Три разных числа голосов, равные рейтинги — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Проценты и округление. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 15 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 50?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 13. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
а) Всего проголосовало 15 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 50?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 13. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Показать ответ
а) нет: при 15 голосовавших рейтинг — это округление одного из чисел 100k/15, а они дают только значения 0, 7, 13, 20, 27, 33, 40, 47, 53, 60, 67, 73, 80, 87, 93, 100; числа 50 среди них нет
б) да, например при 603 проголосовавших голоса разделились как 200, 201, 202 — все три доли попадают в промежуток от 33 − 0,5 до 33 + 0,5 процента, поэтому все рейтинги равны 33
в) 89; например, за футболиста отдано 12 голосов из 89 (13,48 %), а до голоса Васи было 11 из 88 (12,5 %)
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5.
а) При n = 15 возможные округления чисел 100k/15 — это 0, 7, 13, 20, 27, 33, 40, 47, 53, 60, 67, 73, 80, 87, 93, 100. Значения 50 среди них нет. Ответ: нет.
б) Если у всех трёх рейтинги равны, то все три доли лежат в промежутке длиной 1 %, то есть числа голосов отличаются меньше чем на n/100. Трём различным целым числам нужен промежуток длиннее двух, значит n > 200. Подходящий пример: 603 голосов, разделённых как 200, 201, 202 — все доли округляются до 33. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100(k − 1)/(n − 1), и 100k/n округляются до 13. Перебор n снизу даёт n = 89 при k = 12. Ответ: 89.
а) При n = 15 возможные округления чисел 100k/15 — это 0, 7, 13, 20, 27, 33, 40, 47, 53, 60, 67, 73, 80, 87, 93, 100. Значения 50 среди них нет. Ответ: нет.
б) Если у всех трёх рейтинги равны, то все три доли лежат в промежутке длиной 1 %, то есть числа голосов отличаются меньше чем на n/100. Трём различным целым числам нужен промежуток длиннее двух, значит n > 200. Подходящий пример: 603 голосов, разделённых как 200, 201, 202 — все доли округляются до 33. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100(k − 1)/(n − 1), и 100k/n округляются до 13. Перебор n снизу даёт n = 89 при k = 12. Ответ: 89.
Пример 2
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 20 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 53?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 15. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
а) Всего проголосовало 20 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 53?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 15. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Показать ответ
а) нет: при 20 голосовавших рейтинг — это округление одного из чисел 100k/20, а они дают только значения 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100; числа 53 среди них нет
б) да, например при 603 проголосовавших голоса разделились как 200, 201, 202 — все три доли попадают в промежуток от 33 − 0,5 до 33 + 0,5 процента, поэтому все рейтинги равны 33
в) 97; например, за футболиста отдано 15 голосов из 97 (15,46 %), а до голоса Васи было 14 из 96 (14,58 %)
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5.
а) При n = 20 возможные округления чисел 100k/20 — это 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100. Значения 53 среди них нет. Ответ: нет.
б) Если у всех трёх рейтинги равны, то все три доли лежат в промежутке длиной 1 %, то есть числа голосов отличаются меньше чем на n/100. Трём различным целым числам нужен промежуток длиннее двух, значит n > 200. Подходящий пример: 603 голосов, разделённых как 200, 201, 202 — все доли округляются до 33. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100(k − 1)/(n − 1), и 100k/n округляются до 15. Перебор n снизу даёт n = 97 при k = 15. Ответ: 97.
а) При n = 20 возможные округления чисел 100k/20 — это 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100. Значения 53 среди них нет. Ответ: нет.
б) Если у всех трёх рейтинги равны, то все три доли лежат в промежутке длиной 1 %, то есть числа голосов отличаются меньше чем на n/100. Трём различным целым числам нужен промежуток длиннее двух, значит n > 200. Подходящий пример: 603 голосов, разделённых как 200, 201, 202 — все доли округляются до 33. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100(k − 1)/(n − 1), и 100k/n округляются до 15. Перебор n снизу даёт n = 97 при k = 15. Ответ: 97.
Пример 3
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 37?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 4. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 37?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 4. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Показать ответ
а) нет: при 11 голосовавших рейтинг — это округление одного из чисел 100k/11, а они дают только значения 0, 9, 18, 27, 36, 45, 55, 64, 73, 82, 91, 100; числа 37 среди них нет
б) да, например при 603 проголосовавших голоса разделились как 200, 201, 202 — все три доли попадают в промежуток от 33 − 0,5 до 33 + 0,5 процента, поэтому все рейтинги равны 33
в) 112; например, за футболиста отдано 5 голосов из 112 (4,46 %), а до голоса Васи было 4 из 111 (3,6 %)
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5.
а) При n = 11 возможные округления чисел 100k/11 — это 0, 9, 18, 27, 36, 45, 55, 64, 73, 82, 91, 100. Значения 37 среди них нет. Ответ: нет.
б) Если у всех трёх рейтинги равны, то все три доли лежат в промежутке длиной 1 %, то есть числа голосов отличаются меньше чем на n/100. Трём различным целым числам нужен промежуток длиннее двух, значит n > 200. Подходящий пример: 603 голосов, разделённых как 200, 201, 202 — все доли округляются до 33. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100(k − 1)/(n − 1), и 100k/n округляются до 4. Перебор n снизу даёт n = 112 при k = 5. Ответ: 112.
