Средний балл названных: наименьшее число писавших обе — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Две контрольные работы: назван наивысший балл. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Каждый из 35 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда S < 15.
б) Могло ли оказаться, что только 2 студента написали обе контрольные работы, если S = 14?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 14?
а) Приведите пример, когда S < 15.
б) Могло ли оказаться, что только 2 студента написали обе контрольные работы, если S = 14?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 14?
Показать ответ
а) да, например: первую работу писали 18 студентов, вторую — 18; обе работы писал 1 студент, получивший по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 250 баллов (12 студентов по 15 баллов и 5 студентов по 14 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 250 баллов (12 студентов по 15 баллов и 5 студентов по 14 баллов). Средний балл за каждую работу равен 15, сумма названных баллов равна 520, поэтому S = 14 6/7 < 15
б) нет: S·35 = 15·(35 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов. При S = 14 получаем T = 35 + 15k, а из T ≤ 20k следует 35 ≤ 5k, то есть k ≥ 7 > 2
в) 7; например: первую работу писали 21 студент, вторую — 21; обе работы писали 7 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 175 баллов (7 студентов по 13 баллов и 7 студентов по 12 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 175 баллов (7 студентов по 13 баллов и 7 студентов по 12 баллов). Средний балл за каждую работу равен 15, сумма названных баллов равна 490, поэтому S = 14
Решение
Пусть первую работу писали n1 студентов, вторую — n2, а обе — k студентов. Тогда n1 + n2 = 35 + k, n1 ≥ k, n2 ≥ k.
Сумма всех выставленных баллов равна 15(35 + k), а сумма названных меньше неё на T — сумму меньших баллов у писавших обе работы, поэтому S·35 = 15·(35 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
При S = 14 отсюда T = 15(35 + k) − 14·35 = 35 + 15k. Но каждый меньший балл не больше 20, значит T ≤ 20k, откуда 35 ≤ 5k и k ≥ 7.
б) 2 < 7, так что столько студентов писать обе работы не могло.
в) Значение k = 7 достигается: первую работу писали 21 студент, вторую — 21; обе работы писали 7 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 175 баллов (7 студентов по 13 баллов и 7 студентов по 12 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 175 баллов (7 студентов по 13 баллов и 7 студентов по 12 баллов). Средний балл за каждую работу равен 15, сумма названных баллов равна 490, поэтому S = 14.
Ответ: 7.
Сумма всех выставленных баллов равна 15(35 + k), а сумма названных меньше неё на T — сумму меньших баллов у писавших обе работы, поэтому S·35 = 15·(35 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
При S = 14 отсюда T = 15(35 + k) − 14·35 = 35 + 15k. Но каждый меньший балл не больше 20, значит T ≤ 20k, откуда 35 ≤ 5k и k ≥ 7.
б) 2 < 7, так что столько студентов писать обе работы не могло.
в) Значение k = 7 достигается: первую работу писали 21 студент, вторую — 21; обе работы писали 7 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 175 баллов (7 студентов по 13 баллов и 7 студентов по 12 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 175 баллов (7 студентов по 13 баллов и 7 студентов по 12 баллов). Средний балл за каждую работу равен 15, сумма названных баллов равна 490, поэтому S = 14.
Ответ: 7.
Пример 2
Каждый из 40 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда S < 15.
б) Могло ли оказаться, что только 4 студента написали обе контрольные работы, если S = 12?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 12?
а) Приведите пример, когда S < 15.
б) Могло ли оказаться, что только 4 студента написали обе контрольные работы, если S = 12?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 12?
