Сумма рейтингов всех футболистов: наибольшая — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Проценты и округление. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На сайте проводится опрос, кого из 120 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 17 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 29. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 21?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
а) Всего проголосовало 17 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 29. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 21?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
Показать ответ
а) 28: рейтинг 29 при 17 голосовавших даёт ровно 5 голосов, а после голоса Васи это 5 из 18 (27,78 %), то есть 28
б) да, например при 200 проголосовавших 119 футболистов получили по одному голосу (доля 0,5 % округляется до 1), а один — 81; после голоса Васи за этого одного голосов стало 201, доля каждого «одиночки» стала меньше 0,5 % и её рейтинг обнулился — сумма рейтингов упала с 160 до 41, то есть на 119
в) 160; например, при 200 проголосовавших 40 футболистов получили по 3 голоса (доля 1,5 % → рейтинг 2), а остальные 80 — по одному (доля 0,5 % → рейтинг 1): сумма равна 160
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5, поэтому округление увеличивает долю меньше чем на 0,5, а ровно на 0,5 — только когда доля оканчивается на «,5».
а) При 17 голосовавших рейтинг 29 даёт только k = 5. Вася отдал голос ДРУГОМУ футболисту, поэтому у первого осталось 5 голосов, а всего голосов стало 18: доля 27,78 % округляется до 28. Ответ: 28.
б) Пусть проголосовали 200 человек: 119 футболистов получили по одному голосу, ещё один — 81. Доля «одиночки» равна ровно 0,5 %, её рейтинг 1. После голоса Васи голосов стало 201, доля «одиночки» — меньше 0,5 %, рейтинг 0. Сумма рейтингов упала с 160 до 41, то есть на 119 ≥ 21. Ответ: да.
в) Ненулевые доли есть не более чем у 120 футболистов, их сумма равна 100, а каждое округление добавляет не больше 0,5. Значит сумма рейтингов не превосходит 100 + 120/2 = 160. Равенство достигается: 200 голосующих, 40 футболистов по 3 голоса и 80 по одному — все доли оканчиваются на «,5». Ответ: 160.
а) При 17 голосовавших рейтинг 29 даёт только k = 5. Вася отдал голос ДРУГОМУ футболисту, поэтому у первого осталось 5 голосов, а всего голосов стало 18: доля 27,78 % округляется до 28. Ответ: 28.
б) Пусть проголосовали 200 человек: 119 футболистов получили по одному голосу, ещё один — 81. Доля «одиночки» равна ровно 0,5 %, её рейтинг 1. После голоса Васи голосов стало 201, доля «одиночки» — меньше 0,5 %, рейтинг 0. Сумма рейтингов упала с 160 до 41, то есть на 119 ≥ 21. Ответ: да.
в) Ненулевые доли есть не более чем у 120 футболистов, их сумма равна 100, а каждое округление добавляет не больше 0,5. Значит сумма рейтингов не превосходит 100 + 120/2 = 160. Равенство достигается: 200 голосующих, 40 футболистов по 3 голоса и 80 по одному — все доли оканчиваются на «,5». Ответ: 160.
Пример 2
На сайте проводится опрос, кого из 150 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 16 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 25. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 32?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
а) Всего проголосовало 16 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 25. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 32?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
Показать ответ
а) 24: рейтинг 25 при 16 голосовавших даёт ровно 4 голоса, а после голоса Васи это 4 из 17 (23,53 %), то есть 24
б) да, например при 200 проголосовавших 149 футболистов получили по одному голосу (доля 0,5 % округляется до 1), а один — 51; после голоса Васи за этого одного голосов стало 201, доля каждого «одиночки» стала меньше 0,5 % и её рейтинг обнулился — сумма рейтингов упала с 175 до 26, то есть на 149
в) 175; например, при 200 проголосовавших 25 футболистов получили по 3 голоса (доля 1,5 % → рейтинг 2), а остальные 125 — по одному (доля 0,5 % → рейтинг 1): сумма равна 175
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5, поэтому округление увеличивает долю меньше чем на 0,5, а ровно на 0,5 — только когда доля оканчивается на «,5».
а) При 16 голосовавших рейтинг 25 даёт только k = 4. Вася отдал голос ДРУГОМУ футболисту, поэтому у первого осталось 4 голоса, а всего голосов стало 17: доля 23,53 % округляется до 24. Ответ: 24.
б) Пусть проголосовали 200 человек: 149 футболистов получили по одному голосу, ещё один — 51. Доля «одиночки» равна ровно 0,5 %, её рейтинг 1. После голоса Васи голосов стало 201, доля «одиночки» — меньше 0,5 %, рейтинг 0. Сумма рейтингов упала с 175 до 26, то есть на 149 ≥ 32. Ответ: да.
в) Ненулевые доли есть не более чем у 150 футболистов, их сумма равна 100, а каждое округление добавляет не больше 0,5. Значит сумма рейтингов не превосходит 100 + 150/2 = 175. Равенство достигается: 200 голосующих, 25 футболистов по 3 голоса и 125 по одному — все доли оканчиваются на «,5». Ответ: 175.
