Старый и новый рейтинг: наибольшая разность — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Сравнение групп. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 11 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 137?
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 135?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 137?
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 135?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
Показать ответ
а) нет: если m и M — крайние оценки, а T — сумма остальных, то разность равна (5(m + M) − 2T)/35, то есть кратна 1/35; число 1/37 этому виду не удовлетворяет, так как 35 не делится на 37
б) да, например оценки 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9: старый рейтинг 31/7, новый 22/5, их разность равна 1/35
в) 5/7; например, оценки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 11: старый рейтинг 26/7, новый 3, разность 5/7
Решение
Пусть оценки упорядочены, m — наименьшая, M — наибольшая, T — сумма остальных 5. Тогда разность рейтингов равна (m + M + T)/7 − T/5 = (5(m + M) − 2T)/35.
а) Числитель — целое число, поэтому разность кратна 1/35. Если бы она равнялась 1/37, то 35/37 было бы целым, а это не так. Ответ: нет.
б) Нужен числитель 1. Возьмём оценки 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9: сумма всех равна 31, сумма средних — 22, и 31/7 − 22/5 = 1/35. Ответ: да.
в) Средние 5 оценок больше m, поэтому T ≥ (5)m + 15. Значит числитель не превосходит 5(M − m − 6) ≤ 5 · (11 − 6) = 25, то есть разность не больше 25/35 = 5/7. Равенство достигается на наборе 0, 1, 2, 3, 4, 5, 11. Ответ: 5/7.
а) Числитель — целое число, поэтому разность кратна 1/35. Если бы она равнялась 1/37, то 35/37 было бы целым, а это не так. Ответ: нет.
б) Нужен числитель 1. Возьмём оценки 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9: сумма всех равна 31, сумма средних — 22, и 31/7 − 22/5 = 1/35. Ответ: да.
в) Средние 5 оценок больше m, поэтому T ≥ (5)m + 15. Значит числитель не превосходит 5(M − m − 6) ≤ 5 · (11 − 6) = 25, то есть разность не больше 25/35 = 5/7. Равенство достигается на наборе 0, 1, 2, 3, 4, 5, 11. Ответ: 5/7.
Пример 2
Девять экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое семи оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 1107?
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 163?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 1107?
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 163?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
Показать ответ
а) нет: если m и M — крайние оценки, а T — сумма остальных, то разность равна (7(m + M) − 2T)/63, то есть кратна 1/63; число 1/107 этому виду не удовлетворяет, так как 63 не делится на 107
б) да, например оценки 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9: старый рейтинг 40/9, новый 31/7, их разность равна 1/63
в) 4/9; например, оценки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12: старый рейтинг 40/9, новый 4, разность 4/9
Решение
Пусть оценки упорядочены, m — наименьшая, M — наибольшая, T — сумма остальных 7. Тогда разность рейтингов равна (m + M + T)/9 − T/7 = (7(m + M) − 2T)/63.
а) Числитель — целое число, поэтому разность кратна 1/63. Если бы она равнялась 1/107, то 63/107 было бы целым, а это не так. Ответ: нет.
б) Нужен числитель 1. Возьмём оценки 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9: сумма всех равна 40, сумма средних — 31, и 40/9 − 31/7 = 1/63. Ответ: да.
в) Средние 7 оценок больше m, поэтому T ≥ (7)m + 28. Значит числитель не превосходит 7(M − m − 8) ≤ 7 · (12 − 8) = 28, то есть разность не больше 28/63 = 4/9. Равенство достигается на наборе 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12. Ответ: 4/9.
а) Числитель — целое число, поэтому разность кратна 1/63. Если бы она равнялась 1/107, то 63/107 было бы целым, а это не так. Ответ: нет.
б) Нужен числитель 1. Возьмём оценки 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9: сумма всех равна 40, сумма средних — 31, и 40/9 − 31/7 = 1/63. Ответ: да.
в) Средние 7 оценок больше m, поэтому T ≥ (7)m + 28. Значит числитель не превосходит 7(M − m − 8) ≤ 7 · (12 − 8) = 28, то есть разность не больше 28/63 = 4/9. Равенство достигается на наборе 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12. Ответ: 4/9.
Пример 3
Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 9 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 161?
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 135?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 161?
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 135?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
Показать ответ
а) нет: если m и M — крайние оценки, а T — сумма остальных, то разность равна (5(m + M) − 2T)/35, то есть кратна 1/35; число 1/61 этому виду не удовлетворяет, так как 35 не делится на 61
б) да, например оценки 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9: старый рейтинг 31/7, новый 22/5, их разность равна 1/35
в) 3/7; например, оценки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 9: старый рейтинг 24/7, новый 3, разность 3/7
Решение
Пусть оценки упорядочены, m — наименьшая, M — наибольшая, T — сумма остальных 5. Тогда разность рейтингов равна (m + M + T)/7 − T/5 = (5(m + M) − 2T)/35.
а) Числитель — целое число, поэтому разность кратна 1/35. Если бы она равнялась 1/61, то 35/61 было бы целым, а это не так. Ответ: нет.
б) Нужен числитель 1. Возьмём оценки 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9: сумма всех равна 31, сумма средних — 22, и 31/7 − 22/5 = 1/35. Ответ: да.
