Продолжения сторон вписанного: подобие — задание 24 ОГЭ по математике
Окружность и её элементы. 4 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MAB и MCD подобны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, поэтому ∠DAB + ∠BCD = 180° (сумма противоположных углов).
Точки M, A, D лежат на одной прямой, поэтому ∠MAB = 180° − ∠DAB = ∠BCD.
Точки M, B, C лежат на одной прямой, поэтому луч CM совпадает с лучом CB, откуда ∠MCD = ∠BCD. Значит, ∠MAB = ∠MCD.
У треугольников MAB и MCD угол при вершине M общий и ∠MAB = ∠MCD, поэтому эти треугольники подобны по двум углам.
Точки M, A, D лежат на одной прямой, поэтому ∠MAB = 180° − ∠DAB = ∠BCD.
Точки M, B, C лежат на одной прямой, поэтому луч CM совпадает с лучом CB, откуда ∠MCD = ∠BCD. Значит, ∠MAB = ∠MCD.
У треугольников MAB и MCD угол при вершине M общий и ∠MAB = ∠MCD, поэтому эти треугольники подобны по двум углам.
Пример 2
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке P. Докажите, что треугольники PAB и PCD подобны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, поэтому ∠DAB + ∠BCD = 180° (сумма противоположных углов).
Точки P, A, D лежат на одной прямой, поэтому ∠PAB = 180° − ∠DAB = ∠BCD.
Точки P, B, C лежат на одной прямой, поэтому луч CP совпадает с лучом CB, откуда ∠PCD = ∠BCD. Значит, ∠PAB = ∠PCD.
У треугольников PAB и PCD угол при вершине P общий и ∠PAB = ∠PCD, поэтому эти треугольники подобны по двум углам.
Точки P, A, D лежат на одной прямой, поэтому ∠PAB = 180° − ∠DAB = ∠BCD.
Точки P, B, C лежат на одной прямой, поэтому луч CP совпадает с лучом CB, откуда ∠PCD = ∠BCD. Значит, ∠PAB = ∠PCD.
У треугольников PAB и PCD угол при вершине P общий и ∠PAB = ∠PCD, поэтому эти треугольники подобны по двум углам.
Пример 3
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке O. Докажите, что треугольники OAB и OCD подобны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, поэтому ∠DAB + ∠BCD = 180° (сумма противоположных углов).
Точки O, A, D лежат на одной прямой, поэтому ∠OAB = 180° − ∠DAB = ∠BCD.
Точки O, B, C лежат на одной прямой, поэтому луч CO совпадает с лучом CB, откуда ∠OCD = ∠BCD. Значит, ∠OAB = ∠OCD.
У треугольников OAB и OCD угол при вершине O общий и ∠OAB = ∠OCD, поэтому эти треугольники подобны по двум углам.
Точки O, A, D лежат на одной прямой, поэтому ∠OAB = 180° − ∠DAB = ∠BCD.
Точки O, B, C лежат на одной прямой, поэтому луч CO совпадает с лучом CB, откуда ∠OCD = ∠BCD. Значит, ∠OAB = ∠OCD.
У треугольников OAB и OCD угол при вершине O общий и ∠OAB = ∠OCD, поэтому эти треугольники подобны по двум углам.
Пример 4
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, поэтому ∠DAB + ∠BCD = 180° (сумма противоположных углов).
Точки K, A, D лежат на одной прямой, поэтому ∠KAB = 180° − ∠DAB = ∠BCD.
Точки K, B, C лежат на одной прямой, поэтому луч CK совпадает с лучом CB, откуда ∠KCD = ∠BCD. Значит, ∠KAB = ∠KCD.
У треугольников KAB и KCD угол при вершине K общий и ∠KAB = ∠KCD, поэтому эти треугольники подобны по двум углам.
Точки K, A, D лежат на одной прямой, поэтому ∠KAB = 180° − ∠DAB = ∠BCD.
Точки K, B, C лежат на одной прямой, поэтому луч CK совпадает с лучом CB, откуда ∠KCD = ∠BCD. Значит, ∠KAB = ∠KCD.
У треугольников KAB и KCD угол при вершине K общий и ∠KAB = ∠KCD, поэтому эти треугольники подобны по двум углам.
Другие темы задания №24
1Высоты треугольника: равные углы2Высоты тупоугольного: подобие треугольников3Параллелограмм: отрезок оказывается биссектрисой4Трапеция: подобие треугольников при диагонали5Точка внутри параллелограмма: половина площади6Равные углы: четырёхугольник вписан в окружность7Точка на средней линии: половина площади8Биссектрисы параллелограмма: точка — середина9Середина боковой стороны: половина площади10Биссектрисы: точка равноудалена от сторон11Прямая через центр параллелограмма: равные отрезки12Трапеция: равновеликие треугольники при диагоналях
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ОГЭ по математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.