Средний названных: наименьшее S при k писавших обе — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Две контрольные работы: назван наивысший балл. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 17. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда S < 17.
б) Могло ли значение S быть равным 13?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 10 студентов?
а) Приведите пример, когда S < 17.
б) Могло ли значение S быть равным 13?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 10 студентов?
Показать ответ
а) да, например: первую работу писали 14 студентов, вторую — 15; обе работы писал 1 студент, получивший по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 218 баллов (10 студентов по 17 баллов и 3 студента по 16 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 235 баллов (11 студентов по 17 баллов и 3 студента по 16 баллов). Средний балл за каждую работу равен 17, сумма названных баллов равна 473, поэтому S = 16 25/28 < 17
б) нет: S·28 = 17·(28 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов. Так как каждый меньший балл не больше 20, то T ≤ 20k, а значит S·28 ≥ 17·28 − 3k. Кроме того n₁ + n₂ = 28 + k и n₁ ≥ k, n₂ ≥ k, откуда k ≤ 28. Поэтому S ≥ 17 − 3 = 14 > 13
в) 15 13/14; например: первую работу писали 19 студентов, вторую — 19; обе работы писали 10 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 123 балла (6 студентов по 14 баллов и 3 студента по 13 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 123 балла (6 студентов по 14 баллов и 3 студента по 13 баллов). Средний балл за каждую работу равен 17, сумма названных баллов равна 446, поэтому S = 15 13/14
Решение
Пусть первую работу писали n1 студентов, вторую — n2, а обе работы — k студентов. Тогда n1 + n2 = 28 + k, n1 ≥ k, n2 ≥ k, поэтому k ≤ 28.
Сумма всех выставленных баллов равна 17n1 + 17n2 = 17(28 + k). Названный балл отличается от суммы двух баллов студента, писавшего обе работы, ровно на меньший из них, поэтому S·28 = 17·(28 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
а) Хватает одного студента, писавшего обе работы на 20 баллов: S = 16 25/28 < 17.
б) Так как T ≤ 20k и k ≤ 28, то S ≥ 17 − 3 = 14, а 13 < 14.
в) При k = 10 величина T не превосходит min(20·10; 17n1; 17n2) = 200, причём это значение достигается: первую работу писали 19 студентов, вторую — 19; обе работы писали 10 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 123 балла (6 студентов по 14 баллов и 3 студента по 13 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 123 балла (6 студентов по 14 баллов и 3 студента по 13 баллов). Средний балл за каждую работу равен 17, сумма названных баллов равна 446, поэтому S = 15 13/14.
Ответ: 15 13/14.
Сумма всех выставленных баллов равна 17n1 + 17n2 = 17(28 + k). Названный балл отличается от суммы двух баллов студента, писавшего обе работы, ровно на меньший из них, поэтому S·28 = 17·(28 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
а) Хватает одного студента, писавшего обе работы на 20 баллов: S = 16 25/28 < 17.
б) Так как T ≤ 20k и k ≤ 28, то S ≥ 17 − 3 = 14, а 13 < 14.
в) При k = 10 величина T не превосходит min(20·10; 17n1; 17n2) = 200, причём это значение достигается: первую работу писали 19 студентов, вторую — 19; обе работы писали 10 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 123 балла (6 студентов по 14 баллов и 3 студента по 13 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 123 балла (6 студентов по 14 баллов и 3 студента по 13 баллов). Средний балл за каждую работу равен 17, сумма названных баллов равна 446, поэтому S = 15 13/14.
Ответ: 15 13/14.
Пример 2
Каждый из 38 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда S < 15.
б) Могло ли значение S быть равным 6?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 7 студентов?
а) Приведите пример, когда S < 15.
б) Могло ли значение S быть равным 6?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 7 студентов?
