Тест с добавкой баллов: наименьшее число участников — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Сюжетные задачи с перебором. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если набрал не менее 90 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 10 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 78. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 105, а не сдавших тест — 80. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 78. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 105, а не сдавших тест — 80. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
Показать ответ
а) да, например результаты 0 и 89: сначала оба не сдали, средний балл не сдавших равен 44,5; после добавления 10 баллов участник с 89 баллами сдал тест, и средний балл не сдавших стал 10
б) да, например результаты 360, 80, 0: средний балл сдавших был 360, стал 230, а средний балл не сдавших был 40 и стал 10
в) 55
Решение
Пусть до добавления баллов было s сдавших со средним баллом 100 и n не сдавших со средним 78, а перешли в число сдавших m человек с суммой баллов Σ (у каждого из них было от 80 до 89 баллов).
Из общего среднего: 100s + 78n = 90(s + n), то есть s·10 = n·12.
Из среднего сдавших после: Σ = s·-5 + m·95. Из среднего не сдавших после: Σ = n·8 + m·70.
Совместное решение даёт пропорцию s : n : m = 30 : 25 : 14, поэтому участников не меньше 55.
При этом Σ = 1180, то есть средний балл перешедших равен 84,29 — он лежит между 80 и 89, значит такая ситуация возможна: 30 участников по 100 баллов, 14 с баллами 85, 85, 85, 85, 84, 84, 84, 84, 84, 84, 84, 84, 84, 84 и 11 с баллами 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70.
Ответ: 55.
Из общего среднего: 100s + 78n = 90(s + n), то есть s·10 = n·12.
Из среднего сдавших после: Σ = s·-5 + m·95. Из среднего не сдавших после: Σ = n·8 + m·70.
Совместное решение даёт пропорцию s : n : m = 30 : 25 : 14, поэтому участников не меньше 55.
При этом Σ = 1180, то есть средний балл перешедших равен 84,29 — он лежит между 80 и 89, значит такая ситуация возможна: 30 участников по 100 баллов, 14 с баллами 85, 85, 85, 85, 84, 84, 84, 84, 84, 84, 84, 84, 84, 84 и 11 с баллами 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70.
Ответ: 55.
Пример 2
Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если набрал не менее 85 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 10 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 85, средний балл участников, сдавших тест, составил 95, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 70. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 100, а не сдавших тест — 72. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 85, средний балл участников, сдавших тест, составил 95, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 70. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 100, а не сдавших тест — 72. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
Показать ответ
а) да, например результаты 0 и 84: сначала оба не сдали, средний балл не сдавших равен 42; после добавления 10 баллов участник с 84 баллами сдал тест, и средний балл не сдавших стал 10
б) да, например результаты 340, 75, 0: средний балл сдавших был 340, стал 217,5, а средний балл не сдавших был 37,5 и стал 10
в) 140
Решение
Пусть до добавления баллов было s сдавших со средним баллом 95 и n не сдавших со средним 70, а перешли в число сдавших m человек с суммой баллов Σ (у каждого из них было от 75 до 84 баллов).
Из общего среднего: 95s + 70n = 85(s + n), то есть s·10 = n·15.
Из среднего сдавших после: Σ = s·-5 + m·90. Из среднего не сдавших после: Σ = n·8 + m·62.
Совместное решение даёт пропорцию s : n : m = 84 : 56 : 31, поэтому участников не меньше 140.
При этом Σ = 2370, то есть средний балл перешедших равен 76,45 — он лежит между 75 и 84, значит такая ситуация возможна: 84 участника по 95 баллов, 31 с баллами 77, 77, 77, 77, 77, 77, 77, 77, 77, 77, 77, 77, 77, 77, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76 и 25 с баллами 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62.
Ответ: 140.
Из общего среднего: 95s + 70n = 85(s + n), то есть s·10 = n·15.
Из среднего сдавших после: Σ = s·-5 + m·90. Из среднего не сдавших после: Σ = n·8 + m·62.
Совместное решение даёт пропорцию s : n : m = 84 : 56 : 31, поэтому участников не меньше 140.
При этом Σ = 2370, то есть средний балл перешедших равен 76,45 — он лежит между 75 и 84, значит такая ситуация возможна: 84 участника по 95 баллов, 31 с баллами 77, 77, 77, 77, 77, 77, 77, 77, 77, 77, 77, 77, 77, 77, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76 и 25 с баллами 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62, 62.
Ответ: 140.
Пример 3
Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если набрал не менее 85 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 10 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 85, средний балл участников, сдавших тест, составил 95, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 70. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 101, а не сдавших тест — 73. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 85, средний балл участников, сдавших тест, составил 95, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 70. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 101, а не сдавших тест — 73. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
Показать ответ
а) да, например результаты 0 и 84: сначала оба не сдали, средний балл не сдавших равен 42; после добавления 10 баллов участник с 84 баллами сдал тест, и средний балл не сдавших стал 10
б) да, например результаты 340, 75, 0: средний балл сдавших был 340, стал 217,5, а средний балл не сдавших был 37,5 и стал 10
в) 70
Решение
Пусть до добавления баллов было s сдавших со средним баллом 95 и n не сдавших со средним 70, а перешли в число сдавших m человек с суммой баллов Σ (у каждого из них было от 75 до 84 баллов).
Из общего среднего: 95s + 70n = 85(s + n), то есть s·10 = n·15.
