x² + px + q = 0 с двумя натуральными корнями — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Алгебраическая теория чисел. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Квадратное уравнение x2 + px + q = 0 имеет два различных натуральных корня.
а) Пусть q = 60. Найдите все возможные значения p.
б) Пусть p + q = 19. Найдите все возможные значения q.
в) Пусть q2 − p2 = 55311. Найдите все возможные корни исходного уравнения.
а) Пусть q = 60. Найдите все возможные значения p.
б) Пусть p + q = 19. Найдите все возможные значения q.
в) Пусть q2 − p2 = 55311. Найдите все возможные корни исходного уравнения.
Показать ответ
а) −61, −32, −23, −19, −17 и −16 — им отвечают корни 1 и 60; 2 и 30; 3 и 20; 4 и 15; 5 и 12; 6 и 10 соответственно
б) 30, 33 и 42 — им отвечают корни 2 и 21; 3 и 11; 5 и 6 соответственно
в) 4 и 61; подходит уравнение с корнями 4 и 61
Решение
По теореме Виета корни u < v связаны с коэффициентами так: p = −(u + v), q = uv.
а) Из q = 60 следует uv = 60, то есть u и v — пара взаимно дополняющих делителей числа 60: 1·60, 2·30, 3·20, 4·15, 5·12 и 6·10. Значит p принимает значения −61, −32, −23, −19, −17 и −16.
б) Из p + q = 19 следует uv − u − v = 19, то есть (u − 1)(v − 1) = 20. Разложения числа 20 дают корни 2 и 21, 3 и 11 и 5 и 6, откуда q равно 30, 33 и 42.
в) Из q2 − p2 = 55311 следует (uv)2 − (u + v)2 = 55311; так как (uv)2 > 55311, произведение uv ограничено, и перебор даёт корни 4 и 61.
а) Из q = 60 следует uv = 60, то есть u и v — пара взаимно дополняющих делителей числа 60: 1·60, 2·30, 3·20, 4·15, 5·12 и 6·10. Значит p принимает значения −61, −32, −23, −19, −17 и −16.
б) Из p + q = 19 следует uv − u − v = 19, то есть (u − 1)(v − 1) = 20. Разложения числа 20 дают корни 2 и 21, 3 и 11 и 5 и 6, откуда q равно 30, 33 и 42.
в) Из q2 − p2 = 55311 следует (uv)2 − (u + v)2 = 55311; так как (uv)2 > 55311, произведение uv ограничено, и перебор даёт корни 4 и 61.
Пример 2
Квадратное уравнение x2 + px + q = 0 имеет два различных натуральных корня.
а) Пусть q = 18. Найдите все возможные значения p.
б) Пусть p + q = 39. Найдите все возможные значения q.
в) Пусть q2 − p2 = 9875. Найдите все возможные корни исходного уравнения.
а) Пусть q = 18. Найдите все возможные значения p.
б) Пусть p + q = 39. Найдите все возможные значения q.
в) Пусть q2 − p2 = 9875. Найдите все возможные корни исходного уравнения.
Показать ответ
а) −19, −11 и −9 — им отвечают корни 1 и 18; 2 и 9; 3 и 6 соответственно
б) 54, 55, 63 и 82 — им отвечают корни 2 и 41; 3 и 21; 5 и 11; 6 и 9 соответственно
в) 6 и 17; подходит уравнение с корнями 6 и 17
Решение
По теореме Виета корни u < v связаны с коэффициентами так: p = −(u + v), q = uv.
а) Из q = 18 следует uv = 18, то есть u и v — пара взаимно дополняющих делителей числа 18: 1·18, 2·9 и 3·6. Значит p принимает значения −19, −11 и −9.
б) Из p + q = 39 следует uv − u − v = 39, то есть (u − 1)(v − 1) = 40. Разложения числа 40 дают корни 2 и 41, 3 и 21, 5 и 11 и 6 и 9, откуда q равно 54, 55, 63 и 82.
