Середина боковой стороны: половина площади — задание 24 ОГЭ по математике
Четырёхугольники. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Точка N — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника NAB равна половине площади трапеции.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Пусть h — высота трапеции (расстояние между основаниями AD и BC). Так как N — середина боковой стороны CD, расстояние от N до основания AD равно h/2 и до основания BC равно h/2.
Тогда S(AND) = ½·AD·(h/2), S(BNC) = ½·BC·(h/2), и их сумма равна ½·(h/2)·(AD + BC) = ½·S(трапеции).
Так как S(NAB) = S(трапеции) − S(AND) − S(BNC), получаем S(NAB) = S − ½·S = ½·S(трапеции).
Тогда S(AND) = ½·AD·(h/2), S(BNC) = ½·BC·(h/2), и их сумма равна ½·(h/2)·(AD + BC) = ½·S(трапеции).
Так как S(NAB) = S(трапеции) − S(AND) − S(BNC), получаем S(NAB) = S − ½·S = ½·S(трапеции).
Пример 2
Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Пусть h — высота трапеции (расстояние между основаниями AD и BC). Так как K — середина боковой стороны CD, расстояние от K до основания AD равно h/2 и до основания BC равно h/2.
Тогда S(AKD) = ½·AD·(h/2), S(BKC) = ½·BC·(h/2), и их сумма равна ½·(h/2)·(AD + BC) = ½·S(трапеции).
Так как S(KAB) = S(трапеции) − S(AKD) − S(BKC), получаем S(KAB) = S − ½·S = ½·S(трапеции).
Тогда S(AKD) = ½·AD·(h/2), S(BKC) = ½·BC·(h/2), и их сумма равна ½·(h/2)·(AD + BC) = ½·S(трапеции).
Так как S(KAB) = S(трапеции) − S(AKD) − S(BKC), получаем S(KAB) = S − ½·S = ½·S(трапеции).
Пример 3
Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника EAB равна половине площади трапеции.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Пусть h — высота трапеции (расстояние между основаниями AD и BC). Так как E — середина боковой стороны CD, расстояние от E до основания AD равно h/2 и до основания BC равно h/2.
Тогда S(AED) = ½·AD·(h/2), S(BEC) = ½·BC·(h/2), и их сумма равна ½·(h/2)·(AD + BC) = ½·S(трапеции).
Так как S(EAB) = S(трапеции) − S(AED) − S(BEC), получаем S(EAB) = S − ½·S = ½·S(трапеции).
Тогда S(AED) = ½·AD·(h/2), S(BEC) = ½·BC·(h/2), и их сумма равна ½·(h/2)·(AD + BC) = ½·S(трапеции).
Так как S(EAB) = S(трапеции) − S(AED) − S(BEC), получаем S(EAB) = S − ½·S = ½·S(трапеции).
Пример 4
Точка P — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника PAB равна половине площади трапеции.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Пусть h — высота трапеции (расстояние между основаниями AD и BC). Так как P — середина боковой стороны CD, расстояние от P до основания AD равно h/2 и до основания BC равно h/2.
Тогда S(APD) = ½·AD·(h/2), S(BPC) = ½·BC·(h/2), и их сумма равна ½·(h/2)·(AD + BC) = ½·S(трапеции).
Так как S(PAB) = S(трапеции) − S(APD) − S(BPC), получаем S(PAB) = S − ½·S = ½·S(трапеции).
Тогда S(APD) = ½·AD·(h/2), S(BPC) = ½·BC·(h/2), и их сумма равна ½·(h/2)·(AD + BC) = ½·S(трапеции).
Так как S(PAB) = S(трапеции) − S(APD) − S(BPC), получаем S(PAB) = S − ½·S = ½·S(трапеции).
Пример 5
Точка M — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника MAB равна половине площади трапеции.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Пусть h — высота трапеции (расстояние между основаниями AD и BC). Так как M — середина боковой стороны CD, расстояние от M до основания AD равно h/2 и до основания BC равно h/2.
Тогда S(AMD) = ½·AD·(h/2), S(BMC) = ½·BC·(h/2), и их сумма равна ½·(h/2)·(AD + BC) = ½·S(трапеции).
Так как S(MAB) = S(трапеции) − S(AMD) − S(BMC), получаем S(MAB) = S − ½·S = ½·S(трапеции).
Тогда S(AMD) = ½·AD·(h/2), S(BMC) = ½·BC·(h/2), и их сумма равна ½·(h/2)·(AD + BC) = ½·S(трапеции).
Так как S(MAB) = S(трапеции) − S(AMD) − S(BMC), получаем S(MAB) = S − ½·S = ½·S(трапеции).
Другие темы задания №24
1Высоты треугольника: равные углы2Высоты тупоугольного: подобие треугольников3Параллелограмм: отрезок оказывается биссектрисой4Трапеция: подобие треугольников при диагонали5Точка внутри параллелограмма: половина площади6Равные углы: четырёхугольник вписан в окружность7Точка на средней линии: половина площади8Биссектрисы параллелограмма: точка — середина9Биссектрисы: точка равноудалена от сторон10Прямая через центр параллелограмма: равные отрезки11Трапеция: равновеликие треугольники при диагоналях12Продолжения сторон вписанного: подобие
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ОГЭ по математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.