Запись только из цифр d и d+5: наименьшее количество при сумме — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Доска: набор чисел с ограничением на сумму. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Даны различные натуральные числа, запись которых содержит цифры 4 и 9, либо только одну из этих цифр.
а) Может ли сумма всех чисел быть равной 591?
б) Может ли сумма всех чисел быть равной 21?
в) Какое наименьшее количество чисел могло быть, сумма которых равна 646?
а) Может ли сумма всех чисел быть равной 591?
б) Может ли сумма всех чисел быть равной 21?
в) Какое наименьшее количество чисел могло быть, сумма которых равна 646?
Показать ответ
а) да, например 4, 44, 94 и 449
б) нет: каждое такое число даёт остаток 4 при делении на 5, поэтому сумма k чисел сравнима с 4k по модулю 5; для суммы 21 это даёт k ≡ 4 (mod 5), а сумма 4 наименьших подходящих чисел равна уже 106 > 21
в) 4; пример: 9, 94, 99 и 444; меньше нельзя — сумма k чисел сравнима с k·4 по модулю 5, поэтому количество слагаемых сравнимо с 4 по модулю 5, а 4 — наименьшее натуральное с таким остатком
Решение
Каждое число, записанное только цифрами 4 и 9, оканчивается на 4 или 9; обе цифры дают остаток 4 при делении на 5, а десятки, сотни и т. д. кратны 5. Значит каждое такое число сравнимо с 4 по модулю 5, а сумма k чисел — с k·4.
Отсюда количество слагаемых определено по модулю 5. Для суммы 646 это даёт k ≡ 4 (mod 5); наименьшее натуральное с таким остатком равно 4, и оно достигается: 9, 94, 99 и 444.
Для суммы 21 требуется 4 слагаемых, но 4 наименьших подходящих числа дают уже 106 > 21, а 9 и подавно.
Отсюда количество слагаемых определено по модулю 5. Для суммы 646 это даёт k ≡ 4 (mod 5); наименьшее натуральное с таким остатком равно 4, и оно достигается: 9, 94, 99 и 444.
Для суммы 21 требуется 4 слагаемых, но 4 наименьших подходящих числа дают уже 106 > 21, а 9 и подавно.
Пример 2
Даны различные натуральные числа, запись которых содержит цифры 1 и 6, либо только одну из этих цифр.
а) Может ли сумма всех чисел быть равной 27?
б) Может ли сумма всех чисел быть равной 2?
в) Какое наименьшее количество чисел могло быть, сумма которых равна 355?
а) Может ли сумма всех чисел быть равной 27?
б) Может ли сумма всех чисел быть равной 2?
в) Какое наименьшее количество чисел могло быть, сумма которых равна 355?
Показать ответ
а) да, например 11 и 16
б) нет: каждое такое число даёт остаток 1 при делении на 5, поэтому сумма k чисел сравнима с k по модулю 5; для суммы 2 это даёт k ≡ 2 (mod 5), а сумма 2 наименьших подходящих чисел равна уже 7 > 2
в) 5; пример: 1, 16, 61, 111 и 166; меньше нельзя — сумма k чисел сравнима с k·1 по модулю 5, поэтому количество слагаемых сравнимо с 5 по модулю 5, а 5 — наименьшее натуральное с таким остатком
Решение
Каждое число, записанное только цифрами 1 и 6, оканчивается на 1 или 6; обе цифры дают остаток 1 при делении на 5, а десятки, сотни и т. д. кратны 5. Значит каждое такое число сравнимо с 1 по модулю 5, а сумма k чисел — с k·1.
Отсюда количество слагаемых определено по модулю 5. Для суммы 355 это даёт k ≡ 0 (mod 5); наименьшее натуральное с таким остатком равно 5, и оно достигается: 1, 16, 61, 111 и 166.
Для суммы 2 требуется 2 слагаемых, но 2 наименьших подходящих числа дают уже 7 > 2, а 7 и подавно.
Отсюда количество слагаемых определено по модулю 5. Для суммы 355 это даёт k ≡ 0 (mod 5); наименьшее натуральное с таким остатком равно 5, и оно достигается: 1, 16, 61, 111 и 166.
Для суммы 2 требуется 2 слагаемых, но 2 наименьших подходящих числа дают уже 7 > 2, а 7 и подавно.
Пример 3
Даны различные натуральные числа, запись которых содержит цифры 3 и 8, либо только одну из этих цифр.
а) Может ли сумма всех чисел быть равной 542?
б) Может ли сумма всех чисел быть равной 6?
в) Какое наименьшее количество чисел могло быть, сумма которых равна 1150?
а) Может ли сумма всех чисел быть равной 542?
б) Может ли сумма всех чисел быть равной 6?
в) Какое наименьшее количество чисел могло быть, сумма которых равна 1150?
Показать ответ
а) да, например 33, 38, 88 и 383
б) нет: каждое такое число даёт остаток 3 при делении на 5, поэтому сумма k чисел сравнима с 3k по модулю 5; для суммы 6 это даёт k ≡ 2 (mod 5), а сумма 2 наименьших подходящих чисел равна уже 11 > 6
в) 5; пример: 3, 88, 333, 338 и 388; меньше нельзя — сумма k чисел сравнима с k·3 по модулю 5, поэтому количество слагаемых сравнимо с 5 по модулю 5, а 5 — наименьшее натуральное с таким остатком
Решение
Каждое число, записанное только цифрами 3 и 8, оканчивается на 3 или 8; обе цифры дают остаток 3 при делении на 5, а десятки, сотни и т. д. кратны 5. Значит каждое такое число сравнимо с 3 по модулю 5, а сумма k чисел — с k·3.