в) Средние 5 оценок больше m, поэтому T ≥ (5)m + 15. Значит числитель не превосходит 5(M − m − 6) ≤ 5 · (9 − 6) = 15, то есть разность не больше 15/35 = 3/7. Равенство достигается на наборе 0, 1, 2, 3, 4, 5, 9. Ответ: 3/7.
а) Числитель — целое число, поэтому разность кратна 1/35. Если бы она равнялась 1/61, то 35/61 было бы целым, а это не так. Ответ: нет.
б) Нужен числитель 1. Возьмём оценки 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9: сумма всех равна 31, сумма средних — 22, и 31/7 − 22/5 = 1/35. Ответ: да.
в) Средние 5 оценок больше m, поэтому T ≥ (5)m + 15. Значит числитель не превосходит 5(M − m − 6) ≤ 5 · (9 − 6) = 15, то есть разность не больше 15/35 = 3/7. Равенство достигается на наборе 0, 1, 2, 3, 4, 5, 9. Ответ: 3/7.
Пример 4
Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 142?
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 135?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 142?
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 135?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
Показать ответ
а) нет: если m и M — крайние оценки, а T — сумма остальных, то разность равна (5(m + M) − 2T)/35, то есть кратна 1/35; число 1/42 этому виду не удовлетворяет, так как 35 не делится на 42
б) да, например оценки 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9: старый рейтинг 31/7, новый 22/5, их разность равна 1/35
в) 6/7; например, оценки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 12: старый рейтинг 27/7, новый 3, разность 6/7
Решение
Пусть оценки упорядочены, m — наименьшая, M — наибольшая, T — сумма остальных 5. Тогда разность рейтингов равна (m + M + T)/7 − T/5 = (5(m + M) − 2T)/35.
а) Числитель — целое число, поэтому разность кратна 1/35. Если бы она равнялась 1/42, то 35/42 было бы целым, а это не так. Ответ: нет.
б) Нужен числитель 1. Возьмём оценки 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9: сумма всех равна 31, сумма средних — 22, и 31/7 − 22/5 = 1/35. Ответ: да.
в) Средние 5 оценок больше m, поэтому T ≥ (5)m + 15. Значит числитель не превосходит 5(M − m − 6) ≤ 5 · (12 − 6) = 30, то есть разность не больше 30/35 = 6/7. Равенство достигается на наборе 0, 1, 2, 3, 4, 5, 12. Ответ: 6/7.
а) Числитель — целое число, поэтому разность кратна 1/35. Если бы она равнялась 1/42, то 35/42 было бы целым, а это не так. Ответ: нет.
б) Нужен числитель 1. Возьмём оценки 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9: сумма всех равна 31, сумма средних — 22, и 31/7 − 22/5 = 1/35. Ответ: да.
в) Средние 5 оценок больше m, поэтому T ≥ (5)m + 15. Значит числитель не превосходит 5(M − m − 6) ≤ 5 · (12 − 6) = 30, то есть разность не больше 30/35 = 6/7. Равенство достигается на наборе 0, 1, 2, 3, 4, 5, 12. Ответ: 6/7.
Пример 5
Пять экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 8 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое трёх оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 130?
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 115?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 130?
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 115?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
Показать ответ
а) нет: если m и M — крайние оценки, а T — сумма остальных, то разность равна (3(m + M) − 2T)/15, то есть кратна 1/15; число 1/30 этому виду не удовлетворяет, так как 15 не делится на 30
б) да, например оценки 0, 1, 2, 4, 5: старый рейтинг 12/5, новый 7/3, их разность равна 1/15
в) 4/5; например, оценки 0, 1, 2, 3, 8: старый рейтинг 14/5, новый 2, разность 4/5
Решение
Пусть оценки упорядочены, m — наименьшая, M — наибольшая, T — сумма остальных 3. Тогда разность рейтингов равна (m + M + T)/5 − T/3 = (3(m + M) − 2T)/15.
а) Числитель — целое число, поэтому разность кратна 1/15. Если бы она равнялась 1/30, то 15/30 было бы целым, а это не так. Ответ: нет.
б) Нужен числитель 1. Возьмём оценки 0, 1, 2, 4, 5: сумма всех равна 12, сумма средних — 7, и 12/5 − 7/3 = 1/15. Ответ: да.
в) Средние 3 оценок больше m, поэтому T ≥ (3)m + 6. Значит числитель не превосходит 3(M − m − 4) ≤ 3 · (8 − 4) = 12, то есть разность не больше 12/15 = 4/5. Равенство достигается на наборе 0, 1, 2, 3, 8. Ответ: 4/5.
а) Числитель — целое число, поэтому разность кратна 1/15. Если бы она равнялась 1/30, то 15/30 было бы целым, а это не так. Ответ: нет.
б) Нужен числитель 1. Возьмём оценки 0, 1, 2, 4, 5: сумма всех равна 12, сумма средних — 7, и 12/5 − 7/3 = 1/15. Ответ: да.
в) Средние 3 оценок больше m, поэтому T ≥ (3)m + 6. Значит числитель не превосходит 3(M − m − 4) ≤ 3 · (8 − 4) = 12, то есть разность не больше 12/15 = 4/5. Равенство достигается на наборе 0, 1, 2, 3, 8. Ответ: 4/5.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.