Точка на средней линии: половина площади — задание 24 ОГЭ по математике
Четырёхугольники. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади трапеции.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Пусть h — высота трапеции. Средняя линия параллельна основаниям и удалена от каждого из них на h/2, поэтому расстояние от точки K до BC равно h/2 и расстояние от K до AD равно h/2.
Тогда S(BKC) = ½·BC·(h/2), S(AKD) = ½·AD·(h/2), и их сумма равна
½·(h/2)·(BC + AD) = ½·(½·(AD + BC)·h) = ½·S(трапеции).
Тогда S(BKC) = ½·BC·(h/2), S(AKD) = ½·AD·(h/2), и их сумма равна
½·(h/2)·(BC + AD) = ½·(½·(AD + BC)·h) = ½·S(трапеции).
Пример 2
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку P. Докажите, что сумма площадей треугольников BPC и APD равна половине площади трапеции.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Пусть h — высота трапеции. Средняя линия параллельна основаниям и удалена от каждого из них на h/2, поэтому расстояние от точки P до BC равно h/2 и расстояние от P до AD равно h/2.
Тогда S(BPC) = ½·BC·(h/2), S(APD) = ½·AD·(h/2), и их сумма равна
½·(h/2)·(BC + AD) = ½·(½·(AD + BC)·h) = ½·S(трапеции).
Тогда S(BPC) = ½·BC·(h/2), S(APD) = ½·AD·(h/2), и их сумма равна
½·(h/2)·(BC + AD) = ½·(½·(AD + BC)·h) = ½·S(трапеции).
Пример 3
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку M. Докажите, что сумма площадей треугольников BMC и AMD равна половине площади трапеции.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Пусть h — высота трапеции. Средняя линия параллельна основаниям и удалена от каждого из них на h/2, поэтому расстояние от точки M до BC равно h/2 и расстояние от M до AD равно h/2.
Тогда S(BMC) = ½·BC·(h/2), S(AMD) = ½·AD·(h/2), и их сумма равна
½·(h/2)·(BC + AD) = ½·(½·(AD + BC)·h) = ½·S(трапеции).
Тогда S(BMC) = ½·BC·(h/2), S(AMD) = ½·AD·(h/2), и их сумма равна
½·(h/2)·(BC + AD) = ½·(½·(AD + BC)·h) = ½·S(трапеции).
Пример 4
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Пусть h — высота трапеции. Средняя линия параллельна основаниям и удалена от каждого из них на h/2, поэтому расстояние от точки E до BC равно h/2 и расстояние от E до AD равно h/2.
Тогда S(BEC) = ½·BC·(h/2), S(AED) = ½·AD·(h/2), и их сумма равна
½·(h/2)·(BC + AD) = ½·(½·(AD + BC)·h) = ½·S(трапеции).
Тогда S(BEC) = ½·BC·(h/2), S(AED) = ½·AD·(h/2), и их сумма равна
½·(h/2)·(BC + AD) = ½·(½·(AD + BC)·h) = ½·S(трапеции).
Пример 5
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Пусть h — высота трапеции. Средняя линия параллельна основаниям и удалена от каждого из них на h/2, поэтому расстояние от точки F до BC равно h/2 и расстояние от F до AD равно h/2.
Тогда S(BFC) = ½·BC·(h/2), S(AFD) = ½·AD·(h/2), и их сумма равна
½·(h/2)·(BC + AD) = ½·(½·(AD + BC)·h) = ½·S(трапеции).
Тогда S(BFC) = ½·BC·(h/2), S(AFD) = ½·AD·(h/2), и их сумма равна
½·(h/2)·(BC + AD) = ½·(½·(AD + BC)·h) = ½·S(трапеции).
Другие темы задания №24
1Высоты треугольника: равные углы2Высоты тупоугольного: подобие треугольников3Параллелограмм: отрезок оказывается биссектрисой4Трапеция: подобие треугольников при диагонали5Точка внутри параллелограмма: половина площади6Равные углы: четырёхугольник вписан в окружность7Биссектрисы параллелограмма: точка — середина8Середина боковой стороны: половина площади9Биссектрисы: точка равноудалена от сторон10Прямая через центр параллелограмма: равные отрезки11Трапеция: равновеликие треугольники при диагоналях12Продолжения сторон вписанного: подобие
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ОГЭ по математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.