Вася и Петя перемножают: наибольшее целое отношение — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Наборы: суммы и произведения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка [20; 97]. Петя увеличил каждое из Васиных чисел на 1 и перемножил все полученные числа.
а) Может ли Петин результат быть ровно втрое больше Васиного?
б) Может ли Петин результат быть ровно в 7 раз больше Васиного?
в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?
а) Может ли Петин результат быть ровно втрое больше Васиного?
б) Может ли Петин результат быть ровно в 7 раз больше Васиного?
в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?
Показать ответ
а) да, например если Вася взял все числа от 20 до 59: произведение дробей 21/20 · 22/21 · … · 60/59 сокращается до 60/20 = 3
б) нет: каждая дробь (a + 1)/a больше единицы, поэтому отношение наибольшее, когда взяты все числа отрезка, и тогда оно равно 98/20 < 7
в) 4; например, все числа от 20 до 79 дают отношение 80/20 = 4, а больше 98/20 отношение быть не может
Решение
Отношение Петиного результата к Васиному равно произведению дробей (a + 1)/a по всем взятым числам a.
а) Возьмём все числа от 20 до 59. Соседние дроби сокращаются, и произведение равно 60/20 = 3. Ответ: да.
б) Каждая дробь (a + 1)/a больше 1, поэтому отношение тем больше, чем больше чисел взято; наибольшее значение даёт весь отрезок и равно 98/20 ≈ 4,9. Так как 4,9 < 7, требуемое невозможно. Ответ: нет.
в) По той же оценке отношение не превосходит 98/20, то есть целое отношение не больше 4. Значение 4 достигается на всех числах от 20 до 79: произведение дробей сокращается до 80/20 = 4. Ответ: 4.
а) Возьмём все числа от 20 до 59. Соседние дроби сокращаются, и произведение равно 60/20 = 3. Ответ: да.
б) Каждая дробь (a + 1)/a больше 1, поэтому отношение тем больше, чем больше чисел взято; наибольшее значение даёт весь отрезок и равно 98/20 ≈ 4,9. Так как 4,9 < 7, требуемое невозможно. Ответ: нет.
в) По той же оценке отношение не превосходит 98/20, то есть целое отношение не больше 4. Значение 4 достигается на всех числах от 20 до 79: произведение дробей сокращается до 80/20 = 4. Ответ: 4.
Пример 2
Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка [12; 77]. Петя увеличил каждое из Васиных чисел на 1 и перемножил все полученные числа.
а) Может ли Петин результат быть ровно в 4 раза больше Васиного?
б) Может ли Петин результат быть ровно в 9 раз больше Васиного?
в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?
а) Может ли Петин результат быть ровно в 4 раза больше Васиного?
б) Может ли Петин результат быть ровно в 9 раз больше Васиного?
в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?
Показать ответ
а) да, например если Вася взял все числа от 12 до 47: произведение дробей 13/12 · 14/13 · … · 48/47 сокращается до 48/12 = 4
б) нет: каждая дробь (a + 1)/a больше единицы, поэтому отношение наибольшее, когда взяты все числа отрезка, и тогда оно равно 78/12 < 9
в) 6; например, все числа от 12 до 71 дают отношение 72/12 = 6, а больше 78/12 отношение быть не может
Решение
Отношение Петиного результата к Васиному равно произведению дробей (a + 1)/a по всем взятым числам a.
а) Возьмём все числа от 12 до 47. Соседние дроби сокращаются, и произведение равно 48/12 = 4. Ответ: да.
б) Каждая дробь (a + 1)/a больше 1, поэтому отношение тем больше, чем больше чисел взято; наибольшее значение даёт весь отрезок и равно 78/12 ≈ 6,5. Так как 6,5 < 9, требуемое невозможно. Ответ: нет.
в) По той же оценке отношение не превосходит 78/12, то есть целое отношение не больше 6. Значение 6 достигается на всех числах от 12 до 71: произведение дробей сокращается до 72/12 = 6. Ответ: 6.
а) Возьмём все числа от 12 до 47. Соседние дроби сокращаются, и произведение равно 48/12 = 4. Ответ: да.
б) Каждая дробь (a + 1)/a больше 1, поэтому отношение тем больше, чем больше чисел взято; наибольшее значение даёт весь отрезок и равно 78/12 ≈ 6,5. Так как 6,5 < 9, требуемое невозможно. Ответ: нет.
в) По той же оценке отношение не превосходит 78/12, то есть целое отношение не больше 6. Значение 6 достигается на всех числах от 12 до 71: произведение дробей сокращается до 72/12 = 6. Ответ: 6.
Пример 3
Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка [10; 41]. Петя увеличил каждое из Васиных чисел на 1 и перемножил все полученные числа.
а) Может ли Петин результат быть ровно в 4 раза больше Васиного?
б) Может ли Петин результат быть ровно в 6 раз больше Васиного?
в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?
а) Может ли Петин результат быть ровно в 4 раза больше Васиного?
б) Может ли Петин результат быть ровно в 6 раз больше Васиного?
в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?
Показать ответ
а) да, например если Вася взял все числа от 10 до 39: произведение дробей 11/10 · 12/11 · … · 40/39 сокращается до 40/10 = 4
б) нет: каждая дробь (a + 1)/a больше единицы, поэтому отношение наибольшее, когда взяты все числа отрезка, и тогда оно равно 42/10 < 6
в) 4; например, все числа от 10 до 39 дают отношение 40/10 = 4, а больше 42/10 отношение быть не может
Решение
Отношение Петиного результата к Васиному равно произведению дробей (a + 1)/a по всем взятым числам a.
а) Возьмём все числа от 10 до 39. Соседние дроби сокращаются, и произведение равно 40/10 = 4. Ответ: да.