Показать ответ
а) да, например: первую работу писали 19 студентов, вторую — 20; обе работы писал 1 студент, получивший по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 265 баллов (13 студентов по 15 баллов и 5 студентов по 14 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 280 баллов (14 студентов по 15 баллов и 5 студентов по 14 баллов). Средний балл за каждую работу равен 15, сумма названных баллов равна 565, поэтому S = 14 33/38 < 15
б) нет: S·38 = 15·(38 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов. Так как каждый меньший балл не больше 20, то T ≤ 20k, а значит S·38 ≥ 15·38 − 5k. Кроме того n₁ + n₂ = 38 + k и n₁ ≥ k, n₂ ≥ k, откуда k ≤ 38. Поэтому S ≥ 15 − 5 = 10 > 6
в) 14 3/38; например: первую работу писали 22 студента, вторую — 23; обе работы писали 7 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 190 баллов (10 студентов по 13 баллов и 5 студентов по 12 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 205 баллов (13 студентов по 13 баллов и 3 студента по 12 баллов). Средний балл за каждую работу равен 15, сумма названных баллов равна 535, поэтому S = 14 3/38
Решение
Пусть первую работу писали n1 студентов, вторую — n2, а обе работы — k студентов. Тогда n1 + n2 = 38 + k, n1 ≥ k, n2 ≥ k, поэтому k ≤ 38.
Сумма всех выставленных баллов равна 15n1 + 15n2 = 15(38 + k). Названный балл отличается от суммы двух баллов студента, писавшего обе работы, ровно на меньший из них, поэтому S·38 = 15·(38 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
а) Хватает одного студента, писавшего обе работы на 20 баллов: S = 14 33/38 < 15.
б) Так как T ≤ 20k и k ≤ 38, то S ≥ 15 − 5 = 10, а 6 < 10.
в) При k = 7 величина T не превосходит min(20·7; 15n1; 15n2) = 140, причём это значение достигается: первую работу писали 22 студента, вторую — 23; обе работы писали 7 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 190 баллов (10 студентов по 13 баллов и 5 студентов по 12 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 205 баллов (13 студентов по 13 баллов и 3 студента по 12 баллов). Средний балл за каждую работу равен 15, сумма названных баллов равна 535, поэтому S = 14 3/38.
Ответ: 14 3/38.
Сумма всех выставленных баллов равна 15n1 + 15n2 = 15(38 + k). Названный балл отличается от суммы двух баллов студента, писавшего обе работы, ровно на меньший из них, поэтому S·38 = 15·(38 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
а) Хватает одного студента, писавшего обе работы на 20 баллов: S = 14 33/38 < 15.
б) Так как T ≤ 20k и k ≤ 38, то S ≥ 15 − 5 = 10, а 6 < 10.
в) При k = 7 величина T не превосходит min(20·7; 15n1; 15n2) = 140, причём это значение достигается: первую работу писали 22 студента, вторую — 23; обе работы писали 7 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 190 баллов (10 студентов по 13 баллов и 5 студентов по 12 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 205 баллов (13 студентов по 13 баллов и 3 студента по 12 баллов). Средний балл за каждую работу равен 15, сумма названных баллов равна 535, поэтому S = 14 3/38.
Ответ: 14 3/38.
Пример 3
Каждый из 26 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 17. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда S < 17.
б) Могло ли значение S быть равным 11?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 12 студентов?
а) Приведите пример, когда S < 17.
б) Могло ли значение S быть равным 11?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 12 студентов?
Показать ответ
а) да, например: первую работу писали 13 студентов, вторую — 14; обе работы писал 1 студент, получивший по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 201 балл (9 студентов по 17 баллов и 3 студента по 16 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 218 баллов (10 студентов по 17 баллов и 3 студента по 16 баллов). Средний балл за каждую работу равен 17, сумма названных баллов равна 439, поэтому S = 16 23/26 < 17
б) нет: S·26 = 17·(26 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов. Так как каждый меньший балл не больше 20, то T ≤ 20k, а значит S·26 ≥ 17·26 − 3k. Кроме того n₁ + n₂ = 26 + k и n₁ ≥ k, n₂ ≥ k, откуда k ≤ 26. Поэтому S ≥ 17 − 3 = 14 > 11
в) 15 8/13; например: первую работу писали 19 студентов, вторую — 19; обе работы писали 12 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 83 балла (6 студентов по 12 баллов и 1 студент по 11 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 83 балла (6 студентов по 12 баллов и 1 студент по 11 баллов). Средний балл за каждую работу равен 17, сумма названных баллов равна 406, поэтому S = 15 8/13
Решение
Пусть первую работу писали n1 студентов, вторую — n2, а обе работы — k студентов. Тогда n1 + n2 = 26 + k, n1 ≥ k, n2 ≥ k, поэтому k ≤ 26.
Сумма всех выставленных баллов равна 17n1 + 17n2 = 17(26 + k). Названный балл отличается от суммы двух баллов студента, писавшего обе работы, ровно на меньший из них, поэтому S·26 = 17·(26 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
а) Хватает одного студента, писавшего обе работы на 20 баллов: S = 16 23/26 < 17.
