Три коробки, ход −1, −1, +1: наибольшее в третьей — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Игры и операции с инвариантом. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Есть три коробки: в первой коробке 44 камней, во второй — 25, в третьей пусто. За один ход разрешается взять по камню из двух коробок и положить в оставшуюся.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 26 камней, во второй — 6, а в третьей — 32?
б) Могло ли в третьей коробке оказаться 53 камня?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
а) Могло ли в первой коробке оказаться 26 камней, во второй — 6, а в третьей — 32?
б) Могло ли в третьей коробке оказаться 53 камня?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Показать ответ
а) нет: за ход две коробки теряют по камню, а одна получает камень, поэтому каждая попарная разность либо не меняется, либо меняется на 2 — чётности всех попарных разностей сохраняются; у начального набора (44; 25; 0) и у набора (26; 6; 32) эти чётности разные
б) нет: суммы (первая + третья) и (вторая + третья) при каждом ходе либо не меняются, либо уменьшаются на 2, поэтому в третьей коробке не может оказаться больше min(44; 25) = 25, а 53 больше
в) 25; достигается за 25 ходов, каждый из которых берёт камень из первой и второй коробок: получится (19; 0; 25); больше нельзя — сумма (первая + третья) не возрастает и в начале равна 44, а сумма (вторая + третья) не возрастает и в начале равна 25, поэтому c ≤ min(44; 25) = 25
Решение
Обозначим через x, y, z количество ходов, кладущих камень в первую, вторую и третью коробки, t = x + y + z.
Ход «положить в третью коробку» сохраняет обе суммы a + c и b + c, а два других хода уменьшают одну из них на 2. Значит обе суммы не возрастают: a + c ≤ 44 и b + c ≤ 25.
Отсюда c ≤ min(44; 25) = 25, и это достигается за 25 ходов подряд «из первой и второй в третью».
Кроме того, за ход каждая попарная разность меняется на 0 или на ±2, поэтому чётности попарных разностей — инвариант; он и запрещает набор (26; 6; 32).
Ход «положить в третью коробку» сохраняет обе суммы a + c и b + c, а два других хода уменьшают одну из них на 2. Значит обе суммы не возрастают: a + c ≤ 44 и b + c ≤ 25.
Отсюда c ≤ min(44; 25) = 25, и это достигается за 25 ходов подряд «из первой и второй в третью».
Кроме того, за ход каждая попарная разность меняется на 0 или на ±2, поэтому чётности попарных разностей — инвариант; он и запрещает набор (26; 6; 32).
Пример 2
Есть три коробки: в первой коробке 31 камней, во второй — 40, в третьей пусто. За один ход разрешается взять по камню из двух коробок и положить в оставшуюся.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 15 камней, во второй — 23, а в третьей — 29?
б) Могло ли в третьей коробке оказаться 46 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
а) Могло ли в первой коробке оказаться 15 камней, во второй — 23, а в третьей — 29?
б) Могло ли в третьей коробке оказаться 46 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Показать ответ
а) нет: за ход две коробки теряют по камню, а одна получает камень, поэтому каждая попарная разность либо не меняется, либо меняется на 2 — чётности всех попарных разностей сохраняются; у начального набора (31; 40; 0) и у набора (15; 23; 29) эти чётности разные
б) нет: суммы (первая + третья) и (вторая + третья) при каждом ходе либо не меняются, либо уменьшаются на 2, поэтому в третьей коробке не может оказаться больше min(31; 40) = 31, а 46 больше
в) 31; достигается за 31 ходов, каждый из которых берёт камень из первой и второй коробок: получится (0; 9; 31); больше нельзя — сумма (первая + третья) не возрастает и в начале равна 31, а сумма (вторая + третья) не возрастает и в начале равна 40, поэтому c ≤ min(31; 40) = 31
Решение
Обозначим через x, y, z количество ходов, кладущих камень в первую, вторую и третью коробки, t = x + y + z.
Ход «положить в третью коробку» сохраняет обе суммы a + c и b + c, а два других хода уменьшают одну из них на 2. Значит обе суммы не возрастают: a + c ≤ 31 и b + c ≤ 40.
