Сумма подряд идущих членов прогрессии — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Прогрессии. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Целое число S является суммой не менее трёх последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а) Может ли S равняться 20?
б) Может ли S равняться 1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
а) Может ли S равняться 20?
б) Может ли S равняться 1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
Показать ответ
а) да, например 2, 4, 6, 8
б) нет: сумма n подряд идущих членов равна (n/2)·(2a + d(n − 1)), поэтому при нечётном n она делится на n, а при чётном — на n/2. Значит либо S = 0, либо |S| ≥ n/2 ≥ 3/2, то есть |S| ≥ 2, а 1 этому не удовлетворяет
в) все целые числа, кроме 1 и −1; например 0 = (−1) + 0 + 1, а любое S с |S| ≥ 2 — сумма 2|S| членов с разностью ±1, начиная с 1 − |S| (соответственно |S| − 1)
Решение
Пусть взято n ≥ 3 подряд идущих членов, первый из них равен a, разность равна d ≠ 0. Тогда
S = na + d·n(n − 1)/2 = (n/2)·(2a + d(n − 1)).
а) 20 = сумма набора 2, 4, 6, 8.
б) Если n нечётно, то S = n·(a + d(n − 1)/2) делится на n; если n чётно, то S = (n/2)·(2a + d(n − 1)) делится на n/2. В обоих случаях либо S = 0, либо |S| не меньше n/2 ≥ 3/2, то есть |S| ≥ 2. Значит S = 1 невозможно.
в) Итак, значения 1 и −1 недостижимы. Все остальные целые достижимы: 0 = (−d) + 0 + d; если |S| ≥ 2, возьмём n = 2|S| членов с разностью 1 (при S > 0) или −1 (при S < 0), начиная с 1 − |S| (соответственно |S| − 1): сумма как раз равна S.
Ответ: все целые числа, кроме 1 и −1.
S = na + d·n(n − 1)/2 = (n/2)·(2a + d(n − 1)).
а) 20 = сумма набора 2, 4, 6, 8.
б) Если n нечётно, то S = n·(a + d(n − 1)/2) делится на n; если n чётно, то S = (n/2)·(2a + d(n − 1)) делится на n/2. В обоих случаях либо S = 0, либо |S| не меньше n/2 ≥ 3/2, то есть |S| ≥ 2. Значит S = 1 невозможно.
в) Итак, значения 1 и −1 недостижимы. Все остальные целые достижимы: 0 = (−d) + 0 + d; если |S| ≥ 2, возьмём n = 2|S| членов с разностью 1 (при S > 0) или −1 (при S < 0), начиная с 1 − |S| (соответственно |S| − 1): сумма как раз равна S.
Ответ: все целые числа, кроме 1 и −1.
Пример 2
Целое число S является суммой не менее трёх последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а) Может ли S равняться 22?
б) Может ли S равняться 1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
а) Может ли S равняться 22?
б) Может ли S равняться 1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
Показать ответ
а) да, например 4, 5, 6, 7
б) нет: сумма n подряд идущих членов равна (n/2)·(2a + d(n − 1)), поэтому при нечётном n она делится на n, а при чётном — на n/2. Значит либо S = 0, либо |S| ≥ n/2 ≥ 3/2, то есть |S| ≥ 2, а 1 этому не удовлетворяет
в) все целые числа, кроме 1 и −1; например 0 = (−1) + 0 + 1, а любое S с |S| ≥ 2 — сумма 2|S| членов с разностью ±1, начиная с 1 − |S| (соответственно |S| − 1)
Решение
Пусть взято n ≥ 3 подряд идущих членов, первый из них равен a, разность равна d ≠ 0. Тогда
S = na + d·n(n − 1)/2 = (n/2)·(2a + d(n − 1)).
а) 22 = сумма набора 4, 5, 6, 7.
б) Если n нечётно, то S = n·(a + d(n − 1)/2) делится на n; если n чётно, то S = (n/2)·(2a + d(n − 1)) делится на n/2. В обоих случаях либо S = 0, либо |S| не меньше n/2 ≥ 3/2, то есть |S| ≥ 2. Значит S = 1 невозможно.
в) Итак, значения 1 и −1 недостижимы. Все остальные целые достижимы: 0 = (−d) + 0 + d; если |S| ≥ 2, возьмём n = 2|S| членов с разностью 1 (при S > 0) или −1 (при S < 0), начиная с 1 − |S| (соответственно |S| − 1): сумма как раз равна S.
