Ящик фруктов: наибольшая масса фрукта — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Средние в контейнере. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В ящике лежит 95 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 75 граммов. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 118 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 9 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 9 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Показать ответ
а) нет: если лёгких a, а тяжёлых b, то 25a = 18b, то есть a : b = 18 : 25. Равенство a = b возможно лишь при a = b = 0, но тогда все фрукты весят по 100 г и различных масс в ящике нет
б) нет: из a : b = 18 : 25 следует a = 18t и b = 25t, поэтому фруктов ровно по 100 г остаётся 95 − 43t. Так как 43t ≤ 95, получаем t ≤ 2 и таких фруктов не меньше 9
в) 951; например 36 фруктов по 75 г, 49 по 101 г, один в 951 г и 9 по 100 г
Решение
Пусть в ящике a фруктов легче 100 г, b фруктов тяжелее 100 г и c = 95 − a − b ровно по 100 г. Тогда
75a + 118b + 100c = 9500, откуда 25a = 18b, то есть a : b = 18 : 25, a = 18t, b = 25t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все фрукты весят по 100 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество фруктов ровно по 100 г равно 95 − 43t, где t ≤ 2.
в) Суммарная масса тяжёлых фруктов равна 118b, каждый из них весит не меньше 101 г, поэтому один может весить не больше 118b − 101(b − 1). Это выражение растёт по b, а b = 25t ≤ 50. При t = 2 получаем 951 г.
Ответ: 951.
75a + 118b + 100c = 9500, откуда 25a = 18b, то есть a : b = 18 : 25, a = 18t, b = 25t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все фрукты весят по 100 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество фруктов ровно по 100 г равно 95 − 43t, где t ≤ 2.
в) Суммарная масса тяжёлых фруктов равна 118b, каждый из них весит не меньше 101 г, поэтому один может весить не больше 118b − 101(b − 1). Это выражение растёт по b, а b = 25t ≤ 50. При t = 2 получаем 951 г.
Ответ: 951.
Пример 2
В ящике лежит 95 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 73 грамма. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 112 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 4 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 4 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Показать ответ
а) нет: если лёгких a, а тяжёлых b, то 27a = 12b, то есть a : b = 4 : 9. Равенство a = b возможно лишь при a = b = 0, но тогда все фрукты весят по 100 г и различных масс в ящике нет
б) нет: из a : b = 4 : 9 следует a = 4t и b = 9t, поэтому фруктов ровно по 100 г остаётся 95 − 13t. Так как 13t ≤ 95, получаем t ≤ 7 и таких фруктов не меньше 4
в) 794; например 28 фруктов по 73 г, 62 по 101 г, один в 794 г и 4 по 100 г
Решение
Пусть в ящике a фруктов легче 100 г, b фруктов тяжелее 100 г и c = 95 − a − b ровно по 100 г. Тогда
73a + 112b + 100c = 9500, откуда 27a = 12b, то есть a : b = 4 : 9, a = 4t, b = 9t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все фрукты весят по 100 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество фруктов ровно по 100 г равно 95 − 13t, где t ≤ 7.
в) Суммарная масса тяжёлых фруктов равна 112b, каждый из них весит не меньше 101 г, поэтому один может весить не больше 112b − 101(b − 1). Это выражение растёт по b, а b = 9t ≤ 63. При t = 7 получаем 794 г.
Ответ: 794.
73a + 112b + 100c = 9500, откуда 27a = 12b, то есть a : b = 4 : 9, a = 4t, b = 9t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все фрукты весят по 100 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество фруктов ровно по 100 г равно 95 − 13t, где t ≤ 7.
в) Суммарная масса тяжёлых фруктов равна 112b, каждый из них весит не меньше 101 г, поэтому один может весить не больше 112b − 101(b − 1). Это выражение растёт по b, а b = 9t ≤ 63. При t = 7 получаем 794 г.
Ответ: 794.
Пример 3
В ящике лежит 110 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 75 граммов. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 112 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 36 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 36 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Показать ответ
а) нет: если лёгких a, а тяжёлых b, то 25a = 12b, то есть a : b = 12 : 25. Равенство a = b возможно лишь при a = b = 0, но тогда все фрукты весят по 100 г и различных масс в ящике нет
б) нет: из a : b = 12 : 25 следует a = 12t и b = 25t, поэтому фруктов ровно по 100 г остаётся 110 − 37t. Так как 37t ≤ 110, получаем t ≤ 2 и таких фруктов не меньше 36
в) 651; например 24 фруктов по 75 г, 49 по 101 г, один в 651 г и 36 по 100 г
Решение
Пусть в ящике a фруктов легче 100 г, b фруктов тяжелее 100 г и c = 110 − a − b ровно по 100 г. Тогда
75a + 112b + 100c = 11000, откуда 25a = 12b, то есть a : b = 12 : 25, a = 12t, b = 25t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все фрукты весят по 100 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество фруктов ровно по 100 г равно 110 − 37t, где t ≤ 2.