Показать ответ
а) да, например: первую работу писали 20 студентов, вторую — 21; обе работы писал 1 студент, получивший по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 280 баллов (14 студентов по 15 баллов и 5 студентов по 14 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 295 баллов (15 студентов по 15 баллов и 5 студентов по 14 баллов). Средний балл за каждую работу равен 15, сумма названных баллов равна 595, поэтому S = 14 7/8 < 15
б) нет: S·40 = 15·(40 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов. При S = 12 получаем T = 120 + 15k, а из T ≤ 20k следует 120 ≤ 5k, то есть k ≥ 24 > 4
в) 24; например: первую работу писали 32 студента, вторую — 32; обе работы писали 24 студента, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 0 баллов (8 студентов по 0 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 0 баллов (8 студентов по 0 баллов). Средний балл за каждую работу равен 15, сумма названных баллов равна 480, поэтому S = 12
Решение
Пусть первую работу писали n1 студентов, вторую — n2, а обе — k студентов. Тогда n1 + n2 = 40 + k, n1 ≥ k, n2 ≥ k.
Сумма всех выставленных баллов равна 15(40 + k), а сумма названных меньше неё на T — сумму меньших баллов у писавших обе работы, поэтому S·40 = 15·(40 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
При S = 12 отсюда T = 15(40 + k) − 12·40 = 120 + 15k. Но каждый меньший балл не больше 20, значит T ≤ 20k, откуда 120 ≤ 5k и k ≥ 24.
б) 4 < 24, так что столько студентов писать обе работы не могло.
в) Значение k = 24 достигается: первую работу писали 32 студента, вторую — 32; обе работы писали 24 студента, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 0 баллов (8 студентов по 0 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 0 баллов (8 студентов по 0 баллов). Средний балл за каждую работу равен 15, сумма названных баллов равна 480, поэтому S = 12.
Ответ: 24.
Сумма всех выставленных баллов равна 15(40 + k), а сумма названных меньше неё на T — сумму меньших баллов у писавших обе работы, поэтому S·40 = 15·(40 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
При S = 12 отсюда T = 15(40 + k) − 12·40 = 120 + 15k. Но каждый меньший балл не больше 20, значит T ≤ 20k, откуда 120 ≤ 5k и k ≥ 24.
б) 4 < 24, так что столько студентов писать обе работы не могло.
в) Значение k = 24 достигается: первую работу писали 32 студента, вторую — 32; обе работы писали 24 студента, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 0 баллов (8 студентов по 0 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 0 баллов (8 студентов по 0 баллов). Средний балл за каждую работу равен 15, сумма названных баллов равна 480, поэтому S = 12.
Ответ: 24.
Пример 3
Каждый из 36 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 16. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда S < 16.
б) Могло ли оказаться, что только 4 студента написали обе контрольные работы, если S = 15?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 15?
а) Приведите пример, когда S < 16.
б) Могло ли оказаться, что только 4 студента написали обе контрольные работы, если S = 15?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 15?
Показать ответ
а) да, например: первую работу писали 18 студентов, вторую — 19; обе работы писал 1 студент, получивший по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 268 баллов (13 студентов по 16 баллов и 4 студента по 15 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 284 балла (14 студентов по 16 баллов и 4 студента по 15 баллов). Средний балл за каждую работу равен 16, сумма названных баллов равна 572, поэтому S = 15 8/9 < 16
б) нет: S·36 = 16·(36 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов. При S = 15 получаем T = 36 + 16k, а из T ≤ 20k следует 36 ≤ 4k, то есть k ≥ 9 > 4
в) 9; например: первую работу писали 22 студента, вторую — 23; обе работы писали 9 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 172 балла (3 студента по 14 баллов и 10 студентов по 13 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 188 баллов (6 студентов по 14 баллов и 8 студентов по 13 баллов). Средний балл за каждую работу равен 16, сумма названных баллов равна 540, поэтому S = 15
Решение
Пусть первую работу писали n1 студентов, вторую — n2, а обе — k студентов. Тогда n1 + n2 = 36 + k, n1 ≥ k, n2 ≥ k.
