Сумма слагаемых с одинаковой суммой цифр — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Цифры: произведение цифр и цепочки сумм цифр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Суммой цифр натурального числа называется сумма всех цифр его десятичной записи.
а) Можно ли представить число 3873 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли представить число 199 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы восьми различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
а) Можно ли представить число 3873 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли представить число 199 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы восьми различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
Показать ответ
а) да: 3873 = 2535 + 1338, сумма цифр каждого слагаемого равна 15
б) нет: при сложении в столбик S(x) + S(y) = S(x + y) + 9c, где c — число переносов. У числа 199 все разряды, кроме старшего, равны 9, а перенос из разряда с цифрой 9 требует a + b + c₋ = 19, то есть возможен только вслед за переносом из предыдущего разряда; в младшем разряде переноса ещё нет, значит переносов нет вообще, а перенос из старшего разряда добавил бы сумме лишний разряд. Поэтому 2s = S(199) = 19 — нечётное число, что невозможно
в) 308; например 7 + 16 + 25 + 34 + 43 + 52 + 61 + 70 = 308: слагаемые различны, и сумма цифр каждого равна 7
Решение
Обозначим через S(v) сумму цифр числа v. При сложении в столбик каждый перенос уменьшает сумму цифр на 9, поэтому S(x) + S(y) = S(x + y) + 9c, где c — число переносов.
а) 3873 = 2535 + 1338, причём S(2535) = S(1338) = 15.
б) Пусть 199 = x + y и S(x) = S(y) = s. Тогда 2s = 19 + 9c. У числа 199 все разряды, кроме старшего, равны 9: перенос из такого разряда требует a + b + c₋ = 19, то есть при c₋ = 0 нужно a + b = 19 > 18 — невозможно. Значит переносы могли бы идти только цепочкой из младшего разряда, где переноса ещё нет, то есть c = 0. Но тогда 2s = 19 — нечётное число, чего быть не может.
в) Пусть все слагаемые имеют сумму цифр s. Наименьшие числа с суммой цифр s — это s, s + 9, s + 18, …, поэтому сумма восьми различных таких чисел не меньше n·s + 9·(1 + 2 + … + (n − 1)) = 8s + 252. Эта величина растёт с ростом s, а требование s ≥ 7 возникает из того, что чисел вида s + 9i с суммой цифр s ровно s + 1. При s = 7 получаем 308 и набор 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70.
Ответ: 308.
а) 3873 = 2535 + 1338, причём S(2535) = S(1338) = 15.
б) Пусть 199 = x + y и S(x) = S(y) = s. Тогда 2s = 19 + 9c. У числа 199 все разряды, кроме старшего, равны 9: перенос из такого разряда требует a + b + c₋ = 19, то есть при c₋ = 0 нужно a + b = 19 > 18 — невозможно. Значит переносы могли бы идти только цепочкой из младшего разряда, где переноса ещё нет, то есть c = 0. Но тогда 2s = 19 — нечётное число, чего быть не может.
в) Пусть все слагаемые имеют сумму цифр s. Наименьшие числа с суммой цифр s — это s, s + 9, s + 18, …, поэтому сумма восьми различных таких чисел не меньше n·s + 9·(1 + 2 + … + (n − 1)) = 8s + 252. Эта величина растёт с ростом s, а требование s ≥ 7 возникает из того, что чисел вида s + 9i с суммой цифр s ровно s + 1. При s = 7 получаем 308 и набор 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70.
Ответ: 308.
Пример 2
Суммой цифр натурального числа называется сумма всех цифр его десятичной записи.
а) Можно ли представить число 939 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли представить число 8999 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
а) Можно ли представить число 939 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли представить число 8999 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
Показать ответ
а) да: 939 = 564 + 375, сумма цифр каждого слагаемого равна 15
б) нет: при сложении в столбик S(x) + S(y) = S(x + y) + 9c, где c — число переносов. У числа 8999 все разряды, кроме старшего, равны 9, а перенос из разряда с цифрой 9 требует a + b + c₋ = 19, то есть возможен только вслед за переносом из предыдущего разряда; в младшем разряде переноса ещё нет, значит переносов нет вообще, а перенос из старшего разряда добавил бы сумме лишний разряд. Поэтому 2s = S(8999) = 35 — нечётное число, что невозможно
в) 165; например 5 + 14 + 23 + 32 + 41 + 50 = 165: слагаемые различны, и сумма цифр каждого равна 5
Решение
Обозначим через S(v) сумму цифр числа v. При сложении в столбик каждый перенос уменьшает сумму цифр на 9, поэтому S(x) + S(y) = S(x + y) + 9c, где c — число переносов.
