Три сорта чисел в две группы: наибольшее среднее — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Средние арифметические набора. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написано 24 чисел: 8 чисел «5», 8 «4» и 8 «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно A, среднее арифметическое чисел во второй группе равно B. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше A + B2.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно A + B2.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения A + B2.
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше A + B2.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно A + B2.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения A + B2.
Показать ответ
а) например, первая группа — 2 числа «5», вторая — 6 чисел «5», 8 чисел «4», 8 чисел «3»: тогда A = 5, B = 3 10/11, а (A + B)/2 = 4 5/11 > 4
б) пусть в группах по 12 чисел с суммами s и 96 − s. Тогда A + B = s/12 + (96 − s)/12 = 96/12, поэтому (A + B)/2 = 96/24 = 4 — это и есть среднее арифметическое всех чисел
в) 4 11/23; достигается, когда в одной группе единственное число «5»
Решение
Пусть в первой группе n чисел с суммой s, тогда во второй 24 − n чисел с суммой 96 − s, и
(A + B)/2 = (s/n + (96 − s)/(24 − n))/2.
б) При n = 12 получаем (s + 96 − s)/24 = 96/24 = 4 — среднее всех чисел, что и требовалось.
а) При n ≠ 12 равенства уже нет: например, если первая группа состоит из 2 числа «5», то (A + B)/2 = 4 5/11 — больше среднего всех чисел 4.
в) При фиксированном n выражение линейно по s с коэффициентом (1/n − 1/(24 − n))/2, положительным при n < 12. Значит в меньшую группу выгодно брать самые большие числа, и наилучший случай — группа из единственного числа «5»: (A + B)/2 = (5 + 3 22/23)/2 = 4 11/23.
Ответ: 4 11/23.
(A + B)/2 = (s/n + (96 − s)/(24 − n))/2.
б) При n = 12 получаем (s + 96 − s)/24 = 96/24 = 4 — среднее всех чисел, что и требовалось.
а) При n ≠ 12 равенства уже нет: например, если первая группа состоит из 2 числа «5», то (A + B)/2 = 4 5/11 — больше среднего всех чисел 4.
в) При фиксированном n выражение линейно по s с коэффициентом (1/n − 1/(24 − n))/2, положительным при n < 12. Значит в меньшую группу выгодно брать самые большие числа, и наилучший случай — группа из единственного числа «5»: (A + B)/2 = (5 + 3 22/23)/2 = 4 11/23.
Ответ: 4 11/23.
Пример 2
На доске написано 36 чисел: 12 чисел «6», 12 «5» и 12 «4». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно A, среднее арифметическое чисел во второй группе равно B. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше A + B2.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 18 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно A + B2.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения A + B2.
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше A + B2.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 18 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно A + B2.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения A + B2.
Показать ответ
а) например, первая группа — 2 числа «6», вторая — 10 чисел «6», 12 чисел «5», 12 чисел «4»: тогда A = 6, B = 4 16/17, а (A + B)/2 = 5 8/17 > 5
б) пусть в группах по 18 чисел с суммами s и 180 − s. Тогда A + B = s/18 + (180 − s)/18 = 180/18, поэтому (A + B)/2 = 180/36 = 5 — это и есть среднее арифметическое всех чисел
в) 5 17/35; достигается, когда в одной группе единственное число «6»
Решение
Пусть в первой группе n чисел с суммой s, тогда во второй 36 − n чисел с суммой 180 − s, и
(A + B)/2 = (s/n + (180 − s)/(36 − n))/2.
б) При n = 18 получаем (s + 180 − s)/36 = 180/36 = 5 — среднее всех чисел, что и требовалось.
а) При n ≠ 18 равенства уже нет: например, если первая группа состоит из 2 числа «6», то (A + B)/2 = 5 8/17 — больше среднего всех чисел 5.
в) При фиксированном n выражение линейно по s с коэффициентом (1/n − 1/(36 − n))/2, положительным при n < 18. Значит в меньшую группу выгодно брать самые большие числа, и наилучший случай — группа из единственного числа «6»: (A + B)/2 = (6 + 4 34/35)/2 = 5 17/35.