в) Из q2 − p2 = 9875 следует (uv)2 − (u + v)2 = 9875; так как (uv)2 > 9875, произведение uv ограничено, и перебор даёт корни 6 и 17.
а) Из q = 18 следует uv = 18, то есть u и v — пара взаимно дополняющих делителей числа 18: 1·18, 2·9 и 3·6. Значит p принимает значения −19, −11 и −9.
б) Из p + q = 39 следует uv − u − v = 39, то есть (u − 1)(v − 1) = 40. Разложения числа 40 дают корни 2 и 41, 3 и 21, 5 и 11 и 6 и 9, откуда q равно 54, 55, 63 и 82.
в) Из q2 − p2 = 9875 следует (uv)2 − (u + v)2 = 9875; так как (uv)2 > 9875, произведение uv ограничено, и перебор даёт корни 6 и 17.
Пример 3
Квадратное уравнение x2 + px + q = 0 имеет два различных натуральных корня.
а) Пусть q = 42. Найдите все возможные значения p.
б) Пусть p + q = 34. Найдите все возможные значения q.
в) Пусть q2 − p2 = 22995. Найдите все возможные корни исходного уравнения.
а) Пусть q = 42. Найдите все возможные значения p.
б) Пусть p + q = 34. Найдите все возможные значения q.
в) Пусть q2 − p2 = 22995. Найдите все возможные корни исходного уравнения.
Показать ответ
а) −43, −23, −17 и −13 — им отвечают корни 1 и 42; 2 и 21; 3 и 14; 6 и 7 соответственно
б) 48 и 72 — им отвечают корни 2 и 36; 6 и 8 соответственно
в) 3 и 54; подходит уравнение с корнями 3 и 54
Решение
По теореме Виета корни u < v связаны с коэффициентами так: p = −(u + v), q = uv.
а) Из q = 42 следует uv = 42, то есть u и v — пара взаимно дополняющих делителей числа 42: 1·42, 2·21, 3·14 и 6·7. Значит p принимает значения −43, −23, −17 и −13.
б) Из p + q = 34 следует uv − u − v = 34, то есть (u − 1)(v − 1) = 35. Разложения числа 35 дают корни 2 и 36 и 6 и 8, откуда q равно 48 и 72.
в) Из q2 − p2 = 22995 следует (uv)2 − (u + v)2 = 22995; так как (uv)2 > 22995, произведение uv ограничено, и перебор даёт корни 3 и 54.
а) Из q = 42 следует uv = 42, то есть u и v — пара взаимно дополняющих делителей числа 42: 1·42, 2·21, 3·14 и 6·7. Значит p принимает значения −43, −23, −17 и −13.
б) Из p + q = 34 следует uv − u − v = 34, то есть (u − 1)(v − 1) = 35. Разложения числа 35 дают корни 2 и 36 и 6 и 8, откуда q равно 48 и 72.
в) Из q2 − p2 = 22995 следует (uv)2 − (u + v)2 = 22995; так как (uv)2 > 22995, произведение uv ограничено, и перебор даёт корни 3 и 54.
Пример 4
Квадратное уравнение x2 + px + q = 0 имеет два различных натуральных корня.
а) Пусть q = 60. Найдите все возможные значения p.
б) Пусть p + q = 22. Найдите все возможные значения q.
в) Пусть q2 − p2 = 19136. Найдите все возможные корни исходного уравнения.
а) Пусть q = 60. Найдите все возможные значения p.
б) Пусть p + q = 22. Найдите все возможные значения q.
в) Пусть q2 − p2 = 19136. Найдите все возможные корни исходного уравнения.
