Сюжетные задачи с перебором — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Сюжетные задачи с перебором. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4, 5. Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.
а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 40.
а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 40.
Показать ответ
а) да, например 13 чисел по 1, 17 чисел по 2, число 3, число 4, число 5: сумма 27 наибольших чисел равна 53 < 54
б) нет: пусть единиц k. Остальные 33 − k чисел не меньше 2, причём среди них есть 3, 4, 5, поэтому их сумма не меньше 12 + 2(33 − k − 3). Сумма 27 наибольших чисел — это сумма всех неединиц плюс ещё (k − 6) единиц, и она не превосходит 53. Из 12 + 2(33 − k − 3) + (k − 6) ≤ 53 получаем k ≥ 13
в) в наборе не меньше 13 единиц, а любое его число не превосходит k − 5, где k — количество единиц (иначе сумма 27 наибольших превысила бы 53). Расположим числа по возрастанию: сначала k единиц, дающих все суммы от 1 до k, а каждое следующее число не больше суммы всех предыдущих плюс 1 — значит, добавляя числа по одному, мы получаем все суммы подряд, от 1 до суммы всего набора. Так как 40 не превосходит суммы набора (она не меньше 12 + 30 = 42), подмножество с суммой 40 найдётся
Решение
Условие «среднее любых 27 чисел меньше 2» равносильно тому, что сумма 27 наибольших чисел не превосходит 53.
Пусть в наборе k единиц. Остальные 33 − k чисел не меньше 2, причём среди них есть 3, 4, 5, поэтому их сумма S ≥ 12 + 2(33 − k − 3). С другой стороны, сумма 27 наибольших равна S + (k − 6) ≤ 53.
Складывая, получаем k ≥ 13.
а) При k = 13 набор существует: 13 чисел по 1, 17 чисел по 2, число 3, число 4, число 5.
б) Меньше 13 единиц быть не может — это доказано выше.
в) Пусть в наборе k единиц. Любое число набора не превосходит k − 5: иначе сумма 27 наибольших чисел (это число, ещё 3 обязательных и остальные, каждое не меньше 2) уже превысила бы 53. Расположим числа по возрастанию. Первые k единиц дают все суммы от 1 до k, а каждое следующее число не больше суммы предыдущих плюс 1, поэтому после добавления каждого числа множество получаемых сумм остаётся отрезком от 1 до текущей суммы. Значит представимы все суммы вплоть до суммы всего набора, в частности 40.
Ответ: да; нет; доказано.
Пусть в наборе k единиц. Остальные 33 − k чисел не меньше 2, причём среди них есть 3, 4, 5, поэтому их сумма S ≥ 12 + 2(33 − k − 3). С другой стороны, сумма 27 наибольших равна S + (k − 6) ≤ 53.
Складывая, получаем k ≥ 13.
а) При k = 13 набор существует: 13 чисел по 1, 17 чисел по 2, число 3, число 4, число 5.
б) Меньше 13 единиц быть не может — это доказано выше.
в) Пусть в наборе k единиц. Любое число набора не превосходит k − 5: иначе сумма 27 наибольших чисел (это число, ещё 3 обязательных и остальные, каждое не меньше 2) уже превысила бы 53. Расположим числа по возрастанию. Первые k единиц дают все суммы от 1 до k, а каждое следующее число не больше суммы предыдущих плюс 1, поэтому после добавления каждого числа множество получаемых сумм остаётся отрезком от 1 до текущей суммы. Значит представимы все суммы вплоть до суммы всего набора, в частности 40.
Ответ: да; нет; доказано.
Пример 2
Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4, 5. Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.
а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 33.
а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 33.
Показать ответ
а) да, например 13 чисел по 1, 17 чисел по 2, число 3, число 4, число 5: сумма 27 наибольших чисел равна 53 < 54
б) нет: пусть единиц k. Остальные 33 − k чисел не меньше 2, причём среди них есть 3, 4, 5, поэтому их сумма не меньше 12 + 2(33 − k − 3). Сумма 27 наибольших чисел — это сумма всех неединиц плюс ещё (k − 6) единиц, и она не превосходит 53. Из 12 + 2(33 − k − 3) + (k − 6) ≤ 53 получаем k ≥ 13
в) в наборе не меньше 13 единиц, а любое его число не превосходит k − 5, где k — количество единиц (иначе сумма 27 наибольших превысила бы 53). Расположим числа по возрастанию: сначала k единиц, дающих все суммы от 1 до k, а каждое следующее число не больше суммы всех предыдущих плюс 1 — значит, добавляя числа по одному, мы получаем все суммы подряд, от 1 до суммы всего набора. Так как 33 не превосходит суммы набора (она не меньше 12 + 30 = 42), подмножество с суммой 33 найдётся
Решение
Условие «среднее любых 27 чисел меньше 2» равносильно тому, что сумма 27 наибольших чисел не превосходит 53.