Отсюда количество слагаемых определено по модулю 5. Для суммы 1150 это даёт k ≡ 0 (mod 5); наименьшее натуральное с таким остатком равно 5, и оно достигается: 3, 88, 333, 338 и 388.
Для суммы 6 требуется 2 слагаемых, но 2 наименьших подходящих числа дают уже 11 > 6, а 7 и подавно.
Отсюда количество слагаемых определено по модулю 5. Для суммы 1150 это даёт k ≡ 0 (mod 5); наименьшее натуральное с таким остатком равно 5, и оно достигается: 3, 88, 333, 338 и 388.
Для суммы 6 требуется 2 слагаемых, но 2 наименьших подходящих числа дают уже 11 > 6, а 7 и подавно.
Пример 4
Даны различные натуральные числа, запись которых содержит цифры 4 и 9, либо только одну из этих цифр.
а) Может ли сумма всех чисел быть равной 552?
б) Может ли сумма всех чисел быть равной 51?
в) Какое наименьшее количество чисел могло быть, сумма которых равна 641?
а) Может ли сумма всех чисел быть равной 552?
б) Может ли сумма всех чисел быть равной 51?
в) Какое наименьшее количество чисел могло быть, сумма которых равна 641?
Показать ответ
а) да, например 4, 99 и 449
б) нет: каждое такое число даёт остаток 4 при делении на 5, поэтому сумма k чисел сравнима с 4k по модулю 5; для суммы 51 это даёт k ≡ 4 (mod 5), а сумма 4 наименьших подходящих чисел равна уже 106 > 51
в) 4; пример: 4, 94, 99 и 444; меньше нельзя — сумма k чисел сравнима с k·4 по модулю 5, поэтому количество слагаемых сравнимо с 4 по модулю 5, а 4 — наименьшее натуральное с таким остатком
Решение
Каждое число, записанное только цифрами 4 и 9, оканчивается на 4 или 9; обе цифры дают остаток 4 при делении на 5, а десятки, сотни и т. д. кратны 5. Значит каждое такое число сравнимо с 4 по модулю 5, а сумма k чисел — с k·4.
Отсюда количество слагаемых определено по модулю 5. Для суммы 641 это даёт k ≡ 4 (mod 5); наименьшее натуральное с таким остатком равно 4, и оно достигается: 4, 94, 99 и 444.
Для суммы 51 требуется 4 слагаемых, но 4 наименьших подходящих числа дают уже 106 > 51, а 9 и подавно.
Отсюда количество слагаемых определено по модулю 5. Для суммы 641 это даёт k ≡ 4 (mod 5); наименьшее натуральное с таким остатком равно 4, и оно достигается: 4, 94, 99 и 444.
Для суммы 51 требуется 4 слагаемых, но 4 наименьших подходящих числа дают уже 106 > 51, а 9 и подавно.
Пример 5
Даны различные натуральные числа, запись которых содержит цифры 2 и 7, либо только одну из этих цифр.
а) Может ли сумма всех чисел быть равной 24?
б) Может ли сумма всех чисел быть равной 13?
в) Какое наименьшее количество чисел могло быть, сумма которых равна 346?
а) Может ли сумма всех чисел быть равной 24?
б) Может ли сумма всех чисел быть равной 13?
в) Какое наименьшее количество чисел могло быть, сумма которых равна 346?
Показать ответ
а) да, например 2 и 22
б) нет: каждое такое число даёт остаток 2 при делении на 5, поэтому сумма k чисел сравнима с 2k по модулю 5; для суммы 13 это даёт k ≡ 4 (mod 5), а сумма 4 наименьших подходящих чисел равна уже 58 > 13
в) 3; пример: 2, 72 и 272; меньше нельзя — сумма k чисел сравнима с k·2 по модулю 5, поэтому количество слагаемых сравнимо с 3 по модулю 5, а 3 — наименьшее натуральное с таким остатком
Решение
Каждое число, записанное только цифрами 2 и 7, оканчивается на 2 или 7; обе цифры дают остаток 2 при делении на 5, а десятки, сотни и т. д. кратны 5. Значит каждое такое число сравнимо с 2 по модулю 5, а сумма k чисел — с k·2.
Отсюда количество слагаемых определено по модулю 5. Для суммы 346 это даёт k ≡ 3 (mod 5); наименьшее натуральное с таким остатком равно 3, и оно достигается: 2, 72 и 272.
Для суммы 13 требуется 4 слагаемых, но 4 наименьших подходящих числа дают уже 58 > 13, а 9 и подавно.
Отсюда количество слагаемых определено по модулю 5. Для суммы 346 это даёт k ≡ 3 (mod 5); наименьшее натуральное с таким остатком равно 3, и оно достигается: 2, 72 и 272.
Для суммы 13 требуется 4 слагаемых, но 4 наименьших подходящих числа дают уже 58 > 13, а 9 и подавно.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.