Ответ: все целые числа, кроме 1 и −1.
S = na + d·n(n − 1)/2 = (n/2)·(2a + d(n − 1)).
а) 22 = сумма набора 4, 5, 6, 7.
б) Если n нечётно, то S = n·(a + d(n − 1)/2) делится на n; если n чётно, то S = (n/2)·(2a + d(n − 1)) делится на n/2. В обоих случаях либо S = 0, либо |S| не меньше n/2 ≥ 3/2, то есть |S| ≥ 2. Значит S = 1 невозможно.
в) Итак, значения 1 и −1 недостижимы. Все остальные целые достижимы: 0 = (−d) + 0 + d; если |S| ≥ 2, возьмём n = 2|S| членов с разностью 1 (при S > 0) или −1 (при S < 0), начиная с 1 − |S| (соответственно |S| − 1): сумма как раз равна S.
Ответ: все целые числа, кроме 1 и −1.
Пример 3
Целое число S является суммой не менее трёх последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а) Может ли S равняться 8?
б) Может ли S равняться −1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
а) Может ли S равняться 8?
б) Может ли S равняться −1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
Показать ответ
а) да, например -1, 1, 3, 5
б) нет: сумма n подряд идущих членов равна (n/2)·(2a + d(n − 1)), поэтому при нечётном n она делится на n, а при чётном — на n/2. Значит либо S = 0, либо |S| ≥ n/2 ≥ 3/2, то есть |S| ≥ 2, а −1 этому не удовлетворяет
в) все целые числа, кроме 1 и −1; например 0 = (−1) + 0 + 1, а любое S с |S| ≥ 2 — сумма 2|S| членов с разностью ±1, начиная с 1 − |S| (соответственно |S| − 1)
Решение
Пусть взято n ≥ 3 подряд идущих членов, первый из них равен a, разность равна d ≠ 0. Тогда
S = na + d·n(n − 1)/2 = (n/2)·(2a + d(n − 1)).
а) 8 = сумма набора -1, 1, 3, 5.
б) Если n нечётно, то S = n·(a + d(n − 1)/2) делится на n; если n чётно, то S = (n/2)·(2a + d(n − 1)) делится на n/2. В обоих случаях либо S = 0, либо |S| не меньше n/2 ≥ 3/2, то есть |S| ≥ 2. Значит S = −1 невозможно.
в) Итак, значения 1 и −1 недостижимы. Все остальные целые достижимы: 0 = (−d) + 0 + d; если |S| ≥ 2, возьмём n = 2|S| членов с разностью 1 (при S > 0) или −1 (при S < 0), начиная с 1 − |S| (соответственно |S| − 1): сумма как раз равна S.
Ответ: все целые числа, кроме 1 и −1.
S = na + d·n(n − 1)/2 = (n/2)·(2a + d(n − 1)).
а) 8 = сумма набора -1, 1, 3, 5.
б) Если n нечётно, то S = n·(a + d(n − 1)/2) делится на n; если n чётно, то S = (n/2)·(2a + d(n − 1)) делится на n/2. В обоих случаях либо S = 0, либо |S| не меньше n/2 ≥ 3/2, то есть |S| ≥ 2. Значит S = −1 невозможно.
в) Итак, значения 1 и −1 недостижимы. Все остальные целые достижимы: 0 = (−d) + 0 + d; если |S| ≥ 2, возьмём n = 2|S| членов с разностью 1 (при S > 0) или −1 (при S < 0), начиная с 1 − |S| (соответственно |S| − 1): сумма как раз равна S.
Ответ: все целые числа, кроме 1 и −1.
Пример 4
Целое число S является суммой не менее трёх последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а) Может ли S равняться 26?
б) Может ли S равняться −1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
а) Может ли S равняться 26?
б) Может ли S равняться −1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
Показать ответ
а) да, например 5, 6, 7, 8
б) нет: сумма n подряд идущих членов равна (n/2)·(2a + d(n − 1)), поэтому при нечётном n она делится на n, а при чётном — на n/2. Значит либо S = 0, либо |S| ≥ n/2 ≥ 3/2, то есть |S| ≥ 2, а −1 этому не удовлетворяет
в) все целые числа, кроме 1 и −1; например 0 = (−1) + 0 + 1, а любое S с |S| ≥ 2 — сумма 2|S| членов с разностью ±1, начиная с 1 − |S| (соответственно |S| − 1)
Решение
Пусть взято n ≥ 3 подряд идущих членов, первый из них равен a, разность равна d ≠ 0. Тогда
S = na + d·n(n − 1)/2 = (n/2)·(2a + d(n − 1)).