Показать ответ
а) −61, −32, −23, −19, −17 и −16 — им отвечают корни 1 и 60; 2 и 30; 3 и 20; 4 и 15; 5 и 12; 6 и 10 соответственно
б) 48 — им отвечают корни 2 и 24 соответственно
в) 4 и 36; подходит уравнение с корнями 4 и 36
Решение
По теореме Виета корни u < v связаны с коэффициентами так: p = −(u + v), q = uv.
а) Из q = 60 следует uv = 60, то есть u и v — пара взаимно дополняющих делителей числа 60: 1·60, 2·30, 3·20, 4·15, 5·12 и 6·10. Значит p принимает значения −61, −32, −23, −19, −17 и −16.
б) Из p + q = 22 следует uv − u − v = 22, то есть (u − 1)(v − 1) = 23. Разложения числа 23 дают корни 2 и 24, откуда q равно 48.
в) Из q2 − p2 = 19136 следует (uv)2 − (u + v)2 = 19136; так как (uv)2 > 19136, произведение uv ограничено, и перебор даёт корни 4 и 36.
а) Из q = 60 следует uv = 60, то есть u и v — пара взаимно дополняющих делителей числа 60: 1·60, 2·30, 3·20, 4·15, 5·12 и 6·10. Значит p принимает значения −61, −32, −23, −19, −17 и −16.
б) Из p + q = 22 следует uv − u − v = 22, то есть (u − 1)(v − 1) = 23. Разложения числа 23 дают корни 2 и 24, откуда q равно 48.
в) Из q2 − p2 = 19136 следует (uv)2 − (u + v)2 = 19136; так как (uv)2 > 19136, произведение uv ограничено, и перебор даёт корни 4 и 36.
Пример 5
Квадратное уравнение x2 + px + q = 0 имеет два различных натуральных корня.
а) Пусть q = 30. Найдите все возможные значения p.
б) Пусть p + q = 29. Найдите все возможные значения q.
в) Пусть q2 − p2 = 5243. Найдите все возможные корни исходного уравнения.
а) Пусть q = 30. Найдите все возможные значения p.
б) Пусть p + q = 29. Найдите все возможные значения q.
в) Пусть q2 − p2 = 5243. Найдите все возможные корни исходного уравнения.
Показать ответ
а) −31, −17, −13 и −11 — им отвечают корни 1 и 30; 2 и 15; 3 и 10; 5 и 6 соответственно
б) 42, 44, 48 и 62 — им отвечают корни 2 и 31; 3 и 16; 4 и 11; 6 и 7 соответственно
в) 3 и 26; подходит уравнение с корнями 3 и 26
Решение
По теореме Виета корни u < v связаны с коэффициентами так: p = −(u + v), q = uv.
а) Из q = 30 следует uv = 30, то есть u и v — пара взаимно дополняющих делителей числа 30: 1·30, 2·15, 3·10 и 5·6. Значит p принимает значения −31, −17, −13 и −11.
б) Из p + q = 29 следует uv − u − v = 29, то есть (u − 1)(v − 1) = 30. Разложения числа 30 дают корни 2 и 31, 3 и 16, 4 и 11 и 6 и 7, откуда q равно 42, 44, 48 и 62.
в) Из q2 − p2 = 5243 следует (uv)2 − (u + v)2 = 5243; так как (uv)2 > 5243, произведение uv ограничено, и перебор даёт корни 3 и 26.
а) Из q = 30 следует uv = 30, то есть u и v — пара взаимно дополняющих делителей числа 30: 1·30, 2·15, 3·10 и 5·6. Значит p принимает значения −31, −17, −13 и −11.
б) Из p + q = 29 следует uv − u − v = 29, то есть (u − 1)(v − 1) = 30. Разложения числа 30 дают корни 2 и 31, 3 и 16, 4 и 11 и 6 и 7, откуда q равно 42, 44, 48 и 62.
в) Из q2 − p2 = 5243 следует (uv)2 − (u + v)2 = 5243; так как (uv)2 > 5243, произведение uv ограничено, и перебор даёт корни 3 и 26.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.