Уменьшили вдвое и стёрли малые: наибольшее среднее — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Средние арифметические набора. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске было написано 24 натуральных числа (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 15?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 11, но меньше 12?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 15?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 11, но меньше 12?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Показать ответ
а) да, например 20 единиц и 4 числа 28, 40, 40, …, 40: после деления пополам остаётся 4 числа со средним 18 1/2 > 15
б) нет: если единиц было m, то они (и только они) стираются, остаётся 24 − m чисел с суммой (168 − m)/2, поэтому среднее равно (168 − m)/(2(24 − m)). Перебор допустимых m даёт лишь конечный список значений, и ни одно из них не лежит строго между 11 и 12
в) 18 1/2; например 20 единиц и числа 28, 40, 40, …, 40
Решение
После деления пополам стираются в точности бывшие единицы (0,5 < 1). Пусть их было m. Тогда осталось 24 − m чисел, сумма которых равна (168 − m)/2, и
среднее = (168 − m)/(2(24 − m)).
Это выражение растёт по m, а m ограничено вместимостью: остальные 24 − m чисел не больше 40, поэтому m + (24 − m)·40 ≥ 168, откуда m ≤ 20.
а) При m = 20 среднее равно 18 1/2 > 15.
б) Возможные средние образуют конечный список значений (по одному на каждое допустимое m), и между 11 и 12 ни одного из них нет.
в) Наибольшее значение достигается при m = 20: 18 1/2; пример набора — 20 единиц и числа 28, 40, 40, …, 40.
Ответ: 18 1/2.
среднее = (168 − m)/(2(24 − m)).
Это выражение растёт по m, а m ограничено вместимостью: остальные 24 − m чисел не больше 40, поэтому m + (24 − m)·40 ≥ 168, откуда m ≤ 20.
а) При m = 20 среднее равно 18 1/2 > 15.
б) Возможные средние образуют конечный список значений (по одному на каждое допустимое m), и между 11 и 12 ни одного из них нет.
в) Наибольшее значение достигается при m = 20: 18 1/2; пример набора — 20 единиц и числа 28, 40, 40, …, 40.
Ответ: 18 1/2.
Пример 2
На доске было написано 24 натуральных числа (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 50. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 23?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 11, но меньше 12?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 23?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 11, но меньше 12?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Показать ответ
а) да, например 21 единица и 3 числа 47, 50, 50, …, 50: после деления пополам остаётся 3 числа со средним 24 1/2 > 23
б) нет: если единиц было m, то они (и только они) стираются, остаётся 24 − m чисел с суммой (168 − m)/2, поэтому среднее равно (168 − m)/(2(24 − m)). Перебор допустимых m даёт лишь конечный список значений, и ни одно из них не лежит строго между 11 и 12
в) 24 1/2; например 21 единица и числа 47, 50, 50, …, 50
Решение
После деления пополам стираются в точности бывшие единицы (0,5 < 1). Пусть их было m. Тогда осталось 24 − m чисел, сумма которых равна (168 − m)/2, и
среднее = (168 − m)/(2(24 − m)).
Это выражение растёт по m, а m ограничено вместимостью: остальные 24 − m чисел не больше 50, поэтому m + (24 − m)·50 ≥ 168, откуда m ≤ 21.
а) При m = 21 среднее равно 24 1/2 > 23.
б) Возможные средние образуют конечный список значений (по одному на каждое допустимое m), и между 11 и 12 ни одного из них нет.
в) Наибольшее значение достигается при m = 21: 24 1/2; пример набора — 21 единица и числа 47, 50, 50, …, 50.
Ответ: 24 1/2.
среднее = (168 − m)/(2(24 − m)).
Это выражение растёт по m, а m ограничено вместимостью: остальные 24 − m чисел не больше 50, поэтому m + (24 − m)·50 ≥ 168, откуда m ≤ 21.
а) При m = 21 среднее равно 24 1/2 > 23.
б) Возможные средние образуют конечный список значений (по одному на каждое допустимое m), и между 11 и 12 ни одного из них нет.
в) Наибольшее значение достигается при m = 21: 24 1/2; пример набора — 21 единица и числа 47, 50, 50, …, 50.
Ответ: 24 1/2.
Пример 3
На доске было написано 24 натуральных числа (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 45. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 17?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 11, но меньше 12?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 17?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 11, но меньше 12?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Показать ответ
а) да, например 20 единиц и 4 числа 13, 45, 45, …, 45: после деления пополам остаётся 4 числа со средним 18 1/2 > 17
б) нет: если единиц было m, то они (и только они) стираются, остаётся 24 − m чисел с суммой (168 − m)/2, поэтому среднее равно (168 − m)/(2(24 − m)). Перебор допустимых m даёт лишь конечный список значений, и ни одно из них не лежит строго между 11 и 12
в) 18 1/2; например 20 единиц и числа 13, 45, 45, …, 45
Решение
После деления пополам стираются в точности бывшие единицы (0,5 < 1). Пусть их было m. Тогда осталось 24 − m чисел, сумма которых равна (168 − m)/2, и
среднее = (168 − m)/(2(24 − m)).
