Сумма любых двух делится на одно из остальных — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Доска: набор чисел с ограничением на сумму. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написано число 1717 и ещё несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а) Может ли на доске быть написано ровно 512 чисел?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
а) Может ли на доске быть написано ровно 512 чисел?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Показать ответ
а) да, например 1, 2, 3 и ещё 509 различных нечётных чисел, среди которых 1717: сумма двух чисел, ни одно из которых не равно 1, делится на 1; сумма единицы и нечётного числа чётна и делится на 2; наконец, 1 + 2 = 3 делится на 3, а 1 + 3 = 4 делится на 2
б) да, например 1, 2, 3, 5, 1717
в) 4; например 1, 2, 3, 1717. Трёх чисел не хватает: если на доске числа x < y < z, то x + y делится на z и 0 < x + y < 2z, поэтому x + y = z; далее x + z = 2x + y делится на y и 0 < 2x < 2y, поэтому y = 2x и z = 3x. Но 1717 нечётно (значит 1717 ≠ 2x), не кратно 3 (значит 1717 ≠ 3x), а при 1717 = x третье число равнялось бы 5151 > 5000
Решение
а) Возьмём на доске числа 1, 2, 3 и ещё 509 различных нечётных чисел, среди которых 1717. Сумма двух чисел, отличных от 1, делится на 1; сумма 1 и нечётного числа чётна и делится на 2; кроме того 1 + 2 = 3 делится на 3, а 1 + 3 = 4 делится на 2. Все условия выполнены, чисел ровно 512.
б) Тот же набор, укороченный до пять чисел: 1, 2, 3, 5, 1717.
в) Пусть на доске ровно три числа x < y < z. Сумма x + y делится на z, но 0 < x + y < 2z, поэтому x + y = z. Сумма x + z = 2x + y делится на y, а 0 < 2x < 2y, поэтому 2x = y, и тогда z = 3x. Значит числа образуют набор {x, 2x, 3x}. Число 1717 нечётно и не кратно 3, поэтому 1717 ≠ 2x и 1717 ≠ 3x; при 1717 = x получилось бы z = 5151 > 5000. Значит трёх чисел быть не может, а четыре числа возможны: 1, 2, 3, 1717.
Ответ: 4.
б) Тот же набор, укороченный до пять чисел: 1, 2, 3, 5, 1717.
в) Пусть на доске ровно три числа x < y < z. Сумма x + y делится на z, но 0 < x + y < 2z, поэтому x + y = z. Сумма x + z = 2x + y делится на y, а 0 < 2x < 2y, поэтому 2x = y, и тогда z = 3x. Значит числа образуют набор {x, 2x, 3x}. Число 1717 нечётно и не кратно 3, поэтому 1717 ≠ 2x и 1717 ≠ 3x; при 1717 = x получилось бы z = 5151 > 5000. Значит трёх чисел быть не может, а четыре числа возможны: 1, 2, 3, 1717.
Ответ: 4.
Пример 2
На доске написано число 2293 и ещё несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а) Может ли на доске быть написано ровно 1000 чисел?
б) Может ли на доске быть написано ровно восемь чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
а) Может ли на доске быть написано ровно 1000 чисел?
б) Может ли на доске быть написано ровно восемь чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Показать ответ
а) да, например 1, 2, 3 и ещё 997 различных нечётных чисел, среди которых 2293: сумма двух чисел, ни одно из которых не равно 1, делится на 1; сумма единицы и нечётного числа чётна и делится на 2; наконец, 1 + 2 = 3 делится на 3, а 1 + 3 = 4 делится на 2
б) да, например 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 2293
в) 4; например 1, 2, 3, 2293. Трёх чисел не хватает: если на доске числа x < y < z, то x + y делится на z и 0 < x + y < 2z, поэтому x + y = z; далее x + z = 2x + y делится на y и 0 < 2x < 2y, поэтому y = 2x и z = 3x. Но 2293 нечётно (значит 2293 ≠ 2x), не кратно 3 (значит 2293 ≠ 3x), а при 2293 = x третье число равнялось бы 6879 > 5000
Решение
а) Возьмём на доске числа 1, 2, 3 и ещё 997 различных нечётных чисел, среди которых 2293. Сумма двух чисел, отличных от 1, делится на 1; сумма 1 и нечётного числа чётна и делится на 2; кроме того 1 + 2 = 3 делится на 3, а 1 + 3 = 4 делится на 2. Все условия выполнены, чисел ровно 1000.
б) Тот же набор, укороченный до восемь чисел: 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 2293.
в) Пусть на доске ровно три числа x < y < z. Сумма x + y делится на z, но 0 < x + y < 2z, поэтому x + y = z. Сумма x + z = 2x + y делится на y, а 0 < 2x < 2y, поэтому 2x = y, и тогда z = 3x. Значит числа образуют набор {x, 2x, 3x}. Число 2293 нечётно и не кратно 3, поэтому 2293 ≠ 2x и 2293 ≠ 3x; при 2293 = x получилось бы z = 6879 > 5000. Значит трёх чисел быть не может, а четыре числа возможны: 1, 2, 3, 2293.