Отсюда c ≤ min(31; 40) = 31, и это достигается за 31 ходов подряд «из первой и второй в третью».
Кроме того, за ход каждая попарная разность меняется на 0 или на ±2, поэтому чётности попарных разностей — инвариант; он и запрещает набор (15; 23; 29).
Ход «положить в третью коробку» сохраняет обе суммы a + c и b + c, а два других хода уменьшают одну из них на 2. Значит обе суммы не возрастают: a + c ≤ 31 и b + c ≤ 40.
Отсюда c ≤ min(31; 40) = 31, и это достигается за 31 ходов подряд «из первой и второй в третью».
Кроме того, за ход каждая попарная разность меняется на 0 или на ±2, поэтому чётности попарных разностей — инвариант; он и запрещает набор (15; 23; 29).
Пример 3
Есть три коробки: в первой коробке 34 камней, во второй — 32, в третьей пусто. За один ход разрешается взять по камню из двух коробок и положить в оставшуюся.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 23 камня, во второй — 20, а в третьей — 20?
б) Могло ли в третьей коробке оказаться 33 камня?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
а) Могло ли в первой коробке оказаться 23 камня, во второй — 20, а в третьей — 20?
б) Могло ли в третьей коробке оказаться 33 камня?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Показать ответ
а) нет: за ход две коробки теряют по камню, а одна получает камень, поэтому каждая попарная разность либо не меняется, либо меняется на 2 — чётности всех попарных разностей сохраняются; у начального набора (34; 32; 0) и у набора (23; 20; 20) эти чётности разные
б) нет: суммы (первая + третья) и (вторая + третья) при каждом ходе либо не меняются, либо уменьшаются на 2, поэтому в третьей коробке не может оказаться больше min(34; 32) = 32, а 33 больше
в) 32; достигается за 32 ходов, каждый из которых берёт камень из первой и второй коробок: получится (2; 0; 32); больше нельзя — сумма (первая + третья) не возрастает и в начале равна 34, а сумма (вторая + третья) не возрастает и в начале равна 32, поэтому c ≤ min(34; 32) = 32
Решение
Обозначим через x, y, z количество ходов, кладущих камень в первую, вторую и третью коробки, t = x + y + z.
Ход «положить в третью коробку» сохраняет обе суммы a + c и b + c, а два других хода уменьшают одну из них на 2. Значит обе суммы не возрастают: a + c ≤ 34 и b + c ≤ 32.
Отсюда c ≤ min(34; 32) = 32, и это достигается за 32 ходов подряд «из первой и второй в третью».
Кроме того, за ход каждая попарная разность меняется на 0 или на ±2, поэтому чётности попарных разностей — инвариант; он и запрещает набор (23; 20; 20).
Ход «положить в третью коробку» сохраняет обе суммы a + c и b + c, а два других хода уменьшают одну из них на 2. Значит обе суммы не возрастают: a + c ≤ 34 и b + c ≤ 32.
Отсюда c ≤ min(34; 32) = 32, и это достигается за 32 ходов подряд «из первой и второй в третью».
Кроме того, за ход каждая попарная разность меняется на 0 или на ±2, поэтому чётности попарных разностей — инвариант; он и запрещает набор (23; 20; 20).
Пример 4
Есть три коробки: в первой коробке 41 камней, во второй — 37, в третьей пусто. За один ход разрешается взять по камню из двух коробок и положить в оставшуюся.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 35 камней, во второй — 30, а в третьей — 12?
б) Могло ли в третьей коробке оказаться 60 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
а) Могло ли в первой коробке оказаться 35 камней, во второй — 30, а в третьей — 12?
