Высоты тупоугольного: подобие треугольников — задание 24 ОГЭ по математике
Треугольники. 3 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что треугольники A1BC1 и ABC подобны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Высоты AA1 и CC1 перпендикулярны прямым BC и BA, поэтому ∠BA1A = ∠BC1C = 90°.
Так как угол ABC тупой, основания высот A1 и C1 лежат на продолжениях сторон за вершину B, поэтому ∠A1BC1 = ∠ABC как вертикальные углы.
Прямоугольные треугольники BA1A и BC1C имеют равные углы при вершине B (∠A1BA = ∠C1BC = 180° − ∠ABC), значит подобны, откуда BA1 : BA = BC1 : BC.
У треугольников A1BC1 и ABC угол при вершине B общий (∠A1BC1 = ∠ABC), а заключающие его стороны пропорциональны (BA1 : BA = BC1 : BC), поэтому треугольники подобны.
Так как угол ABC тупой, основания высот A1 и C1 лежат на продолжениях сторон за вершину B, поэтому ∠A1BC1 = ∠ABC как вертикальные углы.
Прямоугольные треугольники BA1A и BC1C имеют равные углы при вершине B (∠A1BA = ∠C1BC = 180° − ∠ABC), значит подобны, откуда BA1 : BA = BC1 : BC.
У треугольников A1BC1 и ABC угол при вершине B общий (∠A1BC1 = ∠ABC), а заключающие его стороны пропорциональны (BA1 : BA = BC1 : BC), поэтому треугольники подобны.
Пример 2
В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB1 и CC1. Докажите, что треугольники AB1C1 и ABC подобны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Высоты BB1 и CC1 перпендикулярны прямым AC и AB, поэтому ∠AB1B = ∠AC1C = 90°.
Так как угол BAC тупой, основания высот B1 и C1 лежат на продолжениях сторон за вершину A, поэтому ∠B1AC1 = ∠BAC как вертикальные углы.
Прямоугольные треугольники AB1B и AC1C имеют равные углы при вершине A (∠B1AB = ∠C1AC = 180° − ∠BAC), значит подобны, откуда AB1 : AB = AC1 : AC.
У треугольников AB1C1 и ABC угол при вершине A общий (∠B1AC1 = ∠BAC), а заключающие его стороны пропорциональны (AB1 : AB = AC1 : AC), поэтому треугольники подобны.
Так как угол BAC тупой, основания высот B1 и C1 лежат на продолжениях сторон за вершину A, поэтому ∠B1AC1 = ∠BAC как вертикальные углы.
Прямоугольные треугольники AB1B и AC1C имеют равные углы при вершине A (∠B1AB = ∠C1AC = 180° − ∠BAC), значит подобны, откуда AB1 : AB = AC1 : AC.
У треугольников AB1C1 и ABC угол при вершине A общий (∠B1AC1 = ∠BAC), а заключающие его стороны пропорциональны (AB1 : AB = AC1 : AC), поэтому треугольники подобны.
Пример 3
В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Высоты AA1 и BB1 перпендикулярны прямым CB и CA, поэтому ∠CA1A = ∠CB1B = 90°.
Так как угол ACB тупой, основания высот A1 и B1 лежат на продолжениях сторон за вершину C, поэтому ∠A1CB1 = ∠ACB как вертикальные углы.
Прямоугольные треугольники CA1A и CB1B имеют равные углы при вершине C (∠A1CA = ∠B1CB = 180° − ∠ACB), значит подобны, откуда CA1 : CA = CB1 : CB.
У треугольников A1CB1 и ACB угол при вершине C общий (∠A1CB1 = ∠ACB), а заключающие его стороны пропорциональны (CA1 : CA = CB1 : CB), поэтому треугольники подобны.
Так как угол ACB тупой, основания высот A1 и B1 лежат на продолжениях сторон за вершину C, поэтому ∠A1CB1 = ∠ACB как вертикальные углы.
Прямоугольные треугольники CA1A и CB1B имеют равные углы при вершине C (∠A1CA = ∠B1CB = 180° − ∠ACB), значит подобны, откуда CA1 : CA = CB1 : CB.
У треугольников A1CB1 и ACB угол при вершине C общий (∠A1CB1 = ∠ACB), а заключающие его стороны пропорциональны (CA1 : CA = CB1 : CB), поэтому треугольники подобны.
Другие темы задания №24
1Высоты треугольника: равные углы2Параллелограмм: отрезок оказывается биссектрисой3Трапеция: подобие треугольников при диагонали4Точка внутри параллелограмма: половина площади5Равные углы: четырёхугольник вписан в окружность6Точка на средней линии: половина площади7Биссектрисы параллелограмма: точка — середина8Середина боковой стороны: половина площади9Биссектрисы: точка равноудалена от сторон10Прямая через центр параллелограмма: равные отрезки11Трапеция: равновеликие треугольники при диагоналях12Продолжения сторон вписанного: подобие
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ОГЭ по математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.