Точка внутри параллелограмма: половина площади — задание 24 ОГЭ по математике
Четырёхугольники. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади параллелограмма.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Обозначим через a длину стороны BC (она равна AD) и через h — расстояние между прямыми BC и AD; тогда площадь параллелограмма S = a·h.
Пусть h1 и h2 — расстояния от точки K до прямых BC и AD. Так как K лежит между этими прямыми, h1 + h2 = h.
Тогда S(BKC) + S(AKD) = ½·a·h1 + ½·a·h2 = ½·a·(h1 + h2) = ½·a·h = ½·S.
Пусть h1 и h2 — расстояния от точки K до прямых BC и AD. Так как K лежит между этими прямыми, h1 + h2 = h.
Тогда S(BKC) + S(AKD) = ½·a·h1 + ½·a·h2 = ½·a·(h1 + h2) = ½·a·h = ½·S.
Пример 2
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Обозначим через a длину стороны BC (она равна AD) и через h — расстояние между прямыми BC и AD; тогда площадь параллелограмма S = a·h.
Пусть h1 и h2 — расстояния от точки E до прямых BC и AD. Так как E лежит между этими прямыми, h1 + h2 = h.
Тогда S(BEC) + S(AED) = ½·a·h1 + ½·a·h2 = ½·a·(h1 + h2) = ½·a·h = ½·S.
Пусть h1 и h2 — расстояния от точки E до прямых BC и AD. Так как E лежит между этими прямыми, h1 + h2 = h.
Тогда S(BEC) + S(AED) = ½·a·h1 + ½·a·h2 = ½·a·(h1 + h2) = ½·a·h = ½·S.
Пример 3
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку P. Докажите, что сумма площадей треугольников BPC и APD равна половине площади параллелограмма.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Обозначим через a длину стороны BC (она равна AD) и через h — расстояние между прямыми BC и AD; тогда площадь параллелограмма S = a·h.
Пусть h1 и h2 — расстояния от точки P до прямых BC и AD. Так как P лежит между этими прямыми, h1 + h2 = h.
Тогда S(BPC) + S(APD) = ½·a·h1 + ½·a·h2 = ½·a·(h1 + h2) = ½·a·h = ½·S.
Пусть h1 и h2 — расстояния от точки P до прямых BC и AD. Так как P лежит между этими прямыми, h1 + h2 = h.
Тогда S(BPC) + S(APD) = ½·a·h1 + ½·a·h2 = ½·a·(h1 + h2) = ½·a·h = ½·S.
Пример 4
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку M. Докажите, что сумма площадей треугольников BMC и AMD равна половине площади параллелограмма.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Обозначим через a длину стороны BC (она равна AD) и через h — расстояние между прямыми BC и AD; тогда площадь параллелограмма S = a·h.
Пусть h1 и h2 — расстояния от точки M до прямых BC и AD. Так как M лежит между этими прямыми, h1 + h2 = h.
Тогда S(BMC) + S(AMD) = ½·a·h1 + ½·a·h2 = ½·a·(h1 + h2) = ½·a·h = ½·S.
Пусть h1 и h2 — расстояния от точки M до прямых BC и AD. Так как M лежит между этими прямыми, h1 + h2 = h.
Тогда S(BMC) + S(AMD) = ½·a·h1 + ½·a·h2 = ½·a·(h1 + h2) = ½·a·h = ½·S.
Пример 5
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади параллелограмма.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Обозначим через a длину стороны BC (она равна AD) и через h — расстояние между прямыми BC и AD; тогда площадь параллелограмма S = a·h.
Пусть h1 и h2 — расстояния от точки F до прямых BC и AD. Так как F лежит между этими прямыми, h1 + h2 = h.
Тогда S(BFC) + S(AFD) = ½·a·h1 + ½·a·h2 = ½·a·(h1 + h2) = ½·a·h = ½·S.
Пусть h1 и h2 — расстояния от точки F до прямых BC и AD. Так как F лежит между этими прямыми, h1 + h2 = h.
Тогда S(BFC) + S(AFD) = ½·a·h1 + ½·a·h2 = ½·a·(h1 + h2) = ½·a·h = ½·S.
Другие темы задания №24
1Высоты треугольника: равные углы2Высоты тупоугольного: подобие треугольников3Параллелограмм: отрезок оказывается биссектрисой4Трапеция: подобие треугольников при диагонали5Равные углы: четырёхугольник вписан в окружность6Точка на средней линии: половина площади7Биссектрисы параллелограмма: точка — середина8Середина боковой стороны: половина площади9Биссектрисы: точка равноудалена от сторон10Прямая через центр параллелограмма: равные отрезки11Трапеция: равновеликие треугольники при диагоналях12Продолжения сторон вписанного: подобие
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ОГЭ по математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.