Параллелограмм: отрезок оказывается биссектрисой — задание 24 ОГЭ по математике
Четырёхугольники. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка P — середина стороны BC. Докажите, что DP — биссектриса угла ADC.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
В параллелограмме BC = AD и CD = AB. Так как BC = 2·CD и P — середина BC, то CP = BC/2 = CD, поэтому треугольник CDP равнобедренный и ∠CDP = ∠CPD.
Поскольку BC ∥ AD, при секущей DP накрест лежащие углы равны: ∠CPD = ∠PDA.
Значит, ∠CDP = ∠PDA, то есть DP делит угол ADC пополам — DP является биссектрисой угла ADC.
Поскольку BC ∥ AD, при секущей DP накрест лежащие углы равны: ∠CPD = ∠PDA.
Значит, ∠CDP = ∠PDA, то есть DP делит угол ADC пополам — DP является биссектрисой угла ADC.
Пример 2
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M — середина стороны BC. Докажите, что DM — биссектриса угла ADC.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
В параллелограмме BC = AD и CD = AB. Так как BC = 2·CD и M — середина BC, то CM = BC/2 = CD, поэтому треугольник CDM равнобедренный и ∠CDM = ∠CMD.
Поскольку BC ∥ AD, при секущей DM накрест лежащие углы равны: ∠CMD = ∠MDA.
Значит, ∠CDM = ∠MDA, то есть DM делит угол ADC пополам — DM является биссектрисой угла ADC.
Поскольку BC ∥ AD, при секущей DM накрест лежащие углы равны: ∠CMD = ∠MDA.
Значит, ∠CDM = ∠MDA, то есть DM делит угол ADC пополам — DM является биссектрисой угла ADC.
Пример 3
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
В параллелограмме BC = AD и CD = AB. Так как BC = 2·CD и K — середина BC, то CK = BC/2 = CD, поэтому треугольник CDK равнобедренный и ∠CDK = ∠CKD.
Поскольку BC ∥ AD, при секущей DK накрест лежащие углы равны: ∠CKD = ∠KDA.
Значит, ∠CDK = ∠KDA, то есть DK делит угол ADC пополам — DK является биссектрисой угла ADC.
Поскольку BC ∥ AD, при секущей DK накрест лежащие углы равны: ∠CKD = ∠KDA.
Значит, ∠CDK = ∠KDA, то есть DK делит угол ADC пополам — DK является биссектрисой угла ADC.
Пример 4
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка N — середина стороны BC. Докажите, что DN — биссектриса угла ADC.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
В параллелограмме BC = AD и CD = AB. Так как BC = 2·CD и N — середина BC, то CN = BC/2 = CD, поэтому треугольник CDN равнобедренный и ∠CDN = ∠CND.
Поскольку BC ∥ AD, при секущей DN накрест лежащие углы равны: ∠CND = ∠NDA.
Значит, ∠CDN = ∠NDA, то есть DN делит угол ADC пополам — DN является биссектрисой угла ADC.
Поскольку BC ∥ AD, при секущей DN накрест лежащие углы равны: ∠CND = ∠NDA.
Значит, ∠CDN = ∠NDA, то есть DN делит угол ADC пополам — DN является биссектрисой угла ADC.
Пример 5
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка L — середина стороны BC. Докажите, что DL — биссектриса угла ADC.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
В параллелограмме BC = AD и CD = AB. Так как BC = 2·CD и L — середина BC, то CL = BC/2 = CD, поэтому треугольник CDL равнобедренный и ∠CDL = ∠CLD.
Поскольку BC ∥ AD, при секущей DL накрест лежащие углы равны: ∠CLD = ∠LDA.
Значит, ∠CDL = ∠LDA, то есть DL делит угол ADC пополам — DL является биссектрисой угла ADC.
Поскольку BC ∥ AD, при секущей DL накрест лежащие углы равны: ∠CLD = ∠LDA.
Значит, ∠CDL = ∠LDA, то есть DL делит угол ADC пополам — DL является биссектрисой угла ADC.
Другие темы задания №24
1Высоты треугольника: равные углы2Высоты тупоугольного: подобие треугольников3Трапеция: подобие треугольников при диагонали4Точка внутри параллелограмма: половина площади5Равные углы: четырёхугольник вписан в окружность6Точка на средней линии: половина площади7Биссектрисы параллелограмма: точка — середина8Середина боковой стороны: половина площади9Биссектрисы: точка равноудалена от сторон10Прямая через центр параллелограмма: равные отрезки11Трапеция: равновеликие треугольники при диагоналях12Продолжения сторон вписанного: подобие
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ОГЭ по математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.