Пусть в наборе k единиц. Остальные 33 − k чисел не меньше 2, причём среди них есть 3, 4, 5, поэтому их сумма S ≥ 12 + 2(33 − k − 3). С другой стороны, сумма 27 наибольших равна S + (k − 6) ≤ 53.
Складывая, получаем k ≥ 13.
а) При k = 13 набор существует: 13 чисел по 1, 17 чисел по 2, число 3, число 4, число 5.
б) Меньше 13 единиц быть не может — это доказано выше.
в) Пусть в наборе k единиц. Любое число набора не превосходит k − 5: иначе сумма 27 наибольших чисел (это число, ещё 3 обязательных и остальные, каждое не меньше 2) уже превысила бы 53. Расположим числа по возрастанию. Первые k единиц дают все суммы от 1 до k, а каждое следующее число не больше суммы предыдущих плюс 1, поэтому после добавления каждого числа множество получаемых сумм остаётся отрезком от 1 до текущей суммы. Значит представимы все суммы вплоть до суммы всего набора, в частности 33.
Ответ: да; нет; доказано.
Пусть в наборе k единиц. Остальные 33 − k чисел не меньше 2, причём среди них есть 3, 4, 5, поэтому их сумма S ≥ 12 + 2(33 − k − 3). С другой стороны, сумма 27 наибольших равна S + (k − 6) ≤ 53.
Складывая, получаем k ≥ 13.
а) При k = 13 набор существует: 13 чисел по 1, 17 чисел по 2, число 3, число 4, число 5.
б) Меньше 13 единиц быть не может — это доказано выше.
в) Пусть в наборе k единиц. Любое число набора не превосходит k − 5: иначе сумма 27 наибольших чисел (это число, ещё 3 обязательных и остальные, каждое не меньше 2) уже превысила бы 53. Расположим числа по возрастанию. Первые k единиц дают все суммы от 1 до k, а каждое следующее число не больше суммы предыдущих плюс 1, поэтому после добавления каждого числа множество получаемых сумм остаётся отрезком от 1 до текущей суммы. Значит представимы все суммы вплоть до суммы всего набора, в частности 33.
Ответ: да; нет; доказано.
Пример 3
Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4, 5. Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.
а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 27.
а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 27.
Показать ответ
а) да, например 13 чисел по 1, 17 чисел по 2, число 3, число 4, число 5: сумма 27 наибольших чисел равна 53 < 54
б) нет: пусть единиц k. Остальные 33 − k чисел не меньше 2, причём среди них есть 3, 4, 5, поэтому их сумма не меньше 12 + 2(33 − k − 3). Сумма 27 наибольших чисел — это сумма всех неединиц плюс ещё (k − 6) единиц, и она не превосходит 53. Из 12 + 2(33 − k − 3) + (k − 6) ≤ 53 получаем k ≥ 13
в) в наборе не меньше 13 единиц, а любое его число не превосходит k − 5, где k — количество единиц (иначе сумма 27 наибольших превысила бы 53). Расположим числа по возрастанию: сначала k единиц, дающих все суммы от 1 до k, а каждое следующее число не больше суммы всех предыдущих плюс 1 — значит, добавляя числа по одному, мы получаем все суммы подряд, от 1 до суммы всего набора. Так как 27 не превосходит суммы набора (она не меньше 12 + 30 = 42), подмножество с суммой 27 найдётся
Решение
Условие «среднее любых 27 чисел меньше 2» равносильно тому, что сумма 27 наибольших чисел не превосходит 53.
Пусть в наборе k единиц. Остальные 33 − k чисел не меньше 2, причём среди них есть 3, 4, 5, поэтому их сумма S ≥ 12 + 2(33 − k − 3). С другой стороны, сумма 27 наибольших равна S + (k − 6) ≤ 53.
Складывая, получаем k ≥ 13.
а) При k = 13 набор существует: 13 чисел по 1, 17 чисел по 2, число 3, число 4, число 5.
