Ящик овощей: наименьшая масса овоща — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Средние в контейнере. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В ящике лежит 70 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 982 грамма. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1032 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 21 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 21 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Показать ответ
а) нет: если лёгких a, а тяжёлых b, то 18a = 32b, то есть a : b = 16 : 9. Равенство a = b возможно лишь при a = b = 0, но тогда все овощи весят по 1000 г и различных масс в ящике нет
б) нет: из a : b = 16 : 9 следует a = 16t и b = 9t, поэтому овощей ровно по 1000 г остаётся 70 − 25t. Число 21 такого вида не имеет: 70 − 21 = 49 не делится на 25
в) 455; например один овощ в 455 г, 31 по 999 г, 18 по 1032 г и 20 по 1000 г
Решение
Пусть в ящике a овощей легче 1000 г, b овощей тяжелее 1000 г и c = 70 − a − b ровно по 1000 г. Тогда
982a + 1032b + 1000c = 70000, откуда 18a = 32b, то есть a : b = 16 : 9, a = 16t, b = 9t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все овощи весят по 1000 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество овощей ровно по 1000 г равно 70 − 25t, где t ≤ 2.
в) Суммарная масса лёгких овощей равна 982a, каждый из них весит не больше 999 г, поэтому один может весить не меньше 982a − 999(a − 1). Это выражение убывает по a, а a = 16t ≤ 32. При t = 2 получаем 455 г.
Ответ: 455.
982a + 1032b + 1000c = 70000, откуда 18a = 32b, то есть a : b = 16 : 9, a = 16t, b = 9t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все овощи весят по 1000 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество овощей ровно по 1000 г равно 70 − 25t, где t ≤ 2.
в) Суммарная масса лёгких овощей равна 982a, каждый из них весит не больше 999 г, поэтому один может весить не меньше 982a − 999(a − 1). Это выражение убывает по a, а a = 16t ≤ 32. При t = 2 получаем 455 г.
Ответ: 455.
Пример 2
В ящике лежит 70 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 976 граммов. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1030 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 8 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 8 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Показать ответ
а) нет: если лёгких a, а тяжёлых b, то 24a = 30b, то есть a : b = 5 : 4. Равенство a = b возможно лишь при a = b = 0, но тогда все овощи весят по 1000 г и различных масс в ящике нет
б) нет: из a : b = 5 : 4 следует a = 5t и b = 4t, поэтому овощей ровно по 1000 г остаётся 70 − 9t. Число 8 такого вида не имеет: 70 − 8 = 62 не делится на 9
в) 194; например один овощ в 194 г, 34 по 999 г, 28 по 1030 г и 7 по 1000 г
Решение
Пусть в ящике a овощей легче 1000 г, b овощей тяжелее 1000 г и c = 70 − a − b ровно по 1000 г. Тогда
976a + 1030b + 1000c = 70000, откуда 24a = 30b, то есть a : b = 5 : 4, a = 5t, b = 4t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все овощи весят по 1000 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество овощей ровно по 1000 г равно 70 − 9t, где t ≤ 7.
в) Суммарная масса лёгких овощей равна 976a, каждый из них весит не больше 999 г, поэтому один может весить не меньше 976a − 999(a − 1). Это выражение убывает по a, а a = 5t ≤ 35. При t = 7 получаем 194 г.
Ответ: 194.
976a + 1030b + 1000c = 70000, откуда 24a = 30b, то есть a : b = 5 : 4, a = 5t, b = 4t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все овощи весят по 1000 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество овощей ровно по 1000 г равно 70 − 9t, где t ≤ 7.
в) Суммарная масса лёгких овощей равна 976a, каждый из них весит не больше 999 г, поэтому один может весить не меньше 976a − 999(a − 1). Это выражение убывает по a, а a = 5t ≤ 35. При t = 7 получаем 194 г.
Ответ: 194.
Пример 3
В ящике лежит 65 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 980 граммов. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1024 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Показать ответ
а) нет: если лёгких a, а тяжёлых b, то 20a = 24b, то есть a : b = 6 : 5. Равенство a = b возможно лишь при a = b = 0, но тогда все овощи весят по 1000 г и различных масс в ящике нет
б) нет: из a : b = 6 : 5 следует a = 6t и b = 5t, поэтому овощей ровно по 1000 г остаётся 65 − 11t. Число 11 такого вида не имеет: 65 − 11 = 54 не делится на 11
в) 429; например один овощ в 429 г, 29 по 999 г, 25 по 1024 г и 10 по 1000 г
Решение
Пусть в ящике a овощей легче 1000 г, b овощей тяжелее 1000 г и c = 65 − a − b ровно по 1000 г. Тогда
980a + 1024b + 1000c = 65000, откуда 20a = 24b, то есть a : b = 6 : 5, a = 6t, b = 5t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все овощи весят по 1000 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество овощей ровно по 1000 г равно 65 − 11t, где t ≤ 5.