Это выражение растёт по m, а m ограничено вместимостью: остальные 24 − m чисел не больше 45, поэтому m + (24 − m)·45 ≥ 168, откуда m ≤ 20.
а) При m = 20 среднее равно 18 1/2 > 17.
б) Возможные средние образуют конечный список значений (по одному на каждое допустимое m), и между 11 и 12 ни одного из них нет.
в) Наибольшее значение достигается при m = 20: 18 1/2; пример набора — 20 единиц и числа 13, 45, 45, …, 45.
Ответ: 18 1/2.
среднее = (168 − m)/(2(24 − m)).
Это выражение растёт по m, а m ограничено вместимостью: остальные 24 − m чисел не больше 45, поэтому m + (24 − m)·45 ≥ 168, откуда m ≤ 20.
а) При m = 20 среднее равно 18 1/2 > 17.
б) Возможные средние образуют конечный список значений (по одному на каждое допустимое m), и между 11 и 12 ни одного из них нет.
в) Наибольшее значение достигается при m = 20: 18 1/2; пример набора — 20 единиц и числа 13, 45, 45, …, 45.
Ответ: 18 1/2.
Пример 4
На доске было написано 36 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 45. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 8. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 18?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 18?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Показать ответ
а) да, например 30 единиц и 6 чисел 33, 45, 45, …, 45: после деления пополам остаётся 6 чисел со средним 21 1/2 > 18
б) нет: если единиц было m, то они (и только они) стираются, остаётся 36 − m чисел с суммой (288 − m)/2, поэтому среднее равно (288 − m)/(2(36 − m)). Перебор допустимых m даёт лишь конечный список значений, и ни одно из них не лежит строго между 12 и 13
в) 21 1/2; например 30 единиц и числа 33, 45, 45, …, 45
Решение
После деления пополам стираются в точности бывшие единицы (0,5 < 1). Пусть их было m. Тогда осталось 36 − m чисел, сумма которых равна (288 − m)/2, и
среднее = (288 − m)/(2(36 − m)).
Это выражение растёт по m, а m ограничено вместимостью: остальные 36 − m чисел не больше 45, поэтому m + (36 − m)·45 ≥ 288, откуда m ≤ 30.
а) При m = 30 среднее равно 21 1/2 > 18.
б) Возможные средние образуют конечный список значений (по одному на каждое допустимое m), и между 12 и 13 ни одного из них нет.
в) Наибольшее значение достигается при m = 30: 21 1/2; пример набора — 30 единиц и числа 33, 45, 45, …, 45.
Ответ: 21 1/2.
среднее = (288 − m)/(2(36 − m)).
Это выражение растёт по m, а m ограничено вместимостью: остальные 36 − m чисел не больше 45, поэтому m + (36 − m)·45 ≥ 288, откуда m ≤ 30.
а) При m = 30 среднее равно 21 1/2 > 18.
б) Возможные средние образуют конечный список значений (по одному на каждое допустимое m), и между 12 и 13 ни одного из них нет.
в) Наибольшее значение достигается при m = 30: 21 1/2; пример набора — 30 единиц и числа 33, 45, 45, …, 45.
Ответ: 21 1/2.
Пример 5
На доске было написано 36 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 45. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 21?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 13, но меньше 14?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 21?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 13, но меньше 14?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Показать ответ
а) да, например 31 единица и 5 чисел 41, 45, 45, …, 45: после деления пополам остаётся 5 чисел со средним 22 1/10 > 21
б) нет: если единиц было m, то они (и только они) стираются, остаётся 36 − m чисел с суммой (252 − m)/2, поэтому среднее равно (252 − m)/(2(36 − m)). Перебор допустимых m даёт лишь конечный список значений, и ни одно из них не лежит строго между 13 и 14
в) 22 1/10; например 31 единица и числа 41, 45, 45, …, 45
Решение
После деления пополам стираются в точности бывшие единицы (0,5 < 1). Пусть их было m. Тогда осталось 36 − m чисел, сумма которых равна (252 − m)/2, и
среднее = (252 − m)/(2(36 − m)).
Это выражение растёт по m, а m ограничено вместимостью: остальные 36 − m чисел не больше 45, поэтому m + (36 − m)·45 ≥ 252, откуда m ≤ 31.
а) При m = 31 среднее равно 22 1/10 > 21.
б) Возможные средние образуют конечный список значений (по одному на каждое допустимое m), и между 13 и 14 ни одного из них нет.
в) Наибольшее значение достигается при m = 31: 22 1/10; пример набора — 31 единица и числа 41, 45, 45, …, 45.
Ответ: 22 1/10.
среднее = (252 − m)/(2(36 − m)).
Это выражение растёт по m, а m ограничено вместимостью: остальные 36 − m чисел не больше 45, поэтому m + (36 − m)·45 ≥ 252, откуда m ≤ 31.
а) При m = 31 среднее равно 22 1/10 > 21.
б) Возможные средние образуют конечный список значений (по одному на каждое допустимое m), и между 13 и 14 ни одного из них нет.
в) Наибольшее значение достигается при m = 31: 22 1/10; пример набора — 31 единица и числа 41, 45, 45, …, 45.
Ответ: 22 1/10.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.