Таблица n×n: наибольшее отношение сумм минимумов — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Расстановки и покрытия. 4 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В каждой клетке квадратной таблицы 5×5 стоит натуральное число, меньшее 6. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает пять найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает пять найденных чисел.
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в пять раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в пять раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
Показать ответ
а) да, например если строки целиком заполнены числами 1, 5, 2, 1, 1 соответственно: у Васи 5, у Пети 10
б) нет: если наименьшее число таблицы равно m, то сумма Васи не меньше 5m, а сумма Пети не больше m + 20; отношение не превосходит 21/5, что меньше 5
в) 21/5; например, в первой строке все числа равны 1, а в остальных — 5: у Васи 5, у Пети 21
Решение
Пусть m — наименьшее число всей таблицы.
Каждый столбцовый минимум не меньше m, поэтому сумма Васи не меньше 5m. Строка, содержащая число m, даёт строчный минимум ровно m, а остальные 4 строчных минимумов не превосходят 5; значит сумма Пети не больше m + 20. Отношение не превосходит (m + 20)/(5m), и это выражение убывает по m, то есть наибольшее значение достигается при m = 1 и равно 21/5.
а) Заполним строки целиком числами 1, 5, 2, 1, 1. Все столбцовые минимумы равны 1, поэтому у Васи 5, а у Пети 10 = 2 · 5. Ответ: да.
б) 21/5 < 5, поэтому в пять раз больше быть не может. Ответ: нет.
в) Оценка 21/5 достигается: первая строка из единиц, остальные 4 строк из чисел 5. Тогда у Васи 5, у Пети 1 + 20 = 21. Ответ: 21/5.
Каждый столбцовый минимум не меньше m, поэтому сумма Васи не меньше 5m. Строка, содержащая число m, даёт строчный минимум ровно m, а остальные 4 строчных минимумов не превосходят 5; значит сумма Пети не больше m + 20. Отношение не превосходит (m + 20)/(5m), и это выражение убывает по m, то есть наибольшее значение достигается при m = 1 и равно 21/5.
а) Заполним строки целиком числами 1, 5, 2, 1, 1. Все столбцовые минимумы равны 1, поэтому у Васи 5, а у Пети 10 = 2 · 5. Ответ: да.
б) 21/5 < 5, поэтому в пять раз больше быть не может. Ответ: нет.
в) Оценка 21/5 достигается: первая строка из единиц, остальные 4 строк из чисел 5. Тогда у Васи 5, у Пети 1 + 20 = 21. Ответ: 21/5.
Пример 2
В каждой клетке квадратной таблицы 6×6 стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
Показать ответ
а) да, например если строки целиком заполнены числами 1, 6, 2, 1, 1, 1 соответственно: у Васи 6, у Пети 12
б) нет: если наименьшее число таблицы равно m, то сумма Васи не меньше 6m, а сумма Пети не больше m + 30; отношение не превосходит 31/6, что меньше 6
в) 31/6; например, в первой строке все числа равны 1, а в остальных — 6: у Васи 6, у Пети 31
Решение
Пусть m — наименьшее число всей таблицы.
Каждый столбцовый минимум не меньше m, поэтому сумма Васи не меньше 6m. Строка, содержащая число m, даёт строчный минимум ровно m, а остальные 5 строчных минимумов не превосходят 6; значит сумма Пети не больше m + 30. Отношение не превосходит (m + 30)/(6m), и это выражение убывает по m, то есть наибольшее значение достигается при m = 1 и равно 31/6.
а) Заполним строки целиком числами 1, 6, 2, 1, 1, 1. Все столбцовые минимумы равны 1, поэтому у Васи 6, а у Пети 12 = 2 · 6. Ответ: да.
б) 31/6 < 6, поэтому в шесть раз больше быть не может. Ответ: нет.
в) Оценка 31/6 достигается: первая строка из единиц, остальные 5 строк из чисел 6. Тогда у Васи 6, у Пети 1 + 30 = 31. Ответ: 31/6.
Каждый столбцовый минимум не меньше m, поэтому сумма Васи не меньше 6m. Строка, содержащая число m, даёт строчный минимум ровно m, а остальные 5 строчных минимумов не превосходят 6; значит сумма Пети не больше m + 30. Отношение не превосходит (m + 30)/(6m), и это выражение убывает по m, то есть наибольшее значение достигается при m = 1 и равно 31/6.
а) Заполним строки целиком числами 1, 6, 2, 1, 1, 1. Все столбцовые минимумы равны 1, поэтому у Васи 6, а у Пети 12 = 2 · 6. Ответ: да.
б) 31/6 < 6, поэтому в шесть раз больше быть не может. Ответ: нет.
в) Оценка 31/6 достигается: первая строка из единиц, остальные 5 строк из чисел 6. Тогда у Васи 6, у Пети 1 + 30 = 31. Ответ: 31/6.