в) Суммарная масса лёгких овощей равна 980a, каждый из них весит не больше 999 г, поэтому один может весить не меньше 980a − 999(a − 1). Это выражение убывает по a, а a = 6t ≤ 30. При t = 5 получаем 429 г.
Ответ: 429.
980a + 1024b + 1000c = 65000, откуда 20a = 24b, то есть a : b = 6 : 5, a = 6t, b = 5t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все овощи весят по 1000 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество овощей ровно по 1000 г равно 65 − 11t, где t ≤ 5.
в) Суммарная масса лёгких овощей равна 980a, каждый из них весит не больше 999 г, поэтому один может весить не меньше 980a − 999(a − 1). Это выражение убывает по a, а a = 6t ≤ 30. При t = 5 получаем 429 г.
Ответ: 429.
Пример 4
В ящике лежит 75 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 980 граммов. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1032 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Показать ответ
а) нет: если лёгких a, а тяжёлых b, то 20a = 32b, то есть a : b = 8 : 5. Равенство a = b возможно лишь при a = b = 0, но тогда все овощи весят по 1000 г и различных масс в ящике нет
б) нет: из a : b = 8 : 5 следует a = 8t и b = 5t, поэтому овощей ровно по 1000 г остаётся 75 − 13t. Число 11 такого вида не имеет: 75 − 11 = 64 не делится на 13
в) 239; например один овощ в 239 г, 39 по 999 г, 25 по 1032 г и 10 по 1000 г
Решение
Пусть в ящике a овощей легче 1000 г, b овощей тяжелее 1000 г и c = 75 − a − b ровно по 1000 г. Тогда
980a + 1032b + 1000c = 75000, откуда 20a = 32b, то есть a : b = 8 : 5, a = 8t, b = 5t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все овощи весят по 1000 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество овощей ровно по 1000 г равно 75 − 13t, где t ≤ 5.
в) Суммарная масса лёгких овощей равна 980a, каждый из них весит не больше 999 г, поэтому один может весить не меньше 980a − 999(a − 1). Это выражение убывает по a, а a = 8t ≤ 40. При t = 5 получаем 239 г.
Ответ: 239.
980a + 1032b + 1000c = 75000, откуда 20a = 32b, то есть a : b = 8 : 5, a = 8t, b = 5t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все овощи весят по 1000 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество овощей ровно по 1000 г равно 75 − 13t, где t ≤ 5.
в) Суммарная масса лёгких овощей равна 980a, каждый из них весит не больше 999 г, поэтому один может весить не меньше 980a − 999(a − 1). Это выражение убывает по a, а a = 8t ≤ 40. При t = 5 получаем 239 г.
Ответ: 239.
Пример 5
В ящике лежит 75 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 982 грамма. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1024 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 6 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 6 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Показать ответ
а) нет: если лёгких a, а тяжёлых b, то 18a = 24b, то есть a : b = 4 : 3. Равенство a = b возможно лишь при a = b = 0, но тогда все овощи весят по 1000 г и различных масс в ящике нет
б) нет: из a : b = 4 : 3 следует a = 4t и b = 3t, поэтому овощей ровно по 1000 г остаётся 75 − 7t. Число 6 такого вида не имеет: 75 − 6 = 69 не делится на 7
в) 319; например один овощ в 319 г, 39 по 999 г, 30 по 1024 г и 5 по 1000 г
Решение
Пусть в ящике a овощей легче 1000 г, b овощей тяжелее 1000 г и c = 75 − a − b ровно по 1000 г. Тогда
982a + 1024b + 1000c = 75000, откуда 18a = 24b, то есть a : b = 4 : 3, a = 4t, b = 3t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все овощи весят по 1000 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество овощей ровно по 1000 г равно 75 − 7t, где t ≤ 10.
в) Суммарная масса лёгких овощей равна 982a, каждый из них весит не больше 999 г, поэтому один может весить не меньше 982a − 999(a − 1). Это выражение убывает по a, а a = 4t ≤ 40. При t = 10 получаем 319 г.
Ответ: 319.
982a + 1024b + 1000c = 75000, откуда 18a = 24b, то есть a : b = 4 : 3, a = 4t, b = 3t.
а) Равенство a = b означало бы t = 0, то есть все овощи весят по 1000 г — но в ящике есть предметы различной массы.
б) Количество овощей ровно по 1000 г равно 75 − 7t, где t ≤ 10.
в) Суммарная масса лёгких овощей равна 982a, каждый из них весит не больше 999 г, поэтому один может весить не меньше 982a − 999(a − 1). Это выражение убывает по a, а a = 4t ≤ 40. При t = 10 получаем 319 г.
Ответ: 319.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.