Вычёркивание цифр до кратности — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Операции над записью числа. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Из записи натурального числа вычёркивают несколько цифр (оставшиеся цифры сохраняют свой порядок) и получают новое натуральное число.
а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 694827513 так, чтобы получилось число, кратное 45?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 289567314 так, чтобы получилось число, кратное 45?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 27456198 так, чтобы получилось число, кратное 45?
а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 694827513 так, чтобы получилось число, кратное 45?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 289567314 так, чтобы получилось число, кратное 45?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 27456198 так, чтобы получилось число, кратное 45?
Показать ответ
а) да: например 45 = 45·1
б) нет: число, кратное 45, должно оканчиваться последней цифрой 5 или 0, и сумма цифр кратна 9. Из записи 289567314 вычёркиванием получается 8 чисел с подходящим окончанием, и ни у одного из них сумма цифр не делится на 9
в) 6; остаётся число 45 = 45·1
Решение
Вычёркивание цифр сохраняет порядок оставшихся, поэтому из числа с n цифрами получается одно из 2n − 2 чисел (кроме пустого и самого исходного).
а) Из 694827513 получается 45, а 45 = 45·1.
б) Число, кратное 45, должно оканчиваться последней цифрой 5 или 0, и сумма цифр кратна 9. Из записи 289567314 вычёркиванием получается 8 чисел с подходящим окончанием, и ни у одного из них сумма цифр не делится на 9.
в) Чем меньше цифр остаётся, тем больше вычеркнуто. Наименьшее по длине кратное 45 число, получаемое из 27456198, — это 45 (2 цифры), поэтому вычеркнуть можно 6 цифр.
Ответ: 6.
а) Из 694827513 получается 45, а 45 = 45·1.
б) Число, кратное 45, должно оканчиваться последней цифрой 5 или 0, и сумма цифр кратна 9. Из записи 289567314 вычёркиванием получается 8 чисел с подходящим окончанием, и ни у одного из них сумма цифр не делится на 9.
в) Чем меньше цифр остаётся, тем больше вычеркнуто. Наименьшее по длине кратное 45 число, получаемое из 27456198, — это 45 (2 цифры), поэтому вычеркнуть можно 6 цифр.
Ответ: 6.
Пример 2
Из записи натурального числа вычёркивают несколько цифр (оставшиеся цифры сохраняют свой порядок) и получают новое натуральное число.
а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 947183526 так, чтобы получилось число, кратное 45?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 567291483 так, чтобы получилось число, кратное 45?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 32761549 так, чтобы получилось число, кратное 45?
а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 947183526 так, чтобы получилось число, кратное 45?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 567291483 так, чтобы получилось число, кратное 45?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 32761549 так, чтобы получилось число, кратное 45?
Показать ответ
а) да: например 45 = 45·1
б) нет: число, кратное 45, должно оканчиваться последней цифрой 5 или 0, и сумма цифр кратна 9. Из записи 567291483 вычёркиванием получается 1 число с подходящим окончанием, и ни у одного из них сумма цифр не делится на 9
в) 5; остаётся число 765 = 45·17
Решение
Вычёркивание цифр сохраняет порядок оставшихся, поэтому из числа с n цифрами получается одно из 2n − 2 чисел (кроме пустого и самого исходного).
а) Из 947183526 получается 45, а 45 = 45·1.
б) Число, кратное 45, должно оканчиваться последней цифрой 5 или 0, и сумма цифр кратна 9. Из записи 567291483 вычёркиванием получается 1 число с подходящим окончанием, и ни у одного из них сумма цифр не делится на 9.
в) Чем меньше цифр остаётся, тем больше вычеркнуто. Наименьшее по длине кратное 45 число, получаемое из 32761549, — это 765 (3 цифры), поэтому вычеркнуть можно 5 цифр.
Ответ: 5.
а) Из 947183526 получается 45, а 45 = 45·1.
б) Число, кратное 45, должно оканчиваться последней цифрой 5 или 0, и сумма цифр кратна 9. Из записи 567291483 вычёркиванием получается 1 число с подходящим окончанием, и ни у одного из них сумма цифр не делится на 9.
в) Чем меньше цифр остаётся, тем больше вычеркнуто. Наименьшее по длине кратное 45 число, получаемое из 32761549, — это 765 (3 цифры), поэтому вычеркнуть можно 5 цифр.
Ответ: 5.
Пример 3
Из записи натурального числа вычёркивают несколько цифр (оставшиеся цифры сохраняют свой порядок) и получают новое натуральное число.
а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 761845239 так, чтобы получилось число, кратное 72?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 168247593 так, чтобы получилось число, кратное 72?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 76184523 так, чтобы получилось число, кратное 72?
а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 761845239 так, чтобы получилось число, кратное 72?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 168247593 так, чтобы получилось число, кратное 72?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 76184523 так, чтобы получилось число, кратное 72?
Показать ответ
а) да: например 72 = 72·1
б) нет: число, кратное 72, должно оканчиваться тремя последними цифрами, делящимися на 8, и сумма цифр кратна 9. Из записи 168247593 вычёркиванием получается 12 чисел с подходящим окончанием, и ни у одного из них сумма цифр не делится на 9
в) 6; остаётся число 72 = 72·1
Решение
Вычёркивание цифр сохраняет порядок оставшихся, поэтому из числа с n цифрами получается одно из 2n − 2 чисел (кроме пустого и самого исходного).
а) Из 761845239 получается 72, а 72 = 72·1.