а) При 16 голосовавших рейтинг 25 даёт только k = 4. Вася отдал голос ДРУГОМУ футболисту, поэтому у первого осталось 4 голоса, а всего голосов стало 17: доля 23,53 % округляется до 24. Ответ: 24.
б) Пусть проголосовали 200 человек: 149 футболистов получили по одному голосу, ещё один — 51. Доля «одиночки» равна ровно 0,5 %, её рейтинг 1. После голоса Васи голосов стало 201, доля «одиночки» — меньше 0,5 %, рейтинг 0. Сумма рейтингов упала с 175 до 26, то есть на 149 ≥ 32. Ответ: да.
в) Ненулевые доли есть не более чем у 150 футболистов, их сумма равна 100, а каждое округление добавляет не больше 0,5. Значит сумма рейтингов не превосходит 100 + 150/2 = 175. Равенство достигается: 200 голосующих, 25 футболистов по 3 голоса и 125 по одному — все доли оканчиваются на «,5». Ответ: 175.
Пример 3
На сайте проводится опрос, кого из 150 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 64. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 25?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 64. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 25?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
Показать ответ
а) 58: рейтинг 64 при 11 голосовавших даёт ровно 7 голосов, а после голоса Васи это 7 из 12 (58,33 %), то есть 58
б) да, например при 200 проголосовавших 149 футболистов получили по одному голосу (доля 0,5 % округляется до 1), а один — 51; после голоса Васи за этого одного голосов стало 201, доля каждого «одиночки» стала меньше 0,5 % и её рейтинг обнулился — сумма рейтингов упала с 175 до 26, то есть на 149
в) 175; например, при 200 проголосовавших 25 футболистов получили по 3 голоса (доля 1,5 % → рейтинг 2), а остальные 125 — по одному (доля 0,5 % → рейтинг 1): сумма равна 175
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5, поэтому округление увеличивает долю меньше чем на 0,5, а ровно на 0,5 — только когда доля оканчивается на «,5».
а) При 11 голосовавших рейтинг 64 даёт только k = 7. Вася отдал голос ДРУГОМУ футболисту, поэтому у первого осталось 7 голосов, а всего голосов стало 12: доля 58,33 % округляется до 58. Ответ: 58.
б) Пусть проголосовали 200 человек: 149 футболистов получили по одному голосу, ещё один — 51. Доля «одиночки» равна ровно 0,5 %, её рейтинг 1. После голоса Васи голосов стало 201, доля «одиночки» — меньше 0,5 %, рейтинг 0. Сумма рейтингов упала с 175 до 26, то есть на 149 ≥ 25. Ответ: да.
в) Ненулевые доли есть не более чем у 150 футболистов, их сумма равна 100, а каждое округление добавляет не больше 0,5. Значит сумма рейтингов не превосходит 100 + 150/2 = 175. Равенство достигается: 200 голосующих, 25 футболистов по 3 голоса и 125 по одному — все доли оканчиваются на «,5». Ответ: 175.
а) При 11 голосовавших рейтинг 64 даёт только k = 7. Вася отдал голос ДРУГОМУ футболисту, поэтому у первого осталось 7 голосов, а всего голосов стало 12: доля 58,33 % округляется до 58. Ответ: 58.
б) Пусть проголосовали 200 человек: 149 футболистов получили по одному голосу, ещё один — 51. Доля «одиночки» равна ровно 0,5 %, её рейтинг 1. После голоса Васи голосов стало 201, доля «одиночки» — меньше 0,5 %, рейтинг 0. Сумма рейтингов упала с 175 до 26, то есть на 149 ≥ 25. Ответ: да.
в) Ненулевые доли есть не более чем у 150 футболистов, их сумма равна 100, а каждое округление добавляет не больше 0,5. Значит сумма рейтингов не превосходит 100 + 150/2 = 175. Равенство достигается: 200 голосующих, 25 футболистов по 3 голоса и 125 по одному — все доли оканчиваются на «,5». Ответ: 175.
Пример 4
На сайте проводится опрос, кого из 146 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 18 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 50. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 31?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
а) Всего проголосовало 18 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 50. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 31?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
Показать ответ
а) 47: рейтинг 50 при 18 голосовавших даёт ровно 9 голосов, а после голоса Васи это 9 из 19 (47,37 %), то есть 47
б) да, например при 200 проголосовавших 145 футболистов получили по одному голосу (доля 0,5 % округляется до 1), а один — 55; после голоса Васи за этого одного голосов стало 201, доля каждого «одиночки» стала меньше 0,5 % и её рейтинг обнулился — сумма рейтингов упала с 173 до 28, то есть на 145
в) 173; например, при 200 проголосовавших 27 футболистов получили по 3 голоса (доля 1,5 % → рейтинг 2), а остальные 119 — по одному (доля 0,5 % → рейтинг 1): сумма равна 173
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5, поэтому округление увеличивает долю меньше чем на 0,5, а ровно на 0,5 — только когда доля оканчивается на «,5».