б) Каждая дробь (a + 1)/a больше 1, поэтому отношение тем больше, чем больше чисел взято; наибольшее значение даёт весь отрезок и равно 42/10 ≈ 4,2. Так как 4,2 < 6, требуемое невозможно. Ответ: нет.
в) По той же оценке отношение не превосходит 42/10, то есть целое отношение не больше 4. Значение 4 достигается на всех числах от 10 до 39: произведение дробей сокращается до 40/10 = 4. Ответ: 4.
а) Возьмём все числа от 10 до 39. Соседние дроби сокращаются, и произведение равно 40/10 = 4. Ответ: да.
б) Каждая дробь (a + 1)/a больше 1, поэтому отношение тем больше, чем больше чисел взято; наибольшее значение даёт весь отрезок и равно 42/10 ≈ 4,2. Так как 4,2 < 6, требуемое невозможно. Ответ: нет.
в) По той же оценке отношение не превосходит 42/10, то есть целое отношение не больше 4. Значение 4 достигается на всех числах от 10 до 39: произведение дробей сокращается до 40/10 = 4. Ответ: 4.
Пример 4
Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка [19; 70]. Петя увеличил каждое из Васиных чисел на 1 и перемножил все полученные числа.
а) Может ли Петин результат быть ровно вдвое больше Васиного?
б) Может ли Петин результат быть ровно в 4 раза больше Васиного?
в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?
а) Может ли Петин результат быть ровно вдвое больше Васиного?
б) Может ли Петин результат быть ровно в 4 раза больше Васиного?
в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?
Показать ответ
а) да, например если Вася взял все числа от 19 до 37: произведение дробей 20/19 · 21/20 · … · 38/37 сокращается до 38/19 = 2
б) нет: каждая дробь (a + 1)/a больше единицы, поэтому отношение наибольшее, когда взяты все числа отрезка, и тогда оно равно 71/19 < 4
в) 3; например, все числа от 19 до 56 дают отношение 57/19 = 3, а больше 71/19 отношение быть не может
Решение
Отношение Петиного результата к Васиному равно произведению дробей (a + 1)/a по всем взятым числам a.
а) Возьмём все числа от 19 до 37. Соседние дроби сокращаются, и произведение равно 38/19 = 2. Ответ: да.
б) Каждая дробь (a + 1)/a больше 1, поэтому отношение тем больше, чем больше чисел взято; наибольшее значение даёт весь отрезок и равно 71/19 ≈ 3,74. Так как 3,74 < 4, требуемое невозможно. Ответ: нет.
в) По той же оценке отношение не превосходит 71/19, то есть целое отношение не больше 3. Значение 3 достигается на всех числах от 19 до 56: произведение дробей сокращается до 57/19 = 3. Ответ: 3.
а) Возьмём все числа от 19 до 37. Соседние дроби сокращаются, и произведение равно 38/19 = 2. Ответ: да.
б) Каждая дробь (a + 1)/a больше 1, поэтому отношение тем больше, чем больше чисел взято; наибольшее значение даёт весь отрезок и равно 71/19 ≈ 3,74. Так как 3,74 < 4, требуемое невозможно. Ответ: нет.
в) По той же оценке отношение не превосходит 71/19, то есть целое отношение не больше 3. Значение 3 достигается на всех числах от 19 до 56: произведение дробей сокращается до 57/19 = 3. Ответ: 3.
Пример 5
Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка [20; 129]. Петя увеличил каждое из Васиных чисел на 1 и перемножил все полученные числа.
а) Может ли Петин результат быть ровно в 6 раз больше Васиного?
б) Может ли Петин результат быть ровно в 9 раз больше Васиного?
в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?
а) Может ли Петин результат быть ровно в 6 раз больше Васиного?
б) Может ли Петин результат быть ровно в 9 раз больше Васиного?
в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?
Показать ответ
а) да, например если Вася взял все числа от 20 до 119: произведение дробей 21/20 · 22/21 · … · 120/119 сокращается до 120/20 = 6
б) нет: каждая дробь (a + 1)/a больше единицы, поэтому отношение наибольшее, когда взяты все числа отрезка, и тогда оно равно 130/20 < 9
в) 6; например, все числа от 20 до 119 дают отношение 120/20 = 6, а больше 130/20 отношение быть не может
Решение
Отношение Петиного результата к Васиному равно произведению дробей (a + 1)/a по всем взятым числам a.
а) Возьмём все числа от 20 до 119. Соседние дроби сокращаются, и произведение равно 120/20 = 6. Ответ: да.
б) Каждая дробь (a + 1)/a больше 1, поэтому отношение тем больше, чем больше чисел взято; наибольшее значение даёт весь отрезок и равно 130/20 ≈ 6,5. Так как 6,5 < 9, требуемое невозможно. Ответ: нет.
в) По той же оценке отношение не превосходит 130/20, то есть целое отношение не больше 6. Значение 6 достигается на всех числах от 20 до 119: произведение дробей сокращается до 120/20 = 6. Ответ: 6.
а) Возьмём все числа от 20 до 119. Соседние дроби сокращаются, и произведение равно 120/20 = 6. Ответ: да.
б) Каждая дробь (a + 1)/a больше 1, поэтому отношение тем больше, чем больше чисел взято; наибольшее значение даёт весь отрезок и равно 130/20 ≈ 6,5. Так как 6,5 < 9, требуемое невозможно. Ответ: нет.
в) По той же оценке отношение не превосходит 130/20, то есть целое отношение не больше 6. Значение 6 достигается на всех числах от 20 до 119: произведение дробей сокращается до 120/20 = 6. Ответ: 6.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.