Стирание троек с различными суммами — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Игры и операции с инвариантом. 3 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Показать ответ
а) 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33
б) нет: за 10 ходов было бы стёрто 30 чисел, то есть все числа доски, и сумма стёртого равна 465. Но 10 различных сумм, каждая меньше 35, дают в сумме не больше 295 — меньше, чем 465
в) 6; например 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33; 9 + 12 + 13 = 34
Решение
Пусть сделано k ходов. Тогда стёрто 3k различных чисел с доски, поэтому их сумма не меньше 1 + 2 + … + 3k = 3k(3k+1)/2. С другой стороны, суммы троек попарно различны и меньше 35, поэтому их общая сумма не больше 34 + 33 + … + (35 − k).
Из неравенства 3k(3k + 1)/2 ≤ k(2·35 − 1 − k)/2 получаем k ≤ 6.
а) Пример 5 ходов: 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33.
б) При k = 10 левая часть равна 465, а правая — 295, поэтому столько ходов сделать нельзя.
в) Значение 6 достигается: 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33; 9 + 12 + 13 = 34.
Ответ: 6.
Из неравенства 3k(3k + 1)/2 ≤ k(2·35 − 1 − k)/2 получаем k ≤ 6.
а) Пример 5 ходов: 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33.
б) При k = 10 левая часть равна 465, а правая — 295, поэтому столько ходов сделать нельзя.
в) Значение 6 достигается: 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33; 9 + 12 + 13 = 34.
Ответ: 6.
Пример 2
На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 33. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 11 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 11 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Показать ответ
а) 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33
б) нет: за 11 ходов было бы стёрто 33 числа, то есть все числа доски, и сумма стёртого равна 561. Но 11 различных сумм, каждая меньше 35, дают в сумме не больше 319 — меньше, чем 561
в) 6; например 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33; 9 + 12 + 13 = 34
Решение
Пусть сделано k ходов. Тогда стёрто 3k различных чисел с доски, поэтому их сумма не меньше 1 + 2 + … + 3k = 3k(3k+1)/2. С другой стороны, суммы троек попарно различны и меньше 35, поэтому их общая сумма не больше 34 + 33 + … + (35 − k).
Из неравенства 3k(3k + 1)/2 ≤ k(2·35 − 1 − k)/2 получаем k ≤ 6.
а) Пример 5 ходов: 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33.
б) При k = 11 левая часть равна 561, а правая — 319, поэтому столько ходов сделать нельзя.
в) Значение 6 достигается: 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33; 9 + 12 + 13 = 34.
Ответ: 6.
Из неравенства 3k(3k + 1)/2 ≤ k(2·35 − 1 − k)/2 получаем k ≤ 6.
а) Пример 5 ходов: 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33.
б) При k = 11 левая часть равна 561, а правая — 319, поэтому столько ходов сделать нельзя.
в) Значение 6 достигается: 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33; 9 + 12 + 13 = 34.
Ответ: 6.
Пример 3
На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 27. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 9 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 9 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Показать ответ
а) 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33
б) нет: за 9 ходов было бы стёрто 27 чисел, то есть все числа доски, и сумма стёртого равна 378. Но 9 различных сумм, каждая меньше 35, дают в сумме не больше 270 — меньше, чем 378
в) 6; например 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33; 9 + 12 + 13 = 34
Решение
Пусть сделано k ходов. Тогда стёрто 3k различных чисел с доски, поэтому их сумма не меньше 1 + 2 + … + 3k = 3k(3k+1)/2. С другой стороны, суммы троек попарно различны и меньше 35, поэтому их общая сумма не больше 34 + 33 + … + (35 − k).
Из неравенства 3k(3k + 1)/2 ≤ k(2·35 − 1 − k)/2 получаем k ≤ 6.
а) Пример 5 ходов: 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33.
б) При k = 9 левая часть равна 378, а правая — 270, поэтому столько ходов сделать нельзя.
в) Значение 6 достигается: 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33; 9 + 12 + 13 = 34.
Ответ: 6.
Из неравенства 3k(3k + 1)/2 ≤ k(2·35 − 1 − k)/2 получаем k ≤ 6.
а) Пример 5 ходов: 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33.
б) При k = 9 левая часть равна 378, а правая — 270, поэтому столько ходов сделать нельзя.
в) Значение 6 достигается: 1 + 2 + 21 = 24; 3 + 4 + 20 = 27; 5 + 6 + 19 = 30; 7 + 10 + 15 = 32; 8 + 11 + 14 = 33; 9 + 12 + 13 = 34.
Ответ: 6.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.