а) 939 = 564 + 375, причём S(564) = S(375) = 15.
б) Пусть 8999 = x + y и S(x) = S(y) = s. Тогда 2s = 35 + 9c. У числа 8999 все разряды, кроме старшего, равны 9: перенос из такого разряда требует a + b + c₋ = 19, то есть при c₋ = 0 нужно a + b = 19 > 18 — невозможно. Значит переносы могли бы идти только цепочкой из младшего разряда, где переноса ещё нет, то есть c = 0. Но тогда 2s = 35 — нечётное число, чего быть не может.
в) Пусть все слагаемые имеют сумму цифр s. Наименьшие числа с суммой цифр s — это s, s + 9, s + 18, …, поэтому сумма шести различных таких чисел не меньше n·s + 9·(1 + 2 + … + (n − 1)) = 6s + 135. Эта величина растёт с ростом s, а требование s ≥ 5 возникает из того, что чисел вида s + 9i с суммой цифр s ровно s + 1. При s = 5 получаем 165 и набор 5, 14, 23, 32, 41, 50.
Ответ: 165.
а) 939 = 564 + 375, причём S(564) = S(375) = 15.
б) Пусть 8999 = x + y и S(x) = S(y) = s. Тогда 2s = 35 + 9c. У числа 8999 все разряды, кроме старшего, равны 9: перенос из такого разряда требует a + b + c₋ = 19, то есть при c₋ = 0 нужно a + b = 19 > 18 — невозможно. Значит переносы могли бы идти только цепочкой из младшего разряда, где переноса ещё нет, то есть c = 0. Но тогда 2s = 35 — нечётное число, чего быть не может.
в) Пусть все слагаемые имеют сумму цифр s. Наименьшие числа с суммой цифр s — это s, s + 9, s + 18, …, поэтому сумма шести различных таких чисел не меньше n·s + 9·(1 + 2 + … + (n − 1)) = 6s + 135. Эта величина растёт с ростом s, а требование s ≥ 5 возникает из того, что чисел вида s + 9i с суммой цифр s ровно s + 1. При s = 5 получаем 165 и набор 5, 14, 23, 32, 41, 50.
Ответ: 165.
Пример 3
Суммой цифр натурального числа называется сумма всех цифр его десятичной записи.
а) Можно ли представить число 5686 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
а) Можно ли представить число 5686 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
Показать ответ
а) да: 5686 = 3293 + 2393, сумма цифр каждого слагаемого равна 17
б) нет: при сложении в столбик S(x) + S(y) = S(x + y) + 9c, где c — число переносов. У числа 599 все разряды, кроме старшего, равны 9, а перенос из разряда с цифрой 9 требует a + b + c₋ = 19, то есть возможен только вслед за переносом из предыдущего разряда; в младшем разряде переноса ещё нет, значит переносов нет вообще, а перенос из старшего разряда добавил бы сумме лишний разряд. Поэтому 2s = S(599) = 23 — нечётное число, что невозможно
в) 110; например 4 + 13 + 22 + 31 + 40 = 110: слагаемые различны, и сумма цифр каждого равна 4
Решение
Обозначим через S(v) сумму цифр числа v. При сложении в столбик каждый перенос уменьшает сумму цифр на 9, поэтому S(x) + S(y) = S(x + y) + 9c, где c — число переносов.
а) 5686 = 3293 + 2393, причём S(3293) = S(2393) = 17.
б) Пусть 599 = x + y и S(x) = S(y) = s. Тогда 2s = 23 + 9c. У числа 599 все разряды, кроме старшего, равны 9: перенос из такого разряда требует a + b + c₋ = 19, то есть при c₋ = 0 нужно a + b = 19 > 18 — невозможно. Значит переносы могли бы идти только цепочкой из младшего разряда, где переноса ещё нет, то есть c = 0. Но тогда 2s = 23 — нечётное число, чего быть не может.
