Трёхзначное число: наименьшее частное A : S(A) — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Трёхзначное число и сумма его цифр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 14?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 62?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 14?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 62?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Показать ответ
а) да, например 126 (сумма цифр 9, 126 : 9 = 14)
б) нет: из A = 62·S и A ≡ S (mod 9) следует, что 61·S кратно 9; подходит только S = 9, но сумма цифр числа 558 равна 18, а не 9
в) 11; пример: 198 (сумма цифр 18, 198 : 18 = 11); меньше нельзя — при частном q < 11 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 270, и прямая проверка всех оставшихся пар (q, S) трёхзначных чисел не даёт
Решение
Обозначим число A, сумму его цифр S. Всегда A ≡ S (mod 9), поэтому из A = q·S следует, что (q − 1)·S кратно 9 — это отсекает большинство значений q.
Для q = 62: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 558 равна 18, а не 9, значит 62 невозможно.
Для q = 14 подходит число 126. Наименьшее значение равно 11 и достигается на 198: при частном q < 11 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 270, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Для q = 62: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 558 равна 18, а не 9, значит 62 невозможно.
Для q = 14 подходит число 126. Наименьшее значение равно 11 и достигается на 198: при частном q < 11 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 270, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Пример 2
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 20?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 77?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 20?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 77?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Показать ответ
а) да, например 180 (сумма цифр 9, 180 : 9 = 20)
б) нет: из A = 77·S и A ≡ S (mod 9) следует, что 76·S кратно 9; подходит только S = 9, но сумма цифр числа 693 равна 18, а не 9
в) 11; пример: 198 (сумма цифр 18, 198 : 18 = 11); меньше нельзя — при частном q < 11 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 270, и прямая проверка всех оставшихся пар (q, S) трёхзначных чисел не даёт
Решение
Обозначим число A, сумму его цифр S. Всегда A ≡ S (mod 9), поэтому из A = q·S следует, что (q − 1)·S кратно 9 — это отсекает большинство значений q.
Для q = 77: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 693 равна 18, а не 9, значит 77 невозможно.
Для q = 20 подходит число 180. Наименьшее значение равно 11 и достигается на 198: при частном q < 11 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 270, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Для q = 77: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 693 равна 18, а не 9, значит 77 невозможно.
Для q = 20 подходит число 180. Наименьшее значение равно 11 и достигается на 198: при частном q < 11 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 270, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Пример 3
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 33?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 33?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Показать ответ
а) да, например 594 (сумма цифр 18, 594 : 18 = 33)
б) нет: из A = 83·S и A ≡ S (mod 9) следует, что 82·S кратно 9; подходит только S = 9, но сумма цифр числа 747 равна 18, а не 9
в) 11; пример: 198 (сумма цифр 18, 198 : 18 = 11); меньше нельзя — при частном q < 11 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 270, и прямая проверка всех оставшихся пар (q, S) трёхзначных чисел не даёт
Решение
Обозначим число A, сумму его цифр S. Всегда A ≡ S (mod 9), поэтому из A = q·S следует, что (q − 1)·S кратно 9 — это отсекает большинство значений q.
Для q = 83: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 747 равна 18, а не 9, значит 83 невозможно.
Для q = 33 подходит число 594. Наименьшее значение равно 11 и достигается на 198: при частном q < 11 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 270, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Для q = 83: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 747 равна 18, а не 9, значит 83 невозможно.
Для q = 33 подходит число 594. Наименьшее значение равно 11 и достигается на 198: при частном q < 11 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 270, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Пример 4
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 15?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 15?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Показать ответ
а) да, например 135 (сумма цифр 9, 135 : 9 = 15)
б) нет: из A = 83·S и A ≡ S (mod 9) следует, что 82·S кратно 9; подходит только S = 9, но сумма цифр числа 747 равна 18, а не 9
в) 11; пример: 198 (сумма цифр 18, 198 : 18 = 11); меньше нельзя — при частном q < 11 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 270, и прямая проверка всех оставшихся пар (q, S) трёхзначных чисел не даёт
Решение
Обозначим число A, сумму его цифр S. Всегда A ≡ S (mod 9), поэтому из A = q·S следует, что (q − 1)·S кратно 9 — это отсекает большинство значений q.
Для q = 83: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 747 равна 18, а не 9, значит 83 невозможно.
Для q = 15 подходит число 135. Наименьшее значение равно 11 и достигается на 198: при частном q < 11 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 270, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Для q = 83: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 747 равна 18, а не 9, значит 83 невозможно.
Для q = 15 подходит число 135. Наименьшее значение равно 11 и достигается на 198: при частном q < 11 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 270, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Пример 5
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 24?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 66?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 24?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 66?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Показать ответ
а) да, например 216 (сумма цифр 9, 216 : 9 = 24)
б) нет: из A = 66·S и A ≡ S (mod 9) следует, что 65·S кратно 9; подходит только S = 9, но сумма цифр числа 594 равна 18, а не 9
в) 11; пример: 198 (сумма цифр 18, 198 : 18 = 11); меньше нельзя — при частном q < 11 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 270, и прямая проверка всех оставшихся пар (q, S) трёхзначных чисел не даёт
Решение
Обозначим число A, сумму его цифр S. Всегда A ≡ S (mod 9), поэтому из A = q·S следует, что (q − 1)·S кратно 9 — это отсекает большинство значений q.
Для q = 66: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 594 равна 18, а не 9, значит 66 невозможно.
Для q = 24 подходит число 216. Наименьшее значение равно 11 и достигается на 198: при частном q < 11 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 270, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Для q = 66: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 594 равна 18, а не 9, значит 66 невозможно.
Для q = 24 подходит число 216. Наименьшее значение равно 11 и достигается на 198: при частном q < 11 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 270, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.