а) 26 = сумма набора 5, 6, 7, 8.
б) Если n нечётно, то S = n·(a + d(n − 1)/2) делится на n; если n чётно, то S = (n/2)·(2a + d(n − 1)) делится на n/2. В обоих случаях либо S = 0, либо |S| не меньше n/2 ≥ 3/2, то есть |S| ≥ 2. Значит S = −1 невозможно.
в) Итак, значения 1 и −1 недостижимы. Все остальные целые достижимы: 0 = (−d) + 0 + d; если |S| ≥ 2, возьмём n = 2|S| членов с разностью 1 (при S > 0) или −1 (при S < 0), начиная с 1 − |S| (соответственно |S| − 1): сумма как раз равна S.
Ответ: все целые числа, кроме 1 и −1.
S = na + d·n(n − 1)/2 = (n/2)·(2a + d(n − 1)).
а) 26 = сумма набора 5, 6, 7, 8.
б) Если n нечётно, то S = n·(a + d(n − 1)/2) делится на n; если n чётно, то S = (n/2)·(2a + d(n − 1)) делится на n/2. В обоих случаях либо S = 0, либо |S| не меньше n/2 ≥ 3/2, то есть |S| ≥ 2. Значит S = −1 невозможно.
в) Итак, значения 1 и −1 недостижимы. Все остальные целые достижимы: 0 = (−d) + 0 + d; если |S| ≥ 2, возьмём n = 2|S| членов с разностью 1 (при S > 0) или −1 (при S < 0), начиная с 1 − |S| (соответственно |S| − 1): сумма как раз равна S.
Ответ: все целые числа, кроме 1 и −1.
Пример 5
Целое число S является суммой не менее трёх последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а) Может ли S равняться 14?
б) Может ли S равняться 1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
а) Может ли S равняться 14?
б) Может ли S равняться 1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
Показать ответ
а) да, например 2, 3, 4, 5
б) нет: сумма n подряд идущих членов равна (n/2)·(2a + d(n − 1)), поэтому при нечётном n она делится на n, а при чётном — на n/2. Значит либо S = 0, либо |S| ≥ n/2 ≥ 3/2, то есть |S| ≥ 2, а 1 этому не удовлетворяет
в) все целые числа, кроме 1 и −1; например 0 = (−1) + 0 + 1, а любое S с |S| ≥ 2 — сумма 2|S| членов с разностью ±1, начиная с 1 − |S| (соответственно |S| − 1)
Решение
Пусть взято n ≥ 3 подряд идущих членов, первый из них равен a, разность равна d ≠ 0. Тогда
S = na + d·n(n − 1)/2 = (n/2)·(2a + d(n − 1)).
а) 14 = сумма набора 2, 3, 4, 5.
б) Если n нечётно, то S = n·(a + d(n − 1)/2) делится на n; если n чётно, то S = (n/2)·(2a + d(n − 1)) делится на n/2. В обоих случаях либо S = 0, либо |S| не меньше n/2 ≥ 3/2, то есть |S| ≥ 2. Значит S = 1 невозможно.
в) Итак, значения 1 и −1 недостижимы. Все остальные целые достижимы: 0 = (−d) + 0 + d; если |S| ≥ 2, возьмём n = 2|S| членов с разностью 1 (при S > 0) или −1 (при S < 0), начиная с 1 − |S| (соответственно |S| − 1): сумма как раз равна S.
Ответ: все целые числа, кроме 1 и −1.
S = na + d·n(n − 1)/2 = (n/2)·(2a + d(n − 1)).
а) 14 = сумма набора 2, 3, 4, 5.
б) Если n нечётно, то S = n·(a + d(n − 1)/2) делится на n; если n чётно, то S = (n/2)·(2a + d(n − 1)) делится на n/2. В обоих случаях либо S = 0, либо |S| не меньше n/2 ≥ 3/2, то есть |S| ≥ 2. Значит S = 1 невозможно.
в) Итак, значения 1 и −1 недостижимы. Все остальные целые достижимы: 0 = (−d) + 0 + d; если |S| ≥ 2, возьмём n = 2|S| членов с разностью 1 (при S > 0) или −1 (при S < 0), начиная с 1 − |S| (соответственно |S| − 1): сумма как раз равна S.
Ответ: все целые числа, кроме 1 и −1.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.