Звёзды и заряд: число уровней и наибольшие очки — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Сюжетные задачи с перебором. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 9 пунктов при получении трёх звёзд, на 12 пунктов при получении двух звёзд и на 15 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.
а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 50 пунктов?
б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 96 пунктов и суммарно было получено 16 звёзд?
в) За пройденный уровень начисляется 7000 очков при получении трёх звёзд, 6000 — при получении двух звёзд и 3000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 96 пунктов и суммарно было получено 16 звёзд?
а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 50 пунктов?
б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 96 пунктов и суммарно было получено 16 звёзд?
в) За пройденный уровень начисляется 7000 очков при получении трёх звёзд, 6000 — при получении двух звёзд и 3000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 96 пунктов и суммарно было получено 16 звёзд?
Показать ответ
а) нет: все три расхода заряда (9, 12 и 15) делятся на 3, поэтому и общий расход делится на 3, а 50 на 3 не делится
б) 8: из 9x + 12y + 15z = 96 и 3x + 2y + z = 16 следует, что число уровней x + y + z равно 8 при каждом решении (их 5: 8 уровней на две звезды; 1 уровень на три звезды, 6 уровней на две звезды, 1 уровень на одну звезду; 2 уровня на три звезды, 4 уровня на две звезды, 2 уровня на одну звезду; 3 уровня на три звезды, 2 уровня на две звезды, 3 уровня на одну звезду; 4 уровня на три звезды, 4 уровня на одну звезду)
в) 48000; достигается, когда 8 уровней на две звезды
Решение
Пусть уровней на три звезды x, на две звезды y и на одну звезду z. Тогда
9x + 12y + 15z = C и 3x + 2y + z = S.
а) Все коэффициенты 9, 12, 15 кратны 3, поэтому расход заряда кратен 3; число 50 не кратно 3, значит так уменьшиться заряд не мог.
б) При C = 96 и S = 16 система имеет 5 решений: 8 уровней на две звезды; 1 уровень на три звезды, 6 уровней на две звезды, 1 уровень на одну звезду; 2 уровня на три звезды, 4 уровня на две звезды, 2 уровня на одну звезду; 3 уровня на три звезды, 2 уровня на две звезды, 3 уровня на одну звезду; 4 уровня на три звезды, 4 уровня на одну звезду. Во всех случаях уровней ровно 8.
в) Очки равны 7000x + 6000y + 3000z; перебирая те же решения, получаем наибольшее значение 48000 (8 уровней на две звезды).
Ответ: 8; 48000.
9x + 12y + 15z = C и 3x + 2y + z = S.
а) Все коэффициенты 9, 12, 15 кратны 3, поэтому расход заряда кратен 3; число 50 не кратно 3, значит так уменьшиться заряд не мог.
б) При C = 96 и S = 16 система имеет 5 решений: 8 уровней на две звезды; 1 уровень на три звезды, 6 уровней на две звезды, 1 уровень на одну звезду; 2 уровня на три звезды, 4 уровня на две звезды, 2 уровня на одну звезду; 3 уровня на три звезды, 2 уровня на две звезды, 3 уровня на одну звезду; 4 уровня на три звезды, 4 уровня на одну звезду. Во всех случаях уровней ровно 8.
в) Очки равны 7000x + 6000y + 3000z; перебирая те же решения, получаем наибольшее значение 48000 (8 уровней на две звезды).
Ответ: 8; 48000.
Пример 2
За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 9 пунктов при получении трёх звёзд, на 12 пунктов при получении двух звёзд и на 15 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.
а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 65 пунктов?
б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 84 пунктов и суммарно было получено 14 звёзд?
в) За пройденный уровень начисляется 7000 очков при получении трёх звёзд, 6000 — при получении двух звёзд и 3000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 84 пунктов и суммарно было получено 14 звёзд?
а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 65 пунктов?
б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 84 пунктов и суммарно было получено 14 звёзд?
в) За пройденный уровень начисляется 7000 очков при получении трёх звёзд, 6000 — при получении двух звёзд и 3000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 84 пунктов и суммарно было получено 14 звёзд?