в) Суммарная масса тяжёлых фруктов равна 112b, каждый из них весит не меньше 101 г, поэтому один может весить не больше 112b − 101(b − 1). Это выражение растёт по b, а b = 25t ≤ 50. При t = 2 получаем 651 г.
Ответ: 651.
75a + 112b + 100c = 11000, откуда 25a = 12b, то есть a : b = 12 : 25, a = 12t, b = 25t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все фрукты весят по 100 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество фруктов ровно по 100 г равно 110 − 37t, где t ≤ 2.
в) Суммарная масса тяжёлых фруктов равна 112b, каждый из них весит не меньше 101 г, поэтому один может весить не больше 112b − 101(b − 1). Это выражение растёт по b, а b = 25t ≤ 50. При t = 2 получаем 651 г.
Ответ: 651.
Пример 4
В ящике лежит 120 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 75 граммов. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 112 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 9 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 9 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Показать ответ
а) нет: если лёгких a, а тяжёлых b, то 25a = 12b, то есть a : b = 12 : 25. Равенство a = b возможно лишь при a = b = 0, но тогда все фрукты весят по 100 г и различных масс в ящике нет
б) нет: из a : b = 12 : 25 следует a = 12t и b = 25t, поэтому фруктов ровно по 100 г остаётся 120 − 37t. Так как 37t ≤ 120, получаем t ≤ 3 и таких фруктов не меньше 9
в) 926; например 36 фруктов по 75 г, 74 по 101 г, один в 926 г и 9 по 100 г
Решение
Пусть в ящике a фруктов легче 100 г, b фруктов тяжелее 100 г и c = 120 − a − b ровно по 100 г. Тогда
75a + 112b + 100c = 12000, откуда 25a = 12b, то есть a : b = 12 : 25, a = 12t, b = 25t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все фрукты весят по 100 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество фруктов ровно по 100 г равно 120 − 37t, где t ≤ 3.
в) Суммарная масса тяжёлых фруктов равна 112b, каждый из них весит не меньше 101 г, поэтому один может весить не больше 112b − 101(b − 1). Это выражение растёт по b, а b = 25t ≤ 75. При t = 3 получаем 926 г.
Ответ: 926.
75a + 112b + 100c = 12000, откуда 25a = 12b, то есть a : b = 12 : 25, a = 12t, b = 25t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все фрукты весят по 100 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество фруктов ровно по 100 г равно 120 − 37t, где t ≤ 3.
в) Суммарная масса тяжёлых фруктов равна 112b, каждый из них весит не меньше 101 г, поэтому один может весить не больше 112b − 101(b − 1). Это выражение растёт по b, а b = 25t ≤ 75. При t = 3 получаем 926 г.
Ответ: 926.
Пример 5
В ящике лежит 120 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 75 граммов. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 118 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 34 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 34 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Показать ответ
а) нет: если лёгких a, а тяжёлых b, то 25a = 18b, то есть a : b = 18 : 25. Равенство a = b возможно лишь при a = b = 0, но тогда все фрукты весят по 100 г и различных масс в ящике нет
б) нет: из a : b = 18 : 25 следует a = 18t и b = 25t, поэтому фруктов ровно по 100 г остаётся 120 − 43t. Так как 43t ≤ 120, получаем t ≤ 2 и таких фруктов не меньше 34
в) 951; например 36 фруктов по 75 г, 49 по 101 г, один в 951 г и 34 по 100 г
Решение
Пусть в ящике a фруктов легче 100 г, b фруктов тяжелее 100 г и c = 120 − a − b ровно по 100 г. Тогда
75a + 118b + 100c = 12000, откуда 25a = 18b, то есть a : b = 18 : 25, a = 18t, b = 25t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все фрукты весят по 100 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество фруктов ровно по 100 г равно 120 − 43t, где t ≤ 2.
в) Суммарная масса тяжёлых фруктов равна 118b, каждый из них весит не меньше 101 г, поэтому один может весить не больше 118b − 101(b − 1). Это выражение растёт по b, а b = 25t ≤ 50. При t = 2 получаем 951 г.
Ответ: 951.
75a + 118b + 100c = 12000, откуда 25a = 18b, то есть a : b = 18 : 25, a = 18t, b = 25t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все фрукты весят по 100 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество фруктов ровно по 100 г равно 120 − 43t, где t ≤ 2.
в) Суммарная масса тяжёлых фруктов равна 118b, каждый из них весит не меньше 101 г, поэтому один может весить не больше 118b − 101(b − 1). Это выражение растёт по b, а b = 25t ≤ 50. При t = 2 получаем 951 г.
Ответ: 951.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.