Вставка сумм соседних цифр — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Операции над записью числа. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 2534154.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 3918168102?
в) Какое наибольшее число, кратное 13, может получиться из трёхзначного числа?
а) Приведите пример числа, из которого получается 2534154.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 3918168102?
в) Какое наибольшее число, кратное 13, может получиться из трёхзначного числа?
Показать ответ
а) 2314
б) нет: разбор однозначен — первая цифра результата совпадает с первой цифрой исходного числа, затем идёт сумма первых двух цифр, затем вторая цифра и так далее. Проверяя оба варианта длины каждой записанной суммы (одна цифра или две), убеждаемся, что запись 3918168102 так не разбирается
в) 9189167; получается из числа 997
Решение
Обозначим цифры исходного числа d1, d2, …, dₙ. После операции получается запись d1 (d1+d2) d2 (d2+d3) d3 … dₙ, где каждая сумма записана одной или двумя цифрами.
а) 2534154 = 2 5 3 4 1 5 4, поэтому подходит число 2314.
б) Разбор записи однозначен: первая цифра — это d1, дальше на каждом шаге читается сумма (одна или две цифры) и следующая цифра, причём сумма обязана равняться сумме соседних цифр. Перебор обоих вариантов длины на каждом шаге показывает, что запись 3918168102 не разбирается ни при каком выборе.
в) Для трёхзначного числа результат равен d1 (d1+d2) d2 (d2+d3) d3; перебирая все трёхзначные числа, получаем наибольшее кратное 13 значение 9189167 (из числа 997).
Ответ: 9189167.
а) 2534154 = 2 5 3 4 1 5 4, поэтому подходит число 2314.
б) Разбор записи однозначен: первая цифра — это d1, дальше на каждом шаге читается сумма (одна или две цифры) и следующая цифра, причём сумма обязана равняться сумме соседних цифр. Перебор обоих вариантов длины на каждом шаге показывает, что запись 3918168102 не разбирается ни при каком выборе.
в) Для трёхзначного числа результат равен d1 (d1+d2) d2 (d2+d3) d3; перебирая все трёхзначные числа, получаем наибольшее кратное 13 значение 9189167 (из числа 997).
Ответ: 9189167.
Пример 2
С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 413911231.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 3129116137?
в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трёхзначного числа?
а) Приведите пример числа, из которого получается 413911231.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 3129116137?
в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трёхзначного числа?
Показать ответ
а) 4921
б) нет: разбор однозначен — первая цифра результата совпадает с первой цифрой исходного числа, затем идёт сумма первых двух цифр, затем вторая цифра и так далее. Проверяя оба варианта длины каждой записанной суммы (одна цифра или две), убеждаемся, что запись 3129116137 так не разбирается
в) 9167169; получается из числа 979
Решение
Обозначим цифры исходного числа d1, d2, …, dₙ. После операции получается запись d1 (d1+d2) d2 (d2+d3) d3 … dₙ, где каждая сумма записана одной или двумя цифрами.
а) 413911231 = 4 13 9 11 2 3 1, поэтому подходит число 4921.
б) Разбор записи однозначен: первая цифра — это d1, дальше на каждом шаге читается сумма (одна или две цифры) и следующая цифра, причём сумма обязана равняться сумме соседних цифр. Перебор обоих вариантов длины на каждом шаге показывает, что запись 3129116137 не разбирается ни при каком выборе.
в) Для трёхзначного числа результат равен d1 (d1+d2) d2 (d2+d3) d3; перебирая все трёхзначные числа, получаем наибольшее кратное 11 значение 9167169 (из числа 979).
Ответ: 9167169.
а) 413911231 = 4 13 9 11 2 3 1, поэтому подходит число 4921.
б) Разбор записи однозначен: первая цифра — это d1, дальше на каждом шаге читается сумма (одна или две цифры) и следующая цифра, причём сумма обязана равняться сумме соседних цифр. Перебор обоих вариантов длины на каждом шаге показывает, что запись 3129116137 не разбирается ни при каком выборе.
в) Для трёхзначного числа результат равен d1 (d1+d2) d2 (d2+d3) d3; перебирая все трёхзначные числа, получаем наибольшее кратное 11 значение 9167169 (из числа 979).
Ответ: 9167169.
Пример 3
С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 385116104.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 71036085?
в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трёхзначного числа?
а) Приведите пример числа, из которого получается 385116104.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 71036085?
в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трёхзначного числа?
Показать ответ
а) 3564
б) нет: разбор однозначен — первая цифра результата совпадает с первой цифрой исходного числа, затем идёт сумма первых двух цифр, затем вторая цифра и так далее. Проверяя оба варианта длины каждой записанной суммы (одна цифра или две), убеждаемся, что запись 71036085 так не разбирается
в) 9167169; получается из числа 979
Решение
Обозначим цифры исходного числа d1, d2, …, dₙ. После операции получается запись d1 (d1+d2) d2 (d2+d3) d3 … dₙ, где каждая сумма записана одной или двумя цифрами.
а) 385116104 = 3 8 5 11 6 10 4, поэтому подходит число 3564.