Показать ответ
а) нет: все три расхода заряда (9, 12 и 15) делятся на 3, поэтому и общий расход делится на 3, а 65 на 3 не делится
б) 7: из 9x + 12y + 15z = 84 и 3x + 2y + z = 14 следует, что число уровней x + y + z равно 7 при каждом решении (их 4: 7 уровней на две звезды; 1 уровень на три звезды, 5 уровней на две звезды, 1 уровень на одну звезду; 2 уровня на три звезды, 3 уровня на две звезды, 2 уровня на одну звезду; 3 уровня на три звезды, 1 уровень на две звезды, 3 уровня на одну звезду)
в) 42000; достигается, когда 7 уровней на две звезды
Решение
Пусть уровней на три звезды x, на две звезды y и на одну звезду z. Тогда
9x + 12y + 15z = C и 3x + 2y + z = S.
а) Все коэффициенты 9, 12, 15 кратны 3, поэтому расход заряда кратен 3; число 65 не кратно 3, значит так уменьшиться заряд не мог.
б) При C = 84 и S = 14 система имеет 4 решения: 7 уровней на две звезды; 1 уровень на три звезды, 5 уровней на две звезды, 1 уровень на одну звезду; 2 уровня на три звезды, 3 уровня на две звезды, 2 уровня на одну звезду; 3 уровня на три звезды, 1 уровень на две звезды, 3 уровня на одну звезду. Во всех случаях уровней ровно 7.
в) Очки равны 7000x + 6000y + 3000z; перебирая те же решения, получаем наибольшее значение 42000 (7 уровней на две звезды).
Ответ: 7; 42000.
9x + 12y + 15z = C и 3x + 2y + z = S.
а) Все коэффициенты 9, 12, 15 кратны 3, поэтому расход заряда кратен 3; число 65 не кратно 3, значит так уменьшиться заряд не мог.
б) При C = 84 и S = 14 система имеет 4 решения: 7 уровней на две звезды; 1 уровень на три звезды, 5 уровней на две звезды, 1 уровень на одну звезду; 2 уровня на три звезды, 3 уровня на две звезды, 2 уровня на одну звезду; 3 уровня на три звезды, 1 уровень на две звезды, 3 уровня на одну звезду. Во всех случаях уровней ровно 7.
в) Очки равны 7000x + 6000y + 3000z; перебирая те же решения, получаем наибольшее значение 42000 (7 уровней на две звезды).
Ответ: 7; 42000.
Пример 3
За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 9 пунктов при получении трёх звёзд, на 12 пунктов при получении двух звёзд и на 15 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.
а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 80 пунктов?
б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 90 пунктов и суммарно было получено 18 звёзд?
в) За пройденный уровень начисляется 7000 очков при получении трёх звёзд, 6000 — при получении двух звёзд и 3000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 90 пунктов и суммарно было получено 18 звёзд?
а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 80 пунктов?
б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 90 пунктов и суммарно было получено 18 звёзд?
в) За пройденный уровень начисляется 7000 очков при получении трёх звёзд, 6000 — при получении двух звёзд и 3000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 90 пунктов и суммарно было получено 18 звёзд?
Показать ответ
а) нет: все три расхода заряда (9, 12 и 15) делятся на 3, поэтому и общий расход делится на 3, а 80 на 3 не делится
б) 8: из 9x + 12y + 15z = 90 и 3x + 2y + z = 18 следует, что число уровней x + y + z равно 8 при каждом решении (их 4: 2 уровня на три звезды, 6 уровней на две звезды; 3 уровня на три звезды, 4 уровня на две звезды, 1 уровень на одну звезду; 4 уровня на три звезды, 2 уровня на две звезды, 2 уровня на одну звезду; 5 уровней на три звезды, 3 уровня на одну звезду)
в) 50000; достигается, когда 2 уровня на три звезды, 6 уровней на две звезды
Решение
Пусть уровней на три звезды x, на две звезды y и на одну звезду z. Тогда
9x + 12y + 15z = C и 3x + 2y + z = S.