в) Пусть все слагаемые имеют сумму цифр s. Наименьшие числа с суммой цифр s — это s, s + 9, s + 18, …, поэтому сумма пяти различных таких чисел не меньше n·s + 9·(1 + 2 + … + (n − 1)) = 5s + 90. Эта величина растёт с ростом s, а требование s ≥ 4 возникает из того, что чисел вида s + 9i с суммой цифр s ровно s + 1. При s = 4 получаем 110 и набор 4, 13, 22, 31, 40.
Ответ: 110.
а) 5686 = 3293 + 2393, причём S(3293) = S(2393) = 17.
б) Пусть 599 = x + y и S(x) = S(y) = s. Тогда 2s = 23 + 9c. У числа 599 все разряды, кроме старшего, равны 9: перенос из такого разряда требует a + b + c₋ = 19, то есть при c₋ = 0 нужно a + b = 19 > 18 — невозможно. Значит переносы могли бы идти только цепочкой из младшего разряда, где переноса ещё нет, то есть c = 0. Но тогда 2s = 23 — нечётное число, чего быть не может.
в) Пусть все слагаемые имеют сумму цифр s. Наименьшие числа с суммой цифр s — это s, s + 9, s + 18, …, поэтому сумма пяти различных таких чисел не меньше n·s + 9·(1 + 2 + … + (n − 1)) = 5s + 90. Эта величина растёт с ростом s, а требование s ≥ 4 возникает из того, что чисел вида s + 9i с суммой цифр s ровно s + 1. При s = 4 получаем 110 и набор 4, 13, 22, 31, 40.
Ответ: 110.
Пример 4
Суммой цифр натурального числа называется сумма всех цифр его десятичной записи.
а) Можно ли представить число 2861 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли представить число 399 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
а) Можно ли представить число 2861 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли представить число 399 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
Показать ответ
а) да: 2861 = 2236 + 625, сумма цифр каждого слагаемого равна 13
б) нет: при сложении в столбик S(x) + S(y) = S(x + y) + 9c, где c — число переносов. У числа 399 все разряды, кроме старшего, равны 9, а перенос из разряда с цифрой 9 требует a + b + c₋ = 19, то есть возможен только вслед за переносом из предыдущего разряда; в младшем разряде переноса ещё нет, значит переносов нет вообще, а перенос из старшего разряда добавил бы сумме лишний разряд. Поэтому 2s = S(399) = 21 — нечётное число, что невозможно
в) 165; например 5 + 14 + 23 + 32 + 41 + 50 = 165: слагаемые различны, и сумма цифр каждого равна 5
Решение
Обозначим через S(v) сумму цифр числа v. При сложении в столбик каждый перенос уменьшает сумму цифр на 9, поэтому S(x) + S(y) = S(x + y) + 9c, где c — число переносов.
а) 2861 = 2236 + 625, причём S(2236) = S(625) = 13.
б) Пусть 399 = x + y и S(x) = S(y) = s. Тогда 2s = 21 + 9c. У числа 399 все разряды, кроме старшего, равны 9: перенос из такого разряда требует a + b + c₋ = 19, то есть при c₋ = 0 нужно a + b = 19 > 18 — невозможно. Значит переносы могли бы идти только цепочкой из младшего разряда, где переноса ещё нет, то есть c = 0. Но тогда 2s = 21 — нечётное число, чего быть не может.
в) Пусть все слагаемые имеют сумму цифр s. Наименьшие числа с суммой цифр s — это s, s + 9, s + 18, …, поэтому сумма шести различных таких чисел не меньше n·s + 9·(1 + 2 + … + (n − 1)) = 6s + 135. Эта величина растёт с ростом s, а требование s ≥ 5 возникает из того, что чисел вида s + 9i с суммой цифр s ровно s + 1. При s = 5 получаем 165 и набор 5, 14, 23, 32, 41, 50.
Ответ: 165.
а) 2861 = 2236 + 625, причём S(2236) = S(625) = 13.