Пример 3
В каждой клетке квадратной таблицы 7×7 стоит натуральное число, меньшее 8. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает семь найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает семь найденных чисел.
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в семь раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в семь раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
Показать ответ
а) да, например если строки целиком заполнены числами 1, 7, 2, 1, 1, 1, 1 соответственно: у Васи 7, у Пети 14
б) нет: если наименьшее число таблицы равно m, то сумма Васи не меньше 7m, а сумма Пети не больше m + 42; отношение не превосходит 43/7, что меньше 7
в) 43/7; например, в первой строке все числа равны 1, а в остальных — 7: у Васи 7, у Пети 43
Решение
Пусть m — наименьшее число всей таблицы.
Каждый столбцовый минимум не меньше m, поэтому сумма Васи не меньше 7m. Строка, содержащая число m, даёт строчный минимум ровно m, а остальные 6 строчных минимумов не превосходят 7; значит сумма Пети не больше m + 42. Отношение не превосходит (m + 42)/(7m), и это выражение убывает по m, то есть наибольшее значение достигается при m = 1 и равно 43/7.
а) Заполним строки целиком числами 1, 7, 2, 1, 1, 1, 1. Все столбцовые минимумы равны 1, поэтому у Васи 7, а у Пети 14 = 2 · 7. Ответ: да.
б) 43/7 < 7, поэтому в семь раз больше быть не может. Ответ: нет.
в) Оценка 43/7 достигается: первая строка из единиц, остальные 6 строк из чисел 7. Тогда у Васи 7, у Пети 1 + 42 = 43. Ответ: 43/7.
Каждый столбцовый минимум не меньше m, поэтому сумма Васи не меньше 7m. Строка, содержащая число m, даёт строчный минимум ровно m, а остальные 6 строчных минимумов не превосходят 7; значит сумма Пети не больше m + 42. Отношение не превосходит (m + 42)/(7m), и это выражение убывает по m, то есть наибольшее значение достигается при m = 1 и равно 43/7.
а) Заполним строки целиком числами 1, 7, 2, 1, 1, 1, 1. Все столбцовые минимумы равны 1, поэтому у Васи 7, а у Пети 14 = 2 · 7. Ответ: да.
б) 43/7 < 7, поэтому в семь раз больше быть не может. Ответ: нет.
в) Оценка 43/7 достигается: первая строка из единиц, остальные 6 строк из чисел 7. Тогда у Васи 7, у Пети 1 + 42 = 43. Ответ: 43/7.
Пример 4
В каждой клетке квадратной таблицы 8×8 стоит натуральное число, меньшее 9. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает восемь найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает восемь найденных чисел.
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в восемь раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в восемь раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
Показать ответ
а) да, например если строки целиком заполнены числами 1, 8, 2, 1, 1, 1, 1, 1 соответственно: у Васи 8, у Пети 16
б) нет: если наименьшее число таблицы равно m, то сумма Васи не меньше 8m, а сумма Пети не больше m + 56; отношение не превосходит 57/8, что меньше 8
в) 57/8; например, в первой строке все числа равны 1, а в остальных — 8: у Васи 8, у Пети 57
Решение
Пусть m — наименьшее число всей таблицы.
Каждый столбцовый минимум не меньше m, поэтому сумма Васи не меньше 8m. Строка, содержащая число m, даёт строчный минимум ровно m, а остальные 7 строчных минимумов не превосходят 8; значит сумма Пети не больше m + 56. Отношение не превосходит (m + 56)/(8m), и это выражение убывает по m, то есть наибольшее значение достигается при m = 1 и равно 57/8.
а) Заполним строки целиком числами 1, 8, 2, 1, 1, 1, 1, 1. Все столбцовые минимумы равны 1, поэтому у Васи 8, а у Пети 16 = 2 · 8. Ответ: да.
б) 57/8 < 8, поэтому в восемь раз больше быть не может. Ответ: нет.
в) Оценка 57/8 достигается: первая строка из единиц, остальные 7 строк из чисел 8. Тогда у Васи 8, у Пети 1 + 56 = 57. Ответ: 57/8.
Каждый столбцовый минимум не меньше m, поэтому сумма Васи не меньше 8m. Строка, содержащая число m, даёт строчный минимум ровно m, а остальные 7 строчных минимумов не превосходят 8; значит сумма Пети не больше m + 56. Отношение не превосходит (m + 56)/(8m), и это выражение убывает по m, то есть наибольшее значение достигается при m = 1 и равно 57/8.
а) Заполним строки целиком числами 1, 8, 2, 1, 1, 1, 1, 1. Все столбцовые минимумы равны 1, поэтому у Васи 8, а у Пети 16 = 2 · 8. Ответ: да.
б) 57/8 < 8, поэтому в восемь раз больше быть не может. Ответ: нет.
в) Оценка 57/8 достигается: первая строка из единиц, остальные 7 строк из чисел 8. Тогда у Васи 8, у Пети 1 + 56 = 57. Ответ: 57/8.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.