Две окружности: перпендикуляр к общей хорде — задание 24 ОГЭ по математике
Окружность и её элементы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Окружности с центрами в точках Q и P пересекаются в точках S и A, причём точки Q и P лежат по одну сторону от прямой SA. Докажите, что прямые QP и SA перпендикулярны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
QS = QA как радиусы первой окружности, поэтому точка Q равноудалена от концов отрезка SA и лежит на его серединном перпендикуляре.
Точно так же PS = PA как радиусы второй окружности, поэтому точка P тоже лежит на серединном перпендикуляре к SA.
Через две точки проходит единственная прямая, поэтому прямая QP совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку SA и, значит, перпендикулярна прямой SA.
Точно так же PS = PA как радиусы второй окружности, поэтому точка P тоже лежит на серединном перпендикуляре к SA.
Через две точки проходит единственная прямая, поэтому прямая QP совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку SA и, значит, перпендикулярна прямой SA.
Пример 2
Окружности с центрами в точках M и J пересекаются в точках B и D, причём точки M и J лежат по одну сторону от прямой BD. Докажите, что прямые MJ и BD перпендикулярны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
MB = MD как радиусы первой окружности, поэтому точка M равноудалена от концов отрезка BD и лежит на его серединном перпендикуляре.
Точно так же JB = JD как радиусы второй окружности, поэтому точка J тоже лежит на серединном перпендикуляре к BD.
Через две точки проходит единственная прямая, поэтому прямая MJ совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку BD и, значит, перпендикулярна прямой BD.
Точно так же JB = JD как радиусы второй окружности, поэтому точка J тоже лежит на серединном перпендикуляре к BD.
Через две точки проходит единственная прямая, поэтому прямая MJ совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку BD и, значит, перпендикулярна прямой BD.
Пример 3
Окружности с центрами в точках P и M пересекаются в точках B и L, причём точки P и M лежат по одну сторону от прямой BL. Докажите, что прямые PM и BL перпендикулярны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
PB = PL как радиусы первой окружности, поэтому точка P равноудалена от концов отрезка BL и лежит на его серединном перпендикуляре.
Точно так же MB = ML как радиусы второй окружности, поэтому точка M тоже лежит на серединном перпендикуляре к BL.
Через две точки проходит единственная прямая, поэтому прямая PM совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку BL и, значит, перпендикулярна прямой BL.
Точно так же MB = ML как радиусы второй окружности, поэтому точка M тоже лежит на серединном перпендикуляре к BL.
Через две точки проходит единственная прямая, поэтому прямая PM совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку BL и, значит, перпендикулярна прямой BL.
Пример 4
Окружности с центрами в точках E и N пересекаются в точках B и D, причём точки E и N лежат по одну сторону от прямой BD. Докажите, что прямые EN и BD перпендикулярны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
EB = ED как радиусы первой окружности, поэтому точка E равноудалена от концов отрезка BD и лежит на его серединном перпендикуляре.
Точно так же NB = ND как радиусы второй окружности, поэтому точка N тоже лежит на серединном перпендикуляре к BD.
Через две точки проходит единственная прямая, поэтому прямая EN совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку BD и, значит, перпендикулярна прямой BD.
Точно так же NB = ND как радиусы второй окружности, поэтому точка N тоже лежит на серединном перпендикуляре к BD.
Через две точки проходит единственная прямая, поэтому прямая EN совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку BD и, значит, перпендикулярна прямой BD.
Пример 5
Окружности с центрами в точках F и P пересекаются в точках T и K, причём точки F и P лежат по одну сторону от прямой TK. Докажите, что прямые FP и TK перпендикулярны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
FT = FK как радиусы первой окружности, поэтому точка F равноудалена от концов отрезка TK и лежит на его серединном перпендикуляре.
Точно так же PT = PK как радиусы второй окружности, поэтому точка P тоже лежит на серединном перпендикуляре к TK.
Через две точки проходит единственная прямая, поэтому прямая FP совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку TK и, значит, перпендикулярна прямой TK.
Точно так же PT = PK как радиусы второй окружности, поэтому точка P тоже лежит на серединном перпендикуляре к TK.
Через две точки проходит единственная прямая, поэтому прямая FP совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку TK и, значит, перпендикулярна прямой TK.
Другие темы задания №24
1Высоты треугольника: равные углы2Высоты тупоугольного: подобие треугольников3Параллелограмм: отрезок оказывается биссектрисой4Трапеция: подобие треугольников при диагонали5Точка внутри параллелограмма: половина площади6Равные углы: четырёхугольник вписан в окружность7Точка на средней линии: половина площади8Биссектрисы параллелограмма: точка — середина9Середина боковой стороны: половина площади10Биссектрисы: точка равноудалена от сторон11Прямая через центр параллелограмма: равные отрезки12Трапеция: равновеликие треугольники при диагоналях
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ОГЭ по математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.