Ответ: 4.
б) Тот же набор, укороченный до восемь чисел: 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 2293.
в) Пусть на доске ровно три числа x < y < z. Сумма x + y делится на z, но 0 < x + y < 2z, поэтому x + y = z. Сумма x + z = 2x + y делится на y, а 0 < 2x < 2y, поэтому 2x = y, и тогда z = 3x. Значит числа образуют набор {x, 2x, 3x}. Число 2293 нечётно и не кратно 3, поэтому 2293 ≠ 2x и 2293 ≠ 3x; при 2293 = x получилось бы z = 6879 > 5000. Значит трёх чисел быть не может, а четыре числа возможны: 1, 2, 3, 2293.
Ответ: 4.
Пример 3
На доске написано число 2591 и ещё несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а) Может ли на доске быть написано ровно 1200 чисел?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
а) Может ли на доске быть написано ровно 1200 чисел?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Показать ответ
а) да, например 1, 2, 3 и ещё 1197 различных нечётных чисел, среди которых 2591: сумма двух чисел, ни одно из которых не равно 1, делится на 1; сумма единицы и нечётного числа чётна и делится на 2; наконец, 1 + 2 = 3 делится на 3, а 1 + 3 = 4 делится на 2
б) да, например 1, 2, 3, 5, 2591
в) 4; например 1, 2, 3, 2591. Трёх чисел не хватает: если на доске числа x < y < z, то x + y делится на z и 0 < x + y < 2z, поэтому x + y = z; далее x + z = 2x + y делится на y и 0 < 2x < 2y, поэтому y = 2x и z = 3x. Но 2591 нечётно (значит 2591 ≠ 2x), не кратно 3 (значит 2591 ≠ 3x), а при 2591 = x третье число равнялось бы 7773 > 5000
Решение
а) Возьмём на доске числа 1, 2, 3 и ещё 1197 различных нечётных чисел, среди которых 2591. Сумма двух чисел, отличных от 1, делится на 1; сумма 1 и нечётного числа чётна и делится на 2; кроме того 1 + 2 = 3 делится на 3, а 1 + 3 = 4 делится на 2. Все условия выполнены, чисел ровно 1200.
б) Тот же набор, укороченный до пять чисел: 1, 2, 3, 5, 2591.
в) Пусть на доске ровно три числа x < y < z. Сумма x + y делится на z, но 0 < x + y < 2z, поэтому x + y = z. Сумма x + z = 2x + y делится на y, а 0 < 2x < 2y, поэтому 2x = y, и тогда z = 3x. Значит числа образуют набор {x, 2x, 3x}. Число 2591 нечётно и не кратно 3, поэтому 2591 ≠ 2x и 2591 ≠ 3x; при 2591 = x получилось бы z = 7773 > 5000. Значит трёх чисел быть не может, а четыре числа возможны: 1, 2, 3, 2591.
Ответ: 4.
б) Тот же набор, укороченный до пять чисел: 1, 2, 3, 5, 2591.
в) Пусть на доске ровно три числа x < y < z. Сумма x + y делится на z, но 0 < x + y < 2z, поэтому x + y = z. Сумма x + z = 2x + y делится на y, а 0 < 2x < 2y, поэтому 2x = y, и тогда z = 3x. Значит числа образуют набор {x, 2x, 3x}. Число 2591 нечётно и не кратно 3, поэтому 2591 ≠ 2x и 2591 ≠ 3x; при 2591 = x получилось бы z = 7773 > 5000. Значит трёх чисел быть не может, а четыре числа возможны: 1, 2, 3, 2591.
Ответ: 4.
Пример 4
На доске написано число 2261 и ещё несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 4000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а) Может ли на доске быть написано ровно 512 чисел?
б) Может ли на доске быть написано ровно шесть чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
а) Может ли на доске быть написано ровно 512 чисел?
б) Может ли на доске быть написано ровно шесть чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Показать ответ
а) да, например 1, 2, 3 и ещё 509 различных нечётных чисел, среди которых 2261: сумма двух чисел, ни одно из которых не равно 1, делится на 1; сумма единицы и нечётного числа чётна и делится на 2; наконец, 1 + 2 = 3 делится на 3, а 1 + 3 = 4 делится на 2
б) да, например 1, 2, 3, 5, 7, 2261
в) 4; например 1, 2, 3, 2261. Трёх чисел не хватает: если на доске числа x < y < z, то x + y делится на z и 0 < x + y < 2z, поэтому x + y = z; далее x + z = 2x + y делится на y и 0 < 2x < 2y, поэтому y = 2x и z = 3x. Но 2261 нечётно (значит 2261 ≠ 2x), не кратно 3 (значит 2261 ≠ 3x), а при 2261 = x третье число равнялось бы 6783 > 4000
Решение
а) Возьмём на доске числа 1, 2, 3 и ещё 509 различных нечётных чисел, среди которых 2261. Сумма двух чисел, отличных от 1, делится на 1; сумма 1 и нечётного числа чётна и делится на 2; кроме того 1 + 2 = 3 делится на 3, а 1 + 3 = 4 делится на 2. Все условия выполнены, чисел ровно 512.