б) Число, кратное 72, должно оканчиваться тремя последними цифрами, делящимися на 8, и сумма цифр кратна 9. Из записи 168247593 вычёркиванием получается 12 чисел с подходящим окончанием, и ни у одного из них сумма цифр не делится на 9.
в) Чем меньше цифр остаётся, тем больше вычеркнуто. Наименьшее по длине кратное 72 число, получаемое из 76184523, — это 72 (2 цифры), поэтому вычеркнуть можно 6 цифр.
Ответ: 6.
а) Из 761845239 получается 72, а 72 = 72·1.
б) Число, кратное 72, должно оканчиваться тремя последними цифрами, делящимися на 8, и сумма цифр кратна 9. Из записи 168247593 вычёркиванием получается 12 чисел с подходящим окончанием, и ни у одного из них сумма цифр не делится на 9.
в) Чем меньше цифр остаётся, тем больше вычеркнуто. Наименьшее по длине кратное 72 число, получаемое из 76184523, — это 72 (2 цифры), поэтому вычеркнуть можно 6 цифр.
Ответ: 6.
Пример 4
Из записи натурального числа вычёркивают несколько цифр (оставшиеся цифры сохраняют свой порядок) и получают новое натуральное число.
а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 971364582 так, чтобы получилось число, кратное 36?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 895416237 так, чтобы получилось число, кратное 36?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 87621945 так, чтобы получилось число, кратное 36?
а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 971364582 так, чтобы получилось число, кратное 36?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 895416237 так, чтобы получилось число, кратное 36?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 87621945 так, чтобы получилось число, кратное 36?
Показать ответ
а) да: например 36 = 36·1
б) нет: число, кратное 36, должно оканчиваться двумя последними цифрами, делящимися на 4, и сумма цифр кратна 9. Из записи 895416237 вычёркиванием получается 47 чисел с подходящим окончанием, и ни у одного из них сумма цифр не делится на 9
в) 6; остаётся число 72 = 36·2
Решение
Вычёркивание цифр сохраняет порядок оставшихся, поэтому из числа с n цифрами получается одно из 2n − 2 чисел (кроме пустого и самого исходного).
а) Из 971364582 получается 36, а 36 = 36·1.
б) Число, кратное 36, должно оканчиваться двумя последними цифрами, делящимися на 4, и сумма цифр кратна 9. Из записи 895416237 вычёркиванием получается 47 чисел с подходящим окончанием, и ни у одного из них сумма цифр не делится на 9.
в) Чем меньше цифр остаётся, тем больше вычеркнуто. Наименьшее по длине кратное 36 число, получаемое из 87621945, — это 72 (2 цифры), поэтому вычеркнуть можно 6 цифр.
Ответ: 6.
а) Из 971364582 получается 36, а 36 = 36·1.
б) Число, кратное 36, должно оканчиваться двумя последними цифрами, делящимися на 4, и сумма цифр кратна 9. Из записи 895416237 вычёркиванием получается 47 чисел с подходящим окончанием, и ни у одного из них сумма цифр не делится на 9.
в) Чем меньше цифр остаётся, тем больше вычеркнуто. Наименьшее по длине кратное 36 число, получаемое из 87621945, — это 72 (2 цифры), поэтому вычеркнуть можно 6 цифр.
Ответ: 6.
Пример 5
Из записи натурального числа вычёркивают несколько цифр (оставшиеся цифры сохраняют свой порядок) и получают новое натуральное число.
а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 738962541 так, чтобы получилось число, кратное 45?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 729568431 так, чтобы получилось число, кратное 45?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 78456319 так, чтобы получилось число, кратное 45?
а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 738962541 так, чтобы получилось число, кратное 45?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 729568431 так, чтобы получилось число, кратное 45?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 78456319 так, чтобы получилось число, кратное 45?
Показать ответ
а) да: например 765 = 45·17
б) нет: число, кратное 45, должно оканчиваться последней цифрой 5 или 0, и сумма цифр кратна 9. Из записи 729568431 вычёркиванием получается 8 чисел с подходящим окончанием, и ни у одного из них сумма цифр не делится на 9
в) 6; остаётся число 45 = 45·1
Решение
Вычёркивание цифр сохраняет порядок оставшихся, поэтому из числа с n цифрами получается одно из 2n − 2 чисел (кроме пустого и самого исходного).
а) Из 738962541 получается 765, а 765 = 45·17.
б) Число, кратное 45, должно оканчиваться последней цифрой 5 или 0, и сумма цифр кратна 9. Из записи 729568431 вычёркиванием получается 8 чисел с подходящим окончанием, и ни у одного из них сумма цифр не делится на 9.
в) Чем меньше цифр остаётся, тем больше вычеркнуто. Наименьшее по длине кратное 45 число, получаемое из 78456319, — это 45 (2 цифры), поэтому вычеркнуть можно 6 цифр.
Ответ: 6.
а) Из 738962541 получается 765, а 765 = 45·17.
б) Число, кратное 45, должно оканчиваться последней цифрой 5 или 0, и сумма цифр кратна 9. Из записи 729568431 вычёркиванием получается 8 чисел с подходящим окончанием, и ни у одного из них сумма цифр не делится на 9.
в) Чем меньше цифр остаётся, тем больше вычеркнуто. Наименьшее по длине кратное 45 число, получаемое из 78456319, — это 45 (2 цифры), поэтому вычеркнуть можно 6 цифр.
Ответ: 6.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.