Из среднего сдавших после: Σ = s·-4 + m·91. Из среднего не сдавших после: Σ = n·7 + m·63.
Совместное решение даёт пропорцию s : n : m = 42 : 28 : 13, поэтому участников не меньше 70.
При этом Σ = 1015, то есть средний балл перешедших равен 78,08 — он лежит между 75 и 84, значит такая ситуация возможна: 42 участника по 95 баллов, 13 с баллами 79, 78, 78, 78, 78, 78, 78, 78, 78, 78, 78, 78, 78 и 15 с баллами 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63.
Ответ: 70.
Из общего среднего: 95s + 70n = 85(s + n), то есть s·10 = n·15.
Из среднего сдавших после: Σ = s·-4 + m·91. Из среднего не сдавших после: Σ = n·7 + m·63.
Совместное решение даёт пропорцию s : n : m = 42 : 28 : 13, поэтому участников не меньше 70.
При этом Σ = 1015, то есть средний балл перешедших равен 78,08 — он лежит между 75 и 84, значит такая ситуация возможна: 42 участника по 95 баллов, 13 с баллами 79, 78, 78, 78, 78, 78, 78, 78, 78, 78, 78, 78, 78 и 15 с баллами 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63.
Ответ: 70.
Пример 4
Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если набрал не менее 85 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 10 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 85, средний балл участников, сдавших тест, составил 95, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 101, а не сдавших тест — 77. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 85, средний балл участников, сдавших тест, составил 95, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 101, а не сдавших тест — 77. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
Показать ответ
а) да, например результаты 0 и 84: сначала оба не сдали, средний балл не сдавших равен 42; после добавления 10 баллов участник с 84 баллами сдал тест, и средний балл не сдавших стал 10
б) да, например результаты 340, 75, 0: средний балл сдавших был 340, стал 217,5, а средний балл не сдавших был 37,5 и стал 10
в) 4
Решение
Пусть до добавления баллов было s сдавших со средним баллом 95 и n не сдавших со средним 75, а перешли в число сдавших m человек с суммой баллов Σ (у каждого из них было от 75 до 84 баллов).
Из общего среднего: 95s + 75n = 85(s + n), то есть s·10 = n·10.
Из среднего сдавших после: Σ = s·-4 + m·91. Из среднего не сдавших после: Σ = n·8 + m·67.
Совместное решение даёт пропорцию s : n : m = 2 : 2 : 1, поэтому участников не меньше 4.
При этом Σ = 83, то есть средний балл перешедших равен 83 — он лежит между 75 и 84, значит такая ситуация возможна: 2 участника по 95 баллов, 1 с баллами 83 и 1 с баллами 67.
Ответ: 4.
Из общего среднего: 95s + 75n = 85(s + n), то есть s·10 = n·10.
Из среднего сдавших после: Σ = s·-4 + m·91. Из среднего не сдавших после: Σ = n·8 + m·67.
Совместное решение даёт пропорцию s : n : m = 2 : 2 : 1, поэтому участников не меньше 4.
При этом Σ = 83, то есть средний балл перешедших равен 83 — он лежит между 75 и 84, значит такая ситуация возможна: 2 участника по 95 баллов, 1 с баллами 83 и 1 с баллами 67.
Ответ: 4.
Пример 5
Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если набрал не менее 85 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 10 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 85, средний балл участников, сдавших тест, составил 97, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 73. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 102, а не сдавших тест — 75. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 85, средний балл участников, сдавших тест, составил 97, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 73. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 102, а не сдавших тест — 75. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
Показать ответ
а) да, например результаты 0 и 84: сначала оба не сдали, средний балл не сдавших равен 42; после добавления 10 баллов участник с 84 баллами сдал тест, и средний балл не сдавших стал 10
б) да, например результаты 340, 75, 0: средний балл сдавших был 340, стал 217,5, а средний балл не сдавших был 37,5 и стал 10
в) 54
Решение
Пусть до добавления баллов было s сдавших со средним баллом 97 и n не сдавших со средним 73, а перешли в число сдавших m человек с суммой баллов Σ (у каждого из них было от 75 до 84 баллов).
Из общего среднего: 97s + 73n = 85(s + n), то есть s·12 = n·12.
Из среднего сдавших после: Σ = s·-5 + m·92. Из среднего не сдавших после: Σ = n·8 + m·65.
Совместное решение даёт пропорцию s : n : m = 27 : 27 : 13, поэтому участников не меньше 54.
При этом Σ = 1061, то есть средний балл перешедших равен 81,62 — он лежит между 75 и 84, значит такая ситуация возможна: 27 участников по 97 баллов, 13 с баллами 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 81, 81, 81, 81, 81 и 14 с баллами 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65.
Ответ: 54.
Из общего среднего: 97s + 73n = 85(s + n), то есть s·12 = n·12.
Из среднего сдавших после: Σ = s·-5 + m·92. Из среднего не сдавших после: Σ = n·8 + m·65.
Совместное решение даёт пропорцию s : n : m = 27 : 27 : 13, поэтому участников не меньше 54.
При этом Σ = 1061, то есть средний балл перешедших равен 81,62 — он лежит между 75 и 84, значит такая ситуация возможна: 27 участников по 97 баллов, 13 с баллами 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 81, 81, 81, 81, 81 и 14 с баллами 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65.
Ответ: 54.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.