б) Тот же набор, укороченный до шесть чисел: 1, 2, 3, 5, 7, 2261.
в) Пусть на доске ровно три числа x < y < z. Сумма x + y делится на z, но 0 < x + y < 2z, поэтому x + y = z. Сумма x + z = 2x + y делится на y, а 0 < 2x < 2y, поэтому 2x = y, и тогда z = 3x. Значит числа образуют набор {x, 2x, 3x}. Число 2261 нечётно и не кратно 3, поэтому 2261 ≠ 2x и 2261 ≠ 3x; при 2261 = x получилось бы z = 6783 > 4000. Значит трёх чисел быть не может, а четыре числа возможны: 1, 2, 3, 2261.
Ответ: 4.
б) Тот же набор, укороченный до шесть чисел: 1, 2, 3, 5, 7, 2261.
в) Пусть на доске ровно три числа x < y < z. Сумма x + y делится на z, но 0 < x + y < 2z, поэтому x + y = z. Сумма x + z = 2x + y делится на y, а 0 < 2x < 2y, поэтому 2x = y, и тогда z = 3x. Значит числа образуют набор {x, 2x, 3x}. Число 2261 нечётно и не кратно 3, поэтому 2261 ≠ 2x и 2261 ≠ 3x; при 2261 = x получилось бы z = 6783 > 4000. Значит трёх чисел быть не может, а четыре числа возможны: 1, 2, 3, 2261.
Ответ: 4.
Пример 5
На доске написано число 3271 и ещё несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 4000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а) Может ли на доске быть написано ровно 1024 числа?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
а) Может ли на доске быть написано ровно 1024 числа?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Показать ответ
а) да, например 1, 2, 3 и ещё 1021 различное нечётное число, среди которых 3271: сумма двух чисел, ни одно из которых не равно 1, делится на 1; сумма единицы и нечётного числа чётна и делится на 2; наконец, 1 + 2 = 3 делится на 3, а 1 + 3 = 4 делится на 2
б) да, например 1, 2, 3, 5, 3271
в) 4; например 1, 2, 3, 3271. Трёх чисел не хватает: если на доске числа x < y < z, то x + y делится на z и 0 < x + y < 2z, поэтому x + y = z; далее x + z = 2x + y делится на y и 0 < 2x < 2y, поэтому y = 2x и z = 3x. Но 3271 нечётно (значит 3271 ≠ 2x), не кратно 3 (значит 3271 ≠ 3x), а при 3271 = x третье число равнялось бы 9813 > 4000
Решение
а) Возьмём на доске числа 1, 2, 3 и ещё 1021 различных нечётных чисел, среди которых 3271. Сумма двух чисел, отличных от 1, делится на 1; сумма 1 и нечётного числа чётна и делится на 2; кроме того 1 + 2 = 3 делится на 3, а 1 + 3 = 4 делится на 2. Все условия выполнены, чисел ровно 1024.
б) Тот же набор, укороченный до пять чисел: 1, 2, 3, 5, 3271.
в) Пусть на доске ровно три числа x < y < z. Сумма x + y делится на z, но 0 < x + y < 2z, поэтому x + y = z. Сумма x + z = 2x + y делится на y, а 0 < 2x < 2y, поэтому 2x = y, и тогда z = 3x. Значит числа образуют набор {x, 2x, 3x}. Число 3271 нечётно и не кратно 3, поэтому 3271 ≠ 2x и 3271 ≠ 3x; при 3271 = x получилось бы z = 9813 > 4000. Значит трёх чисел быть не может, а четыре числа возможны: 1, 2, 3, 3271.
Ответ: 4.
б) Тот же набор, укороченный до пять чисел: 1, 2, 3, 5, 3271.
в) Пусть на доске ровно три числа x < y < z. Сумма x + y делится на z, но 0 < x + y < 2z, поэтому x + y = z. Сумма x + z = 2x + y делится на y, а 0 < 2x < 2y, поэтому 2x = y, и тогда z = 3x. Значит числа образуют набор {x, 2x, 3x}. Число 3271 нечётно и не кратно 3, поэтому 3271 ≠ 2x и 3271 ≠ 3x; при 3271 = x получилось бы z = 9813 > 4000. Значит трёх чисел быть не может, а четыре числа возможны: 1, 2, 3, 3271.
Ответ: 4.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.