б) Пусть 399 = x + y и S(x) = S(y) = s. Тогда 2s = 21 + 9c. У числа 399 все разряды, кроме старшего, равны 9: перенос из такого разряда требует a + b + c₋ = 19, то есть при c₋ = 0 нужно a + b = 19 > 18 — невозможно. Значит переносы могли бы идти только цепочкой из младшего разряда, где переноса ещё нет, то есть c = 0. Но тогда 2s = 21 — нечётное число, чего быть не может.
в) Пусть все слагаемые имеют сумму цифр s. Наименьшие числа с суммой цифр s — это s, s + 9, s + 18, …, поэтому сумма шести различных таких чисел не меньше n·s + 9·(1 + 2 + … + (n − 1)) = 6s + 135. Эта величина растёт с ростом s, а требование s ≥ 5 возникает из того, что чисел вида s + 9i с суммой цифр s ровно s + 1. При s = 5 получаем 165 и набор 5, 14, 23, 32, 41, 50.
Ответ: 165.
Пример 5
Суммой цифр натурального числа называется сумма всех цифр его десятичной записи.
а) Можно ли представить число 3764 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли представить число 4999 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
а) Можно ли представить число 3764 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли представить число 4999 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
Показать ответ
а) да: 3764 = 2368 + 1396, сумма цифр каждого слагаемого равна 19
б) нет: при сложении в столбик S(x) + S(y) = S(x + y) + 9c, где c — число переносов. У числа 4999 все разряды, кроме старшего, равны 9, а перенос из разряда с цифрой 9 требует a + b + c₋ = 19, то есть возможен только вслед за переносом из предыдущего разряда; в младшем разряде переноса ещё нет, значит переносов нет вообще, а перенос из старшего разряда добавил бы сумме лишний разряд. Поэтому 2s = S(4999) = 31 — нечётное число, что невозможно
в) 165; например 5 + 14 + 23 + 32 + 41 + 50 = 165: слагаемые различны, и сумма цифр каждого равна 5
Решение
Обозначим через S(v) сумму цифр числа v. При сложении в столбик каждый перенос уменьшает сумму цифр на 9, поэтому S(x) + S(y) = S(x + y) + 9c, где c — число переносов.
а) 3764 = 2368 + 1396, причём S(2368) = S(1396) = 19.
б) Пусть 4999 = x + y и S(x) = S(y) = s. Тогда 2s = 31 + 9c. У числа 4999 все разряды, кроме старшего, равны 9: перенос из такого разряда требует a + b + c₋ = 19, то есть при c₋ = 0 нужно a + b = 19 > 18 — невозможно. Значит переносы могли бы идти только цепочкой из младшего разряда, где переноса ещё нет, то есть c = 0. Но тогда 2s = 31 — нечётное число, чего быть не может.
в) Пусть все слагаемые имеют сумму цифр s. Наименьшие числа с суммой цифр s — это s, s + 9, s + 18, …, поэтому сумма шести различных таких чисел не меньше n·s + 9·(1 + 2 + … + (n − 1)) = 6s + 135. Эта величина растёт с ростом s, а требование s ≥ 5 возникает из того, что чисел вида s + 9i с суммой цифр s ровно s + 1. При s = 5 получаем 165 и набор 5, 14, 23, 32, 41, 50.
Ответ: 165.
а) 3764 = 2368 + 1396, причём S(2368) = S(1396) = 19.
б) Пусть 4999 = x + y и S(x) = S(y) = s. Тогда 2s = 31 + 9c. У числа 4999 все разряды, кроме старшего, равны 9: перенос из такого разряда требует a + b + c₋ = 19, то есть при c₋ = 0 нужно a + b = 19 > 18 — невозможно. Значит переносы могли бы идти только цепочкой из младшего разряда, где переноса ещё нет, то есть c = 0. Но тогда 2s = 31 — нечётное число, чего быть не может.
в) Пусть все слагаемые имеют сумму цифр s. Наименьшие числа с суммой цифр s — это s, s + 9, s + 18, …, поэтому сумма шести различных таких чисел не меньше n·s + 9·(1 + 2 + … + (n − 1)) = 6s + 135. Эта величина растёт с ростом s, а требование s ≥ 5 возникает из того, что чисел вида s + 9i с суммой цифр s ровно s + 1. При s = 5 получаем 165 и набор 5, 14, 23, 32, 41, 50.
Ответ: 165.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.