Ответ: 5 17/35.
(A + B)/2 = (s/n + (180 − s)/(36 − n))/2.
б) При n = 18 получаем (s + 180 − s)/36 = 180/36 = 5 — среднее всех чисел, что и требовалось.
а) При n ≠ 18 равенства уже нет: например, если первая группа состоит из 2 числа «6», то (A + B)/2 = 5 8/17 — больше среднего всех чисел 5.
в) При фиксированном n выражение линейно по s с коэффициентом (1/n − 1/(36 − n))/2, положительным при n < 18. Значит в меньшую группу выгодно брать самые большие числа, и наилучший случай — группа из единственного числа «6»: (A + B)/2 = (6 + 4 34/35)/2 = 5 17/35.
Ответ: 5 17/35.
Пример 3
На доске написано 36 чисел: 12 чисел «5», 12 «4» и 12 «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно A, среднее арифметическое чисел во второй группе равно B. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше A + B2.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 18 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно A + B2.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения A + B2.
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше A + B2.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 18 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно A + B2.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения A + B2.
Показать ответ
а) например, первая группа — 2 числа «5», вторая — 10 чисел «5», 12 чисел «4», 12 чисел «3»: тогда A = 5, B = 3 16/17, а (A + B)/2 = 4 8/17 > 4
б) пусть в группах по 18 чисел с суммами s и 144 − s. Тогда A + B = s/18 + (144 − s)/18 = 144/18, поэтому (A + B)/2 = 144/36 = 4 — это и есть среднее арифметическое всех чисел
в) 4 17/35; достигается, когда в одной группе единственное число «5»
Решение
Пусть в первой группе n чисел с суммой s, тогда во второй 36 − n чисел с суммой 144 − s, и
(A + B)/2 = (s/n + (144 − s)/(36 − n))/2.
б) При n = 18 получаем (s + 144 − s)/36 = 144/36 = 4 — среднее всех чисел, что и требовалось.
а) При n ≠ 18 равенства уже нет: например, если первая группа состоит из 2 числа «5», то (A + B)/2 = 4 8/17 — больше среднего всех чисел 4.
в) При фиксированном n выражение линейно по s с коэффициентом (1/n − 1/(36 − n))/2, положительным при n < 18. Значит в меньшую группу выгодно брать самые большие числа, и наилучший случай — группа из единственного числа «5»: (A + B)/2 = (5 + 3 34/35)/2 = 4 17/35.
Ответ: 4 17/35.
(A + B)/2 = (s/n + (144 − s)/(36 − n))/2.
б) При n = 18 получаем (s + 144 − s)/36 = 144/36 = 4 — среднее всех чисел, что и требовалось.
а) При n ≠ 18 равенства уже нет: например, если первая группа состоит из 2 числа «5», то (A + B)/2 = 4 8/17 — больше среднего всех чисел 4.
в) При фиксированном n выражение линейно по s с коэффициентом (1/n − 1/(36 − n))/2, положительным при n < 18. Значит в меньшую группу выгодно брать самые большие числа, и наилучший случай — группа из единственного числа «5»: (A + B)/2 = (5 + 3 34/35)/2 = 4 17/35.
Ответ: 4 17/35.
Пример 4
На доске написано 24 чисел: 8 чисел «6», 8 «5» и 8 «4». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно A, среднее арифметическое чисел во второй группе равно B. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше A + B2.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно A + B2.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения A + B2.
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше A + B2.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно A + B2.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения A + B2.
Показать ответ
а) например, первая группа — 2 числа «6», вторая — 6 чисел «6», 8 чисел «5», 8 чисел «4»: тогда A = 6, B = 4 10/11, а (A + B)/2 = 5 5/11 > 5
б) пусть в группах по 12 чисел с суммами s и 120 − s. Тогда A + B = s/12 + (120 − s)/12 = 120/12, поэтому (A + B)/2 = 120/24 = 5 — это и есть среднее арифметическое всех чисел
в) 5 11/23; достигается, когда в одной группе единственное число «6»
Решение
Пусть в первой группе n чисел с суммой s, тогда во второй 24 − n чисел с суммой 120 − s, и
(A + B)/2 = (s/n + (120 − s)/(24 − n))/2.