Сумма всех выставленных баллов равна 16(36 + k), а сумма названных меньше неё на T — сумму меньших баллов у писавших обе работы, поэтому S·36 = 16·(36 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
При S = 15 отсюда T = 16(36 + k) − 15·36 = 36 + 16k. Но каждый меньший балл не больше 20, значит T ≤ 20k, откуда 36 ≤ 4k и k ≥ 9.
б) 4 < 9, так что столько студентов писать обе работы не могло.
в) Значение k = 9 достигается: первую работу писали 22 студента, вторую — 23; обе работы писали 9 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 172 балла (3 студента по 14 баллов и 10 студентов по 13 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 188 баллов (6 студентов по 14 баллов и 8 студентов по 13 баллов). Средний балл за каждую работу равен 16, сумма названных баллов равна 540, поэтому S = 15.
Ответ: 9.
Сумма всех выставленных баллов равна 16(36 + k), а сумма названных меньше неё на T — сумму меньших баллов у писавших обе работы, поэтому S·36 = 16·(36 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
При S = 15 отсюда T = 16(36 + k) − 15·36 = 36 + 16k. Но каждый меньший балл не больше 20, значит T ≤ 20k, откуда 36 ≤ 4k и k ≥ 9.
б) 4 < 9, так что столько студентов писать обе работы не могло.
в) Значение k = 9 достигается: первую работу писали 22 студента, вторую — 23; обе работы писали 9 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 172 балла (3 студента по 14 баллов и 10 студентов по 13 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 188 баллов (6 студентов по 14 баллов и 8 студентов по 13 баллов). Средний балл за каждую работу равен 16, сумма названных баллов равна 540, поэтому S = 15.
Ответ: 9.
Пример 4
Каждый из 26 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 16. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда S < 16.
б) Могло ли оказаться, что только 3 студента написали обе контрольные работы, если S = 14?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 14?
а) Приведите пример, когда S < 16.
б) Могло ли оказаться, что только 3 студента написали обе контрольные работы, если S = 14?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 14?
Показать ответ
а) да, например: первую работу писали 13 студентов, вторую — 14; обе работы писал 1 студент, получивший по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 188 баллов (8 студентов по 16 баллов и 4 студента по 15 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 204 балла (9 студентов по 16 баллов и 4 студента по 15 баллов). Средний балл за каждую работу равен 16, сумма названных баллов равна 412, поэтому S = 15 11/13 < 16
б) нет: S·26 = 16·(26 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов. При S = 14 получаем T = 52 + 16k, а из T ≤ 20k следует 52 ≤ 4k, то есть k ≥ 13 > 3
в) 13; например: первую работу писали 19 студентов, вторую — 20; обе работы писали 13 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 44 балла (2 студента по 8 баллов и 4 студента по 7 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 60 баллов (4 студента по 9 баллов и 3 студента по 8 баллов). Средний балл за каждую работу равен 16, сумма названных баллов равна 364, поэтому S = 14
Решение
Пусть первую работу писали n1 студентов, вторую — n2, а обе — k студентов. Тогда n1 + n2 = 26 + k, n1 ≥ k, n2 ≥ k.
Сумма всех выставленных баллов равна 16(26 + k), а сумма названных меньше неё на T — сумму меньших баллов у писавших обе работы, поэтому S·26 = 16·(26 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
При S = 14 отсюда T = 16(26 + k) − 14·26 = 52 + 16k. Но каждый меньший балл не больше 20, значит T ≤ 20k, откуда 52 ≤ 4k и k ≥ 13.
б) 3 < 13, так что столько студентов писать обе работы не могло.
в) Значение k = 13 достигается: первую работу писали 19 студентов, вторую — 20; обе работы писали 13 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 44 балла (2 студента по 8 баллов и 4 студента по 7 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 60 баллов (4 студента по 9 баллов и 3 студента по 8 баллов). Средний балл за каждую работу равен 16, сумма названных баллов равна 364, поэтому S = 14.
Ответ: 13.
