/(m + 1) = 1,1b. Отсюда 10x = a·(11 − n) = b·(m + 11).
Второе равенство показывает, что при фиксированном n величина b обязана быть кратна вполне определённому числу — эти числа равны 4, 5, 9, 10, 15, 30, 35 и 40. Значит подходят только такие b, а наименьшее из них равно 4.
Оно достигается при n = 7, m = 4, a = 15, x = 6.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.