а) Все коэффициенты 9, 12, 15 кратны 3, поэтому расход заряда кратен 3; число 80 не кратно 3, значит так уменьшиться заряд не мог.
б) При C = 90 и S = 18 система имеет 4 решения: 2 уровня на три звезды, 6 уровней на две звезды; 3 уровня на три звезды, 4 уровня на две звезды, 1 уровень на одну звезду; 4 уровня на три звезды, 2 уровня на две звезды, 2 уровня на одну звезду; 5 уровней на три звезды, 3 уровня на одну звезду. Во всех случаях уровней ровно 8.
в) Очки равны 7000x + 6000y + 3000z; перебирая те же решения, получаем наибольшее значение 50000 (2 уровня на три звезды, 6 уровней на две звезды).
Ответ: 8; 50000.
9x + 12y + 15z = C и 3x + 2y + z = S.
а) Все коэффициенты 9, 12, 15 кратны 3, поэтому расход заряда кратен 3; число 80 не кратно 3, значит так уменьшиться заряд не мог.
б) При C = 90 и S = 18 система имеет 4 решения: 2 уровня на три звезды, 6 уровней на две звезды; 3 уровня на три звезды, 4 уровня на две звезды, 1 уровень на одну звезду; 4 уровня на три звезды, 2 уровня на две звезды, 2 уровня на одну звезду; 5 уровней на три звезды, 3 уровня на одну звезду. Во всех случаях уровней ровно 8.
в) Очки равны 7000x + 6000y + 3000z; перебирая те же решения, получаем наибольшее значение 50000 (2 уровня на три звезды, 6 уровней на две звезды).
Ответ: 8; 50000.
Пример 4
За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 9 пунктов при получении трёх звёзд, на 12 пунктов при получении двух звёзд и на 15 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.
а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 55 пунктов?
б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 111 пунктов и суммарно было получено 17 звёзд?
в) За пройденный уровень начисляется 7000 очков при получении трёх звёзд, 6000 — при получении двух звёзд и 3000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 111 пунктов и суммарно было получено 17 звёзд?
а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 55 пунктов?
б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 111 пунктов и суммарно было получено 17 звёзд?
в) За пройденный уровень начисляется 7000 очков при получении трёх звёзд, 6000 — при получении двух звёзд и 3000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 111 пунктов и суммарно было получено 17 звёзд?
Показать ответ
а) нет: все три расхода заряда (9, 12 и 15) делятся на 3, поэтому и общий расход делится на 3, а 55 на 3 не делится
б) 9: из 9x + 12y + 15z = 111 и 3x + 2y + z = 17 следует, что число уровней x + y + z равно 9 при каждом решении (их 5: 8 уровней на две звезды, 1 уровень на одну звезду; 1 уровень на три звезды, 6 уровней на две звезды, 2 уровня на одну звезду; 2 уровня на три звезды, 4 уровня на две звезды, 3 уровня на одну звезду; 3 уровня на три звезды, 2 уровня на две звезды, 4 уровня на одну звезду; 4 уровня на три звезды, 5 уровней на одну звезду)
в) 51000; достигается, когда 8 уровней на две звезды, 1 уровень на одну звезду
Решение
Пусть уровней на три звезды x, на две звезды y и на одну звезду z. Тогда
9x + 12y + 15z = C и 3x + 2y + z = S.
а) Все коэффициенты 9, 12, 15 кратны 3, поэтому расход заряда кратен 3; число 55 не кратно 3, значит так уменьшиться заряд не мог.
б) При C = 111 и S = 17 система имеет 5 решений: 8 уровней на две звезды, 1 уровень на одну звезду; 1 уровень на три звезды, 6 уровней на две звезды, 2 уровня на одну звезду; 2 уровня на три звезды, 4 уровня на две звезды, 3 уровня на одну звезду; 3 уровня на три звезды, 2 уровня на две звезды, 4 уровня на одну звезду; 4 уровня на три звезды, 5 уровней на одну звезду. Во всех случаях уровней ровно 9.
в) Очки равны 7000x + 6000y + 3000z; перебирая те же решения, получаем наибольшее значение 51000 (8 уровней на две звезды, 1 уровень на одну звезду).