Сумма всех выставленных баллов равна 16(26 + k), а сумма названных меньше неё на T — сумму меньших баллов у писавших обе работы, поэтому S·26 = 16·(26 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
При S = 14 отсюда T = 16(26 + k) − 14·26 = 52 + 16k. Но каждый меньший балл не больше 20, значит T ≤ 20k, откуда 52 ≤ 4k и k ≥ 13.
б) 3 < 13, так что столько студентов писать обе работы не могло.
в) Значение k = 13 достигается: первую работу писали 19 студентов, вторую — 20; обе работы писали 13 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 44 балла (2 студента по 8 баллов и 4 студента по 7 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 60 баллов (4 студента по 9 баллов и 3 студента по 8 баллов). Средний балл за каждую работу равен 16, сумма названных баллов равна 364, поэтому S = 14.
Ответ: 13.
Пример 5
Каждый из 39 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 17. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда S < 17.
б) Могло ли оказаться, что только 4 студента написали обе контрольные работы, если S = 15?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 15?
а) Приведите пример, когда S < 17.
б) Могло ли оказаться, что только 4 студента написали обе контрольные работы, если S = 15?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 15?
Показать ответ
а) да, например: первую работу писали 20 студентов, вторую — 20; обе работы писал 1 студент, получивший по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 320 баллов (16 студентов по 17 баллов и 3 студента по 16 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 320 баллов (16 студентов по 17 баллов и 3 студента по 16 баллов). Средний балл за каждую работу равен 17, сумма названных баллов равна 660, поэтому S = 16 12/13 < 17
б) нет: S·39 = 17·(39 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов. При S = 15 получаем T = 78 + 17k, а из T ≤ 20k следует 78 ≤ 3k, то есть k ≥ 26 > 4
в) 26; например: первую работу писали 32 студента, вторую — 33; обе работы писали 26 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 24 балла (6 студентов по 4 балла), писавшие только вторую работу набрали в сумме 41 балл (6 студентов по 6 баллов и 1 студент по 5 баллов). Средний балл за каждую работу равен 17, сумма названных баллов равна 585, поэтому S = 15
Решение
Пусть первую работу писали n1 студентов, вторую — n2, а обе — k студентов. Тогда n1 + n2 = 39 + k, n1 ≥ k, n2 ≥ k.
Сумма всех выставленных баллов равна 17(39 + k), а сумма названных меньше неё на T — сумму меньших баллов у писавших обе работы, поэтому S·39 = 17·(39 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
При S = 15 отсюда T = 17(39 + k) − 15·39 = 78 + 17k. Но каждый меньший балл не больше 20, значит T ≤ 20k, откуда 78 ≤ 3k и k ≥ 26.
б) 4 < 26, так что столько студентов писать обе работы не могло.
в) Значение k = 26 достигается: первую работу писали 32 студента, вторую — 33; обе работы писали 26 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 24 балла (6 студентов по 4 балла), писавшие только вторую работу набрали в сумме 41 балл (6 студентов по 6 баллов и 1 студент по 5 баллов). Средний балл за каждую работу равен 17, сумма названных баллов равна 585, поэтому S = 15.
Ответ: 26.
Сумма всех выставленных баллов равна 17(39 + k), а сумма названных меньше неё на T — сумму меньших баллов у писавших обе работы, поэтому S·39 = 17·(39 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
При S = 15 отсюда T = 17(39 + k) − 15·39 = 78 + 17k. Но каждый меньший балл не больше 20, значит T ≤ 20k, откуда 78 ≤ 3k и k ≥ 26.
б) 4 < 26, так что столько студентов писать обе работы не могло.
в) Значение k = 26 достигается: первую работу писали 32 студента, вторую — 33; обе работы писали 26 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 24 балла (6 студентов по 4 балла), писавшие только вторую работу набрали в сумме 41 балл (6 студентов по 6 баллов и 1 студент по 5 баллов). Средний балл за каждую работу равен 17, сумма названных баллов равна 585, поэтому S = 15.
Ответ: 26.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.