а) При n = 11 возможные округления чисел 100k/11 — это 0, 9, 18, 27, 36, 45, 55, 64, 73, 82, 91, 100. Значения 37 среди них нет. Ответ: нет.
б) Если у всех трёх рейтинги равны, то все три доли лежат в промежутке длиной 1 %, то есть числа голосов отличаются меньше чем на n/100. Трём различным целым числам нужен промежуток длиннее двух, значит n > 200. Подходящий пример: 603 голосов, разделённых как 200, 201, 202 — все доли округляются до 33. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100(k − 1)/(n − 1), и 100k/n округляются до 4. Перебор n снизу даёт n = 112 при k = 5. Ответ: 112.
Пример 4
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 15?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 14. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 15?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 14. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Показать ответ
а) нет: при 11 голосовавших рейтинг — это округление одного из чисел 100k/11, а они дают только значения 0, 9, 18, 27, 36, 45, 55, 64, 73, 82, 91, 100; числа 15 среди них нет
б) да, например при 603 проголосовавших голоса разделились как 200, 201, 202 — все три доли попадают в промежуток от 33 − 0,5 до 33 + 0,5 процента, поэтому все рейтинги равны 33
в) 97; например, за футболиста отдано 14 голосов из 97 (14,43 %), а до голоса Васи было 13 из 96 (13,54 %)
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5.
а) При n = 11 возможные округления чисел 100k/11 — это 0, 9, 18, 27, 36, 45, 55, 64, 73, 82, 91, 100. Значения 15 среди них нет. Ответ: нет.
б) Если у всех трёх рейтинги равны, то все три доли лежат в промежутке длиной 1 %, то есть числа голосов отличаются меньше чем на n/100. Трём различным целым числам нужен промежуток длиннее двух, значит n > 200. Подходящий пример: 603 голосов, разделённых как 200, 201, 202 — все доли округляются до 33. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100(k − 1)/(n − 1), и 100k/n округляются до 14. Перебор n снизу даёт n = 97 при k = 14. Ответ: 97.
а) При n = 11 возможные округления чисел 100k/11 — это 0, 9, 18, 27, 36, 45, 55, 64, 73, 82, 91, 100. Значения 15 среди них нет. Ответ: нет.
б) Если у всех трёх рейтинги равны, то все три доли лежат в промежутке длиной 1 %, то есть числа голосов отличаются меньше чем на n/100. Трём различным целым числам нужен промежуток длиннее двух, значит n > 200. Подходящий пример: 603 голосов, разделённых как 200, 201, 202 — все доли округляются до 33. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100(k − 1)/(n − 1), и 100k/n округляются до 14. Перебор n снизу даёт n = 97 при k = 14. Ответ: 97.
Пример 5
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3; 10,5 и 12,7 округляются до 9; 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 19 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 24?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 4. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
а) Всего проголосовало 19 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 24?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 4. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Показать ответ
а) нет: при 19 голосовавших рейтинг — это округление одного из чисел 100k/19, а они дают только значения 0, 5, 11, 16, 21, 26, 32, 37, 42, 47, 53, 58, 63, 68, 74, 79, 84, 89, 95, 100; числа 24 среди них нет
б) да, например при 603 проголосовавших голоса разделились как 200, 201, 202 — все три доли попадают в промежуток от 33 − 0,5 до 33 + 0,5 процента, поэтому все рейтинги равны 33
в) 112; например, за футболиста отдано 5 голосов из 112 (4,46 %), а до голоса Васи было 4 из 111 (3,6 %)
Решение
Рейтинг равен R ⟺ R − 0,5 ≤ 100k/n < R + 0,5.
а) При n = 19 возможные округления чисел 100k/19 — это 0, 5, 11, 16, 21, 26, 32, 37, 42, 47, 53, 58, 63, 68, 74, 79, 84, 89, 95, 100. Значения 24 среди них нет. Ответ: нет.
б) Если у всех трёх рейтинги равны, то все три доли лежат в промежутке длиной 1 %, то есть числа голосов отличаются меньше чем на n/100. Трём различным целым числам нужен промежуток длиннее двух, значит n > 200. Подходящий пример: 603 голосов, разделённых как 200, 201, 202 — все доли округляются до 33. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100(k − 1)/(n − 1), и 100k/n округляются до 4. Перебор n снизу даёт n = 112 при k = 5. Ответ: 112.
а) При n = 19 возможные округления чисел 100k/19 — это 0, 5, 11, 16, 21, 26, 32, 37, 42, 47, 53, 58, 63, 68, 74, 79, 84, 89, 95, 100. Значения 24 среди них нет. Ответ: нет.
б) Если у всех трёх рейтинги равны, то все три доли лежат в промежутке длиной 1 %, то есть числа голосов отличаются меньше чем на n/100. Трём различным целым числам нужен промежуток длиннее двух, значит n > 200. Подходящий пример: 603 голосов, разделённых как 200, 201, 202 — все доли округляются до 33. Ответ: да.
в) Нужны n и k, для которых и 100(k − 1)/(n − 1), и 100k/n округляются до 4. Перебор n снизу даёт n = 112 при k = 5. Ответ: 112.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.