Ответ: 9; 51000.
9x + 12y + 15z = C и 3x + 2y + z = S.
а) Все коэффициенты 9, 12, 15 кратны 3, поэтому расход заряда кратен 3; число 55 не кратно 3, значит так уменьшиться заряд не мог.
б) При C = 111 и S = 17 система имеет 5 решений: 8 уровней на две звезды, 1 уровень на одну звезду; 1 уровень на три звезды, 6 уровней на две звезды, 2 уровня на одну звезду; 2 уровня на три звезды, 4 уровня на две звезды, 3 уровня на одну звезду; 3 уровня на три звезды, 2 уровня на две звезды, 4 уровня на одну звезду; 4 уровня на три звезды, 5 уровней на одну звезду. Во всех случаях уровней ровно 9.
в) Очки равны 7000x + 6000y + 3000z; перебирая те же решения, получаем наибольшее значение 51000 (8 уровней на две звезды, 1 уровень на одну звезду).
Ответ: 9; 51000.
Пример 5
За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 9 пунктов при получении трёх звёзд, на 12 пунктов при получении двух звёзд и на 15 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.
а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 55 пунктов?
б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 90 пунктов и суммарно было получено 12 звёзд?
в) За пройденный уровень начисляется 7000 очков при получении трёх звёзд, 6000 — при получении двух звёзд и 3000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 90 пунктов и суммарно было получено 12 звёзд?
а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 55 пунктов?
б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 90 пунктов и суммарно было получено 12 звёзд?
в) За пройденный уровень начисляется 7000 очков при получении трёх звёзд, 6000 — при получении двух звёзд и 3000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 90 пунктов и суммарно было получено 12 звёзд?
Показать ответ
а) нет: все три расхода заряда (9, 12 и 15) делятся на 3, поэтому и общий расход делится на 3, а 55 на 3 не делится
б) 7: из 9x + 12y + 15z = 90 и 3x + 2y + z = 12 следует, что число уровней x + y + z равно 7 при каждом решении (их 3: 5 уровней на две звезды, 2 уровня на одну звезду; 1 уровень на три звезды, 3 уровня на две звезды, 3 уровня на одну звезду; 2 уровня на три звезды, 1 уровень на две звезды, 4 уровня на одну звезду)
в) 36000; достигается, когда 5 уровней на две звезды, 2 уровня на одну звезду
Решение
Пусть уровней на три звезды x, на две звезды y и на одну звезду z. Тогда
9x + 12y + 15z = C и 3x + 2y + z = S.
а) Все коэффициенты 9, 12, 15 кратны 3, поэтому расход заряда кратен 3; число 55 не кратно 3, значит так уменьшиться заряд не мог.
б) При C = 90 и S = 12 система имеет 3 решения: 5 уровней на две звезды, 2 уровня на одну звезду; 1 уровень на три звезды, 3 уровня на две звезды, 3 уровня на одну звезду; 2 уровня на три звезды, 1 уровень на две звезды, 4 уровня на одну звезду. Во всех случаях уровней ровно 7.
в) Очки равны 7000x + 6000y + 3000z; перебирая те же решения, получаем наибольшее значение 36000 (5 уровней на две звезды, 2 уровня на одну звезду).
Ответ: 7; 36000.
9x + 12y + 15z = C и 3x + 2y + z = S.
а) Все коэффициенты 9, 12, 15 кратны 3, поэтому расход заряда кратен 3; число 55 не кратно 3, значит так уменьшиться заряд не мог.
б) При C = 90 и S = 12 система имеет 3 решения: 5 уровней на две звезды, 2 уровня на одну звезду; 1 уровень на три звезды, 3 уровня на две звезды, 3 уровня на одну звезду; 2 уровня на три звезды, 1 уровень на две звезды, 4 уровня на одну звезду. Во всех случаях уровней ровно 7.
в) Очки равны 7000x + 6000y + 3000z; перебирая те же решения, получаем наибольшее значение 36000 (5 уровней на две звезды, 2 уровня на одну звезду).
Ответ: 7; 36000.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.