б) Могло ли в третьей коробке оказаться 60 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Показать ответ
а) нет: за ход две коробки теряют по камню, а одна получает камень, поэтому каждая попарная разность либо не меняется, либо меняется на 2 — чётности всех попарных разностей сохраняются; у начального набора (41; 37; 0) и у набора (35; 30; 12) эти чётности разные
б) нет: суммы (первая + третья) и (вторая + третья) при каждом ходе либо не меняются, либо уменьшаются на 2, поэтому в третьей коробке не может оказаться больше min(41; 37) = 37, а 60 больше
в) 37; достигается за 37 ходов, каждый из которых берёт камень из первой и второй коробок: получится (4; 0; 37); больше нельзя — сумма (первая + третья) не возрастает и в начале равна 41, а сумма (вторая + третья) не возрастает и в начале равна 37, поэтому c ≤ min(41; 37) = 37
Решение
Обозначим через x, y, z количество ходов, кладущих камень в первую, вторую и третью коробки, t = x + y + z.
Ход «положить в третью коробку» сохраняет обе суммы a + c и b + c, а два других хода уменьшают одну из них на 2. Значит обе суммы не возрастают: a + c ≤ 41 и b + c ≤ 37.
Отсюда c ≤ min(41; 37) = 37, и это достигается за 37 ходов подряд «из первой и второй в третью».
Кроме того, за ход каждая попарная разность меняется на 0 или на ±2, поэтому чётности попарных разностей — инвариант; он и запрещает набор (35; 30; 12).
Ход «положить в третью коробку» сохраняет обе суммы a + c и b + c, а два других хода уменьшают одну из них на 2. Значит обе суммы не возрастают: a + c ≤ 41 и b + c ≤ 37.
Отсюда c ≤ min(41; 37) = 37, и это достигается за 37 ходов подряд «из первой и второй в третью».
Кроме того, за ход каждая попарная разность меняется на 0 или на ±2, поэтому чётности попарных разностей — инвариант; он и запрещает набор (35; 30; 12).
Пример 5
Есть три коробки: в первой коробке 44 камней, во второй — 39, в третьей пусто. За один ход разрешается взять по камню из двух коробок и положить в оставшуюся.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 19 камней, во второй — 13, а в третьей — 47?
б) Могло ли в третьей коробке оказаться 66 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
а) Могло ли в первой коробке оказаться 19 камней, во второй — 13, а в третьей — 47?
б) Могло ли в третьей коробке оказаться 66 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Показать ответ
а) нет: за ход две коробки теряют по камню, а одна получает камень, поэтому каждая попарная разность либо не меняется, либо меняется на 2 — чётности всех попарных разностей сохраняются; у начального набора (44; 39; 0) и у набора (19; 13; 47) эти чётности разные
б) нет: суммы (первая + третья) и (вторая + третья) при каждом ходе либо не меняются, либо уменьшаются на 2, поэтому в третьей коробке не может оказаться больше min(44; 39) = 39, а 66 больше
в) 39; достигается за 39 ходов, каждый из которых берёт камень из первой и второй коробок: получится (5; 0; 39); больше нельзя — сумма (первая + третья) не возрастает и в начале равна 44, а сумма (вторая + третья) не возрастает и в начале равна 39, поэтому c ≤ min(44; 39) = 39
Решение
Обозначим через x, y, z количество ходов, кладущих камень в первую, вторую и третью коробки, t = x + y + z.
Ход «положить в третью коробку» сохраняет обе суммы a + c и b + c, а два других хода уменьшают одну из них на 2. Значит обе суммы не возрастают: a + c ≤ 44 и b + c ≤ 39.
Отсюда c ≤ min(44; 39) = 39, и это достигается за 39 ходов подряд «из первой и второй в третью».
Кроме того, за ход каждая попарная разность меняется на 0 или на ±2, поэтому чётности попарных разностей — инвариант; он и запрещает набор (19; 13; 47).
Ход «положить в третью коробку» сохраняет обе суммы a + c и b + c, а два других хода уменьшают одну из них на 2. Значит обе суммы не возрастают: a + c ≤ 44 и b + c ≤ 39.
Отсюда c ≤ min(44; 39) = 39, и это достигается за 39 ходов подряд «из первой и второй в третью».
Кроме того, за ход каждая попарная разность меняется на 0 или на ±2, поэтому чётности попарных разностей — инвариант; он и запрещает набор (19; 13; 47).
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.