а) При 18 голосовавших рейтинг 50 даёт только k = 9. Вася отдал голос ДРУГОМУ футболисту, поэтому у первого осталось 9 голосов, а всего голосов стало 19: доля 47,37 % округляется до 47. Ответ: 47.
б) Пусть проголосовали 200 человек: 145 футболистов получили по одному голосу, ещё один — 55. Доля «одиночки» равна ровно 0,5 %, её рейтинг 1. После голоса Васи голосов стало 201, доля «одиночки» — меньше 0,5 %, рейтинг 0. Сумма рейтингов упала с 173 до 28, то есть на 145 ≥ 31. Ответ: да.
в) Ненулевые доли есть не более чем у 146 футболистов, их сумма равна 100, а каждое округление добавляет не больше 0,5. Значит сумма рейтингов не превосходит 100 + 146/2 = 173. Равенство достигается: 200 голосующих, 27 футболистов по 3 голоса и 119 по одному — все доли оканчиваются на «,5». Ответ: 173.
а) При 18 голосовавших рейтинг 50 даёт только k = 9. Вася отдал голос ДРУГОМУ футболисту, поэтому у первого осталось 9 голосов, а всего голосов стало 19: доля 47,37 % округляется до 47. Ответ: 47.
б) Пусть проголосовали 200 человек: 145 футболистов получили по одному голосу, ещё один — 55. Доля «одиночки» равна ровно 0,5 %, её рейтинг 1. После голоса Васи голосов стало 201, доля «одиночки» — меньше 0,5 %, рейтинг 0. Сумма рейтингов упала с 173 до 28, то есть на 145 ≥ 31. Ответ: да.
в) Ненулевые доли есть не более чем у 146 футболистов, их сумма равна 100, а каждое округление добавляет не больше 0,5. Значит сумма рейтингов не превосходит 100 + 146/2 = 173. Равенство достигается: 200 голосующих, 27 футболистов по 3 голоса и 119 по одному — все доли оканчиваются на «,5». Ответ: 173.
Пример 5
На сайте проводится опрос, кого из 128 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 19 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 79. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 37?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
а) Всего проголосовало 19 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 79. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 37?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
Показать ответ
а) 75: рейтинг 79 при 19 голосовавших даёт ровно 15 голосов, а после голоса Васи это 15 из 20 (75 %), то есть 75
б) да, например при 200 проголосовавших 127 футболистов получили по одному голосу (доля 0,5 % округляется до 1), а один — 73; после голоса Васи за этого одного голосов стало 201, доля каждого «одиночки» стала меньше 0,5 % и её рейтинг обнулился — сумма рейтингов упала с 164 до 37, то есть на 127
в) 164; например, при 200 проголосовавших 36 футболистов получили по 3 голоса (доля 1,5 % → рейтинг 2), а остальные 92 — по одному (доля 0,5 % → рейтинг 1): сумма равна 164
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5, поэтому округление увеличивает долю меньше чем на 0,5, а ровно на 0,5 — только когда доля оканчивается на «,5».
а) При 19 голосовавших рейтинг 79 даёт только k = 15. Вася отдал голос ДРУГОМУ футболисту, поэтому у первого осталось 15 голосов, а всего голосов стало 20: доля 75 % округляется до 75. Ответ: 75.
б) Пусть проголосовали 200 человек: 127 футболистов получили по одному голосу, ещё один — 73. Доля «одиночки» равна ровно 0,5 %, её рейтинг 1. После голоса Васи голосов стало 201, доля «одиночки» — меньше 0,5 %, рейтинг 0. Сумма рейтингов упала с 164 до 37, то есть на 127 ≥ 37. Ответ: да.
в) Ненулевые доли есть не более чем у 128 футболистов, их сумма равна 100, а каждое округление добавляет не больше 0,5. Значит сумма рейтингов не превосходит 100 + 128/2 = 164. Равенство достигается: 200 голосующих, 36 футболистов по 3 голоса и 92 по одному — все доли оканчиваются на «,5». Ответ: 164.
а) При 19 голосовавших рейтинг 79 даёт только k = 15. Вася отдал голос ДРУГОМУ футболисту, поэтому у первого осталось 15 голосов, а всего голосов стало 20: доля 75 % округляется до 75. Ответ: 75.
б) Пусть проголосовали 200 человек: 127 футболистов получили по одному голосу, ещё один — 73. Доля «одиночки» равна ровно 0,5 %, её рейтинг 1. После голоса Васи голосов стало 201, доля «одиночки» — меньше 0,5 %, рейтинг 0. Сумма рейтингов упала с 164 до 37, то есть на 127 ≥ 37. Ответ: да.
в) Ненулевые доли есть не более чем у 128 футболистов, их сумма равна 100, а каждое округление добавляет не больше 0,5. Значит сумма рейтингов не превосходит 100 + 128/2 = 164. Равенство достигается: 200 голосующих, 36 футболистов по 3 голоса и 92 по одному — все доли оканчиваются на «,5». Ответ: 164.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.