б) Так как T ≤ 20k и k ≤ 26, то S ≥ 17 − 3 = 14, а 11 < 14.
в) При k = 12 величина T не превосходит min(20·12; 17n1; 17n2) = 240, причём это значение достигается: первую работу писали 19 студентов, вторую — 19; обе работы писали 12 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 83 балла (6 студентов по 12 баллов и 1 студент по 11 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 83 балла (6 студентов по 12 баллов и 1 студент по 11 баллов). Средний балл за каждую работу равен 17, сумма названных баллов равна 406, поэтому S = 15 8/13.
Ответ: 15 8/13.
Сумма всех выставленных баллов равна 17n1 + 17n2 = 17(26 + k). Названный балл отличается от суммы двух баллов студента, писавшего обе работы, ровно на меньший из них, поэтому S·26 = 17·(26 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
а) Хватает одного студента, писавшего обе работы на 20 баллов: S = 16 23/26 < 17.
б) Так как T ≤ 20k и k ≤ 26, то S ≥ 17 − 3 = 14, а 11 < 14.
в) При k = 12 величина T не превосходит min(20·12; 17n1; 17n2) = 240, причём это значение достигается: первую работу писали 19 студентов, вторую — 19; обе работы писали 12 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 83 балла (6 студентов по 12 баллов и 1 студент по 11 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 83 балла (6 студентов по 12 баллов и 1 студент по 11 баллов). Средний балл за каждую работу равен 17, сумма названных баллов равна 406, поэтому S = 15 8/13.
Ответ: 15 8/13.
Пример 4
Каждый из 30 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 13. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда S < 13.
б) Могло ли значение S быть равным 2?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 6 студентов?
а) Приведите пример, когда S < 13.
б) Могло ли значение S быть равным 2?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 6 студентов?
Показать ответ
а) да, например: первую работу писали 15 студентов, вторую — 16; обе работы писал 1 студент, получивший по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 175 баллов (7 студентов по 13 баллов и 7 студентов по 12 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 188 баллов (8 студентов по 13 баллов и 7 студентов по 12 баллов). Средний балл за каждую работу равен 13, сумма названных баллов равна 383, поэтому S = 12 23/30 < 13
б) нет: S·30 = 13·(30 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов. Так как каждый меньший балл не больше 20, то T ≤ 20k, а значит S·30 ≥ 13·30 − 7k. Кроме того n₁ + n₂ = 30 + k и n₁ ≥ k, n₂ ≥ k, откуда k ≤ 30. Поэтому S ≥ 13 − 7 = 6 > 2
в) 11 3/5; например: первую работу писали 18 студентов, вторую — 18; обе работы писали 6 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 114 баллов (6 студентов по 10 баллов и 6 студентов по 9 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 114 баллов (6 студентов по 10 баллов и 6 студентов по 9 баллов). Средний балл за каждую работу равен 13, сумма названных баллов равна 348, поэтому S = 11 3/5
Решение
Пусть первую работу писали n1 студентов, вторую — n2, а обе работы — k студентов. Тогда n1 + n2 = 30 + k, n1 ≥ k, n2 ≥ k, поэтому k ≤ 30.
Сумма всех выставленных баллов равна 13n1 + 13n2 = 13(30 + k). Названный балл отличается от суммы двух баллов студента, писавшего обе работы, ровно на меньший из них, поэтому S·30 = 13·(30 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
а) Хватает одного студента, писавшего обе работы на 20 баллов: S = 12 23/30 < 13.
б) Так как T ≤ 20k и k ≤ 30, то S ≥ 13 − 7 = 6, а 2 < 6.
в) При k = 6 величина T не превосходит min(20·6; 13n1; 13n2) = 120, причём это значение достигается: первую работу писали 18 студентов, вторую — 18; обе работы писали 6 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 114 баллов (6 студентов по 10 баллов и 6 студентов по 9 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 114 баллов (6 студентов по 10 баллов и 6 студентов по 9 баллов). Средний балл за каждую работу равен 13, сумма названных баллов равна 348, поэтому S = 11 3/5.
Ответ: 11 3/5.
Сумма всех выставленных баллов равна 13n1 + 13n2 = 13(30 + k). Названный балл отличается от суммы двух баллов студента, писавшего обе работы, ровно на меньший из них, поэтому S·30 = 13·(30 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
а) Хватает одного студента, писавшего обе работы на 20 баллов: S = 12 23/30 < 13.