б) Меньше 13 единиц быть не может — это доказано выше.
в) Пусть в наборе k единиц. Любое число набора не превосходит k − 5: иначе сумма 27 наибольших чисел (это число, ещё 3 обязательных и остальные, каждое не меньше 2) уже превысила бы 53. Расположим числа по возрастанию. Первые k единиц дают все суммы от 1 до k, а каждое следующее число не больше суммы предыдущих плюс 1, поэтому после добавления каждого числа множество получаемых сумм остаётся отрезком от 1 до текущей суммы. Значит представимы все суммы вплоть до суммы всего набора, в частности 27.
Ответ: да; нет; доказано.
Пусть в наборе k единиц. Остальные 33 − k чисел не меньше 2, причём среди них есть 3, 4, 5, поэтому их сумма S ≥ 12 + 2(33 − k − 3). С другой стороны, сумма 27 наибольших равна S + (k − 6) ≤ 53.
Складывая, получаем k ≥ 13.
а) При k = 13 набор существует: 13 чисел по 1, 17 чисел по 2, число 3, число 4, число 5.
б) Меньше 13 единиц быть не может — это доказано выше.
в) Пусть в наборе k единиц. Любое число набора не превосходит k − 5: иначе сумма 27 наибольших чисел (это число, ещё 3 обязательных и остальные, каждое не меньше 2) уже превысила бы 53. Расположим числа по возрастанию. Первые k единиц дают все суммы от 1 до k, а каждое следующее число не больше суммы предыдущих плюс 1, поэтому после добавления каждого числа множество получаемых сумм остаётся отрезком от 1 до текущей суммы. Значит представимы все суммы вплоть до суммы всего набора, в частности 27.
Ответ: да; нет; доказано.
Пример 4
Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4, 5. Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.
а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 25.
а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 25.
Показать ответ
а) да, например 13 чисел по 1, 17 чисел по 2, число 3, число 4, число 5: сумма 27 наибольших чисел равна 53 < 54
б) нет: пусть единиц k. Остальные 33 − k чисел не меньше 2, причём среди них есть 3, 4, 5, поэтому их сумма не меньше 12 + 2(33 − k − 3). Сумма 27 наибольших чисел — это сумма всех неединиц плюс ещё (k − 6) единиц, и она не превосходит 53. Из 12 + 2(33 − k − 3) + (k − 6) ≤ 53 получаем k ≥ 13
в) в наборе не меньше 13 единиц, а любое его число не превосходит k − 5, где k — количество единиц (иначе сумма 27 наибольших превысила бы 53). Расположим числа по возрастанию: сначала k единиц, дающих все суммы от 1 до k, а каждое следующее число не больше суммы всех предыдущих плюс 1 — значит, добавляя числа по одному, мы получаем все суммы подряд, от 1 до суммы всего набора. Так как 25 не превосходит суммы набора (она не меньше 12 + 30 = 42), подмножество с суммой 25 найдётся
Решение
Условие «среднее любых 27 чисел меньше 2» равносильно тому, что сумма 27 наибольших чисел не превосходит 53.
Пусть в наборе k единиц. Остальные 33 − k чисел не меньше 2, причём среди них есть 3, 4, 5, поэтому их сумма S ≥ 12 + 2(33 − k − 3). С другой стороны, сумма 27 наибольших равна S + (k − 6) ≤ 53.
Складывая, получаем k ≥ 13.
а) При k = 13 набор существует: 13 чисел по 1, 17 чисел по 2, число 3, число 4, число 5.
б) Меньше 13 единиц быть не может — это доказано выше.
в) Пусть в наборе k единиц. Любое число набора не превосходит k − 5: иначе сумма 27 наибольших чисел (это число, ещё 3 обязательных и остальные, каждое не меньше 2) уже превысила бы 53. Расположим числа по возрастанию. Первые k единиц дают все суммы от 1 до k, а каждое следующее число не больше суммы предыдущих плюс 1, поэтому после добавления каждого числа множество получаемых сумм остаётся отрезком от 1 до текущей суммы. Значит представимы все суммы вплоть до суммы всего набора, в частности 25.
Ответ: да; нет; доказано.
Пусть в наборе k единиц. Остальные 33 − k чисел не меньше 2, причём среди них есть 3, 4, 5, поэтому их сумма S ≥ 12 + 2(33 − k − 3). С другой стороны, сумма 27 наибольших равна S + (k − 6) ≤ 53.
