Тройка n, S(n), S(S(n)): сумма и количество троек — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Цифры: произведение цифр и цепочки сумм цифр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 945?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 766?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 3. Сколько существует таких троек?
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 945?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 766?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 3. Сколько существует таких троек?
Показать ответ
а) да, например 918, 18 и 9: их сумма равна 945
б) нет: натуральное число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому все три числа сравнимы по модулю 9, а их сумма сравнима с утроенным первым числом — она всегда кратна 3, тогда как 766 на 3 не делится
в) 94
Решение
Для любого натурального n верно n ≡ S(n) (mod 9). Значит все три числа тройки дают один и тот же остаток при делении на 9, а их сумма сравнима с 3n по модулю 9 — в частности, она всегда кратна 3. Это сразу отвечает на пункт б).
В пункте в) первое число трёхзначное, поэтому второе — сумма его цифр — лежит между 1 и 27. Чтобы второе и третье числа были различны, вторая сумма обязана быть не меньше 10. Значит нужно сосчитать трёхзначные числа, сумма цифр которых не меньше 10 и сама имеет сумму цифр 3; таких чисел 94.
В пункте в) первое число трёхзначное, поэтому второе — сумма его цифр — лежит между 1 и 27. Чтобы второе и третье числа были различны, вторая сумма обязана быть не меньше 10. Значит нужно сосчитать трёхзначные числа, сумма цифр которых не меньше 10 и сама имеет сумму цифр 3; таких чисел 94.
Пример 2
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 1773?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 677?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 4. Сколько существует таких троек?
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 1773?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 677?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 4. Сколько существует таких троек?
Показать ответ
а) да, например 1752, 15 и 6: их сумма равна 1773
б) нет: натуральное число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому все три числа сравнимы по модулю 9, а их сумма сравнима с утроенным первым числом — она всегда кратна 3, тогда как 677 на 3 не делится
в) 90
Решение
Для любого натурального n верно n ≡ S(n) (mod 9). Значит все три числа тройки дают один и тот же остаток при делении на 9, а их сумма сравнима с 3n по модулю 9 — в частности, она всегда кратна 3. Это сразу отвечает на пункт б).
В пункте в) первое число трёхзначное, поэтому второе — сумма его цифр — лежит между 1 и 27. Чтобы второе и третье числа были различны, вторая сумма обязана быть не меньше 10. Значит нужно сосчитать трёхзначные числа, сумма цифр которых не меньше 10 и сама имеет сумму цифр 4; таких чисел 90.
В пункте в) первое число трёхзначное, поэтому второе — сумма его цифр — лежит между 1 и 27. Чтобы второе и третье числа были различны, вторая сумма обязана быть не меньше 10. Значит нужно сосчитать трёхзначные числа, сумма цифр которых не меньше 10 и сама имеет сумму цифр 4; таких чисел 90.
Пример 3
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 1722?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2491?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 8. Сколько существует таких троек?
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 1722?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2491?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 8. Сколько существует таких троек?
Показать ответ
а) да, например 1693, 19 и 10: их сумма равна 1722
б) нет: натуральное число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому все три числа сравнимы по модулю 9, а их сумма сравнима с утроенным первым числом — она всегда кратна 3, тогда как 2491 на 3 не делится
в) 64
Решение
Для любого натурального n верно n ≡ S(n) (mod 9). Значит все три числа тройки дают один и тот же остаток при делении на 9, а их сумма сравнима с 3n по модулю 9 — в частности, она всегда кратна 3. Это сразу отвечает на пункт б).
В пункте в) первое число трёхзначное, поэтому второе — сумма его цифр — лежит между 1 и 27. Чтобы второе и третье числа были различны, вторая сумма обязана быть не меньше 10. Значит нужно сосчитать трёхзначные числа, сумма цифр которых не меньше 10 и сама имеет сумму цифр 8; таких чисел 64.
В пункте в) первое число трёхзначное, поэтому второе — сумма его цифр — лежит между 1 и 27. Чтобы второе и третье числа были различны, вторая сумма обязана быть не меньше 10. Значит нужно сосчитать трёхзначные числа, сумма цифр которых не меньше 10 и сама имеет сумму цифр 8; таких чисел 64.
Пример 4
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 1383?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2159?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 9. Сколько существует таких троек?
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 1383?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2159?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 9. Сколько существует таких троек?
Показать ответ
а) да, например 1370, 11 и 2: их сумма равна 1383
б) нет: натуральное число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому все три числа сравнимы по модулю 9, а их сумма сравнима с утроенным первым числом — она всегда кратна 3, тогда как 2159 на 3 не делится
в) 55
Решение
Для любого натурального n верно n ≡ S(n) (mod 9). Значит все три числа тройки дают один и тот же остаток при делении на 9, а их сумма сравнима с 3n по модулю 9 — в частности, она всегда кратна 3. Это сразу отвечает на пункт б).
В пункте в) первое число трёхзначное, поэтому второе — сумма его цифр — лежит между 1 и 27. Чтобы второе и третье числа были различны, вторая сумма обязана быть не меньше 10. Значит нужно сосчитать трёхзначные числа, сумма цифр которых не меньше 10 и сама имеет сумму цифр 9; таких чисел 55.
В пункте в) первое число трёхзначное, поэтому второе — сумма его цифр — лежит между 1 и 27. Чтобы второе и третье числа были различны, вторая сумма обязана быть не меньше 10. Значит нужно сосчитать трёхзначные числа, сумма цифр которых не меньше 10 и сама имеет сумму цифр 9; таких чисел 55.
Пример 5
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2598?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 1568?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 1. Сколько существует таких троек?
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2598?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 1568?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 1. Сколько существует таких троек?
Показать ответ
а) да, например 2573, 17 и 8: их сумма равна 2598
б) нет: натуральное число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому все три числа сравнимы по модулю 9, а их сумма сравнима с утроенным первым числом — она всегда кратна 3, тогда как 1568 на 3 не делится
в) 54
Решение
Для любого натурального n верно n ≡ S(n) (mod 9). Значит все три числа тройки дают один и тот же остаток при делении на 9, а их сумма сравнима с 3n по модулю 9 — в частности, она всегда кратна 3. Это сразу отвечает на пункт б).
В пункте в) первое число трёхзначное, поэтому второе — сумма его цифр — лежит между 1 и 27. Чтобы второе и третье числа были различны, вторая сумма обязана быть не меньше 10. Значит нужно сосчитать трёхзначные числа, сумма цифр которых не меньше 10 и сама имеет сумму цифр 1; таких чисел 54.
В пункте в) первое число трёхзначное, поэтому второе — сумма его цифр — лежит между 1 и 27. Чтобы второе и третье числа были различны, вторая сумма обязана быть не меньше 10. Значит нужно сосчитать трёхзначные числа, сумма цифр которых не меньше 10 и сама имеет сумму цифр 1; таких чисел 54.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.