б) Так как T ≤ 20k и k ≤ 30, то S ≥ 13 − 7 = 6, а 2 < 6.
в) При k = 6 величина T не превосходит min(20·6; 13n1; 13n2) = 120, причём это значение достигается: первую работу писали 18 студентов, вторую — 18; обе работы писали 6 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 114 баллов (6 студентов по 10 баллов и 6 студентов по 9 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 114 баллов (6 студентов по 10 баллов и 6 студентов по 9 баллов). Средний балл за каждую работу равен 13, сумма названных баллов равна 348, поэтому S = 11 3/5.
Ответ: 11 3/5.
Пример 5
Каждый из 34 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 17. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда S < 17.
б) Могло ли значение S быть равным 10?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 12 студентов?
а) Приведите пример, когда S < 17.
б) Могло ли значение S быть равным 10?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 12 студентов?
Показать ответ
а) да, например: первую работу писали 17 студентов, вторую — 18; обе работы писал 1 студент, получивший по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 269 баллов (13 студентов по 17 баллов и 3 студента по 16 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 286 баллов (14 студентов по 17 баллов и 3 студента по 16 баллов). Средний балл за каждую работу равен 17, сумма названных баллов равна 575, поэтому S = 16 31/34 < 17
б) нет: S·34 = 17·(34 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов. Так как каждый меньший балл не больше 20, то T ≤ 20k, а значит S·34 ≥ 17·34 − 3k. Кроме того n₁ + n₂ = 34 + k и n₁ ≥ k, n₂ ≥ k, откуда k ≤ 34. Поэтому S ≥ 17 − 3 = 14 > 10
в) 15 16/17; например: первую работу писали 23 студента, вторую — 23; обе работы писали 12 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 151 балл (8 студентов по 14 баллов и 3 студента по 13 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 151 балл (8 студентов по 14 баллов и 3 студента по 13 баллов). Средний балл за каждую работу равен 17, сумма названных баллов равна 542, поэтому S = 15 16/17
Решение
Пусть первую работу писали n1 студентов, вторую — n2, а обе работы — k студентов. Тогда n1 + n2 = 34 + k, n1 ≥ k, n2 ≥ k, поэтому k ≤ 34.
Сумма всех выставленных баллов равна 17n1 + 17n2 = 17(34 + k). Названный балл отличается от суммы двух баллов студента, писавшего обе работы, ровно на меньший из них, поэтому S·34 = 17·(34 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
а) Хватает одного студента, писавшего обе работы на 20 баллов: S = 16 31/34 < 17.
б) Так как T ≤ 20k и k ≤ 34, то S ≥ 17 − 3 = 14, а 10 < 14.
в) При k = 12 величина T не превосходит min(20·12; 17n1; 17n2) = 240, причём это значение достигается: первую работу писали 23 студента, вторую — 23; обе работы писали 12 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 151 балл (8 студентов по 14 баллов и 3 студента по 13 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 151 балл (8 студентов по 14 баллов и 3 студента по 13 баллов). Средний балл за каждую работу равен 17, сумма названных баллов равна 542, поэтому S = 15 16/17.
Ответ: 15 16/17.
Сумма всех выставленных баллов равна 17n1 + 17n2 = 17(34 + k). Названный балл отличается от суммы двух баллов студента, писавшего обе работы, ровно на меньший из них, поэтому S·34 = 17·(34 + k) − T, где k — число писавших обе работы, а T — сумма меньших баллов этих k студентов.
а) Хватает одного студента, писавшего обе работы на 20 баллов: S = 16 31/34 < 17.
б) Так как T ≤ 20k и k ≤ 34, то S ≥ 17 − 3 = 14, а 10 < 14.
в) При k = 12 величина T не превосходит min(20·12; 17n1; 17n2) = 240, причём это значение достигается: первую работу писали 23 студента, вторую — 23; обе работы писали 12 студентов, получившие по 20 баллов за каждую из двух работ; писавшие только первую работу набрали в сумме 151 балл (8 студентов по 14 баллов и 3 студента по 13 баллов), писавшие только вторую работу набрали в сумме 151 балл (8 студентов по 14 баллов и 3 студента по 13 баллов). Средний балл за каждую работу равен 17, сумма названных баллов равна 542, поэтому S = 15 16/17.
Ответ: 15 16/17.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.