Складывая, получаем k ≥ 13.
а) При k = 13 набор существует: 13 чисел по 1, 17 чисел по 2, число 3, число 4, число 5.
б) Меньше 13 единиц быть не может — это доказано выше.
в) Пусть в наборе k единиц. Любое число набора не превосходит k − 5: иначе сумма 27 наибольших чисел (это число, ещё 3 обязательных и остальные, каждое не меньше 2) уже превысила бы 53. Расположим числа по возрастанию. Первые k единиц дают все суммы от 1 до k, а каждое следующее число не больше суммы предыдущих плюс 1, поэтому после добавления каждого числа множество получаемых сумм остаётся отрезком от 1 до текущей суммы. Значит представимы все суммы вплоть до суммы всего набора, в частности 25.
Ответ: да; нет; доказано.
Пример 5
Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4, 5. Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.
а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 20.
а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 20.
Показать ответ
а) да, например 13 чисел по 1, 17 чисел по 2, число 3, число 4, число 5: сумма 27 наибольших чисел равна 53 < 54
б) нет: пусть единиц k. Остальные 33 − k чисел не меньше 2, причём среди них есть 3, 4, 5, поэтому их сумма не меньше 12 + 2(33 − k − 3). Сумма 27 наибольших чисел — это сумма всех неединиц плюс ещё (k − 6) единиц, и она не превосходит 53. Из 12 + 2(33 − k − 3) + (k − 6) ≤ 53 получаем k ≥ 13
в) в наборе не меньше 13 единиц, а любое его число не превосходит k − 5, где k — количество единиц (иначе сумма 27 наибольших превысила бы 53). Расположим числа по возрастанию: сначала k единиц, дающих все суммы от 1 до k, а каждое следующее число не больше суммы всех предыдущих плюс 1 — значит, добавляя числа по одному, мы получаем все суммы подряд, от 1 до суммы всего набора. Так как 20 не превосходит суммы набора (она не меньше 12 + 30 = 42), подмножество с суммой 20 найдётся
Решение
Условие «среднее любых 27 чисел меньше 2» равносильно тому, что сумма 27 наибольших чисел не превосходит 53.
Пусть в наборе k единиц. Остальные 33 − k чисел не меньше 2, причём среди них есть 3, 4, 5, поэтому их сумма S ≥ 12 + 2(33 − k − 3). С другой стороны, сумма 27 наибольших равна S + (k − 6) ≤ 53.
Складывая, получаем k ≥ 13.
а) При k = 13 набор существует: 13 чисел по 1, 17 чисел по 2, число 3, число 4, число 5.
б) Меньше 13 единиц быть не может — это доказано выше.
в) Пусть в наборе k единиц. Любое число набора не превосходит k − 5: иначе сумма 27 наибольших чисел (это число, ещё 3 обязательных и остальные, каждое не меньше 2) уже превысила бы 53. Расположим числа по возрастанию. Первые k единиц дают все суммы от 1 до k, а каждое следующее число не больше суммы предыдущих плюс 1, поэтому после добавления каждого числа множество получаемых сумм остаётся отрезком от 1 до текущей суммы. Значит представимы все суммы вплоть до суммы всего набора, в частности 20.
Ответ: да; нет; доказано.
Пусть в наборе k единиц. Остальные 33 − k чисел не меньше 2, причём среди них есть 3, 4, 5, поэтому их сумма S ≥ 12 + 2(33 − k − 3). С другой стороны, сумма 27 наибольших равна S + (k − 6) ≤ 53.
Складывая, получаем k ≥ 13.
а) При k = 13 набор существует: 13 чисел по 1, 17 чисел по 2, число 3, число 4, число 5.
б) Меньше 13 единиц быть не может — это доказано выше.
в) Пусть в наборе k единиц. Любое число набора не превосходит k − 5: иначе сумма 27 наибольших чисел (это число, ещё 3 обязательных и остальные, каждое не меньше 2) уже превысила бы 53. Расположим числа по возрастанию. Первые k единиц дают все суммы от 1 до k, а каждое следующее число не больше суммы предыдущих плюс 1, поэтому после добавления каждого числа множество получаемых сумм остаётся отрезком от 1 до текущей суммы. Значит представимы все суммы вплоть до суммы всего набора, в частности 20.
Ответ: да; нет; доказано.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.