б) Разбор записи однозначен: первая цифра — это d1, дальше на каждом шаге читается сумма (одна или две цифры) и следующая цифра, причём сумма обязана равняться сумме соседних цифр. Перебор обоих вариантов длины на каждом шаге показывает, что запись 71036085 не разбирается ни при каком выборе.
в) Для трёхзначного числа результат равен d1 (d1+d2) d2 (d2+d3) d3; перебирая все трёхзначные числа, получаем наибольшее кратное 11 значение 9167169 (из числа 979).
Ответ: 9167169.
а) 385116104 = 3 8 5 11 6 10 4, поэтому подходит число 3564.
б) Разбор записи однозначен: первая цифра — это d1, дальше на каждом шаге читается сумма (одна или две цифры) и следующая цифра, причём сумма обязана равняться сумме соседних цифр. Перебор обоих вариантов длины на каждом шаге показывает, что запись 71036085 не разбирается ни при каком выборе.
в) Для трёхзначного числа результат равен d1 (d1+d2) d2 (d2+d3) d3; перебирая все трёхзначные числа, получаем наибольшее кратное 11 значение 9167169 (из числа 979).
Ответ: 9167169.
Пример 4
С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 312912374.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 113711473?
в) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трёхзначного числа?
а) Приведите пример числа, из которого получается 312912374.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 113711473?
в) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трёхзначного числа?
Показать ответ
а) 3934
б) нет: разбор однозначен — первая цифра результата совпадает с первой цифрой исходного числа, затем идёт сумма первых двух цифр, затем вторая цифра и так далее. Проверяя оба варианта длины каждой записанной суммы (одна цифра или две), убеждаемся, что запись 113711473 так не разбирается
в) 9189189; получается из числа 999
Решение
Обозначим цифры исходного числа d1, d2, …, dₙ. После операции получается запись d1 (d1+d2) d2 (d2+d3) d3 … dₙ, где каждая сумма записана одной или двумя цифрами.
а) 312912374 = 3 12 9 12 3 7 4, поэтому подходит число 3934.
б) Разбор записи однозначен: первая цифра — это d1, дальше на каждом шаге читается сумма (одна или две цифры) и следующая цифра, причём сумма обязана равняться сумме соседних цифр. Перебор обоих вариантов длины на каждом шаге показывает, что запись 113711473 не разбирается ни при каком выборе.
в) Для трёхзначного числа результат равен d1 (d1+d2) d2 (d2+d3) d3; перебирая все трёхзначные числа, получаем наибольшее кратное 9 значение 9189189 (из числа 999).
Ответ: 9189189.
а) 312912374 = 3 12 9 12 3 7 4, поэтому подходит число 3934.
б) Разбор записи однозначен: первая цифра — это d1, дальше на каждом шаге читается сумма (одна или две цифры) и следующая цифра, причём сумма обязана равняться сумме соседних цифр. Перебор обоих вариантов длины на каждом шаге показывает, что запись 113711473 не разбирается ни при каком выборе.
в) Для трёхзначного числа результат равен d1 (d1+d2) d2 (d2+d3) d3; перебирая все трёхзначные числа, получаем наибольшее кратное 9 значение 9189189 (из числа 999).
Ответ: 9189189.
Пример 5
С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 61378132.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 91128681?
в) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трёхзначного числа?
а) Приведите пример числа, из которого получается 61378132.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 91128681?
в) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трёхзначного числа?
Показать ответ
а) 6712
б) нет: разбор однозначен — первая цифра результата совпадает с первой цифрой исходного числа, затем идёт сумма первых двух цифр, затем вторая цифра и так далее. Проверяя оба варианта длины каждой записанной суммы (одна цифра или две), убеждаемся, что запись 91128681 так не разбирается
в) 9189189; получается из числа 999
Решение
Обозначим цифры исходного числа d1, d2, …, dₙ. После операции получается запись d1 (d1+d2) d2 (d2+d3) d3 … dₙ, где каждая сумма записана одной или двумя цифрами.
а) 61378132 = 6 13 7 8 1 3 2, поэтому подходит число 6712.
б) Разбор записи однозначен: первая цифра — это d1, дальше на каждом шаге читается сумма (одна или две цифры) и следующая цифра, причём сумма обязана равняться сумме соседних цифр. Перебор обоих вариантов длины на каждом шаге показывает, что запись 91128681 не разбирается ни при каком выборе.
в) Для трёхзначного числа результат равен d1 (d1+d2) d2 (d2+d3) d3; перебирая все трёхзначные числа, получаем наибольшее кратное 9 значение 9189189 (из числа 999).
Ответ: 9189189.
а) 61378132 = 6 13 7 8 1 3 2, поэтому подходит число 6712.
б) Разбор записи однозначен: первая цифра — это d1, дальше на каждом шаге читается сумма (одна или две цифры) и следующая цифра, причём сумма обязана равняться сумме соседних цифр. Перебор обоих вариантов длины на каждом шаге показывает, что запись 91128681 не разбирается ни при каком выборе.
в) Для трёхзначного числа результат равен d1 (d1+d2) d2 (d2+d3) d3; перебирая все трёхзначные числа, получаем наибольшее кратное 9 значение 9189189 (из числа 999).
Ответ: 9189189.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.