б) При n = 12 получаем (s + 120 − s)/24 = 120/24 = 5 — среднее всех чисел, что и требовалось.
а) При n ≠ 12 равенства уже нет: например, если первая группа состоит из 2 числа «6», то (A + B)/2 = 5 5/11 — больше среднего всех чисел 5.
в) При фиксированном n выражение линейно по s с коэффициентом (1/n − 1/(24 − n))/2, положительным при n < 12. Значит в меньшую группу выгодно брать самые большие числа, и наилучший случай — группа из единственного числа «6»: (A + B)/2 = (6 + 4 22/23)/2 = 5 11/23.
Ответ: 5 11/23.
(A + B)/2 = (s/n + (120 − s)/(24 − n))/2.
б) При n = 12 получаем (s + 120 − s)/24 = 120/24 = 5 — среднее всех чисел, что и требовалось.
а) При n ≠ 12 равенства уже нет: например, если первая группа состоит из 2 числа «6», то (A + B)/2 = 5 5/11 — больше среднего всех чисел 5.
в) При фиксированном n выражение линейно по s с коэффициентом (1/n − 1/(24 − n))/2, положительным при n < 12. Значит в меньшую группу выгодно брать самые большие числа, и наилучший случай — группа из единственного числа «6»: (A + B)/2 = (6 + 4 22/23)/2 = 5 11/23.
Ответ: 5 11/23.
Пример 5
На доске написано 24 чисел: 8 чисел «7», 8 «6» и 8 «5». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно A, среднее арифметическое чисел во второй группе равно B. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше A + B2.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно A + B2.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения A + B2.
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше A + B2.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно A + B2.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения A + B2.
Показать ответ
а) например, первая группа — 2 числа «7», вторая — 6 чисел «7», 8 чисел «6», 8 чисел «5»: тогда A = 7, B = 5 10/11, а (A + B)/2 = 6 5/11 > 6
б) пусть в группах по 12 чисел с суммами s и 144 − s. Тогда A + B = s/12 + (144 − s)/12 = 144/12, поэтому (A + B)/2 = 144/24 = 6 — это и есть среднее арифметическое всех чисел
в) 6 11/23; достигается, когда в одной группе единственное число «7»
Решение
Пусть в первой группе n чисел с суммой s, тогда во второй 24 − n чисел с суммой 144 − s, и
(A + B)/2 = (s/n + (144 − s)/(24 − n))/2.
б) При n = 12 получаем (s + 144 − s)/24 = 144/24 = 6 — среднее всех чисел, что и требовалось.
а) При n ≠ 12 равенства уже нет: например, если первая группа состоит из 2 числа «7», то (A + B)/2 = 6 5/11 — больше среднего всех чисел 6.
в) При фиксированном n выражение линейно по s с коэффициентом (1/n − 1/(24 − n))/2, положительным при n < 12. Значит в меньшую группу выгодно брать самые большие числа, и наилучший случай — группа из единственного числа «7»: (A + B)/2 = (7 + 5 22/23)/2 = 6 11/23.
Ответ: 6 11/23.
(A + B)/2 = (s/n + (144 − s)/(24 − n))/2.
б) При n = 12 получаем (s + 144 − s)/24 = 144/24 = 6 — среднее всех чисел, что и требовалось.
а) При n ≠ 12 равенства уже нет: например, если первая группа состоит из 2 числа «7», то (A + B)/2 = 6 5/11 — больше среднего всех чисел 6.
в) При фиксированном n выражение линейно по s с коэффициентом (1/n − 1/(24 − n))/2, положительным при n < 12. Значит в меньшую группу выгодно брать самые большие числа, и наилучший случай — группа из единственного числа «7»: (A + B)/2 = (7 + 5 22/23)/2 = 6 11/23.
Ответ: 6 11/23.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.