Трапеция: равновеликие треугольники при диагоналях — задание 24 ОГЭ по математике
Четырёхугольники. 4 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Основания BC и AD параллельны, поэтому вершины B и C равноудалены от прямой AD. Значит, треугольники ABD и ACD, имеющие общее основание AD, равновелики: S(ABD) = S(ACD).
Диагонали пересекаются в точке P, поэтому S(ABD) = S(APB) + S(APD) и S(ACD) = S(CPD) + S(APD).
Вычитая общую площадь S(APD), получаем S(APB) = S(CPD).
Диагонали пересекаются в точке P, поэтому S(ABD) = S(APB) + S(APD) и S(ACD) = S(CPD) + S(APD).
Вычитая общую площадь S(APD), получаем S(APB) = S(CPD).
Пример 2
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Основания BC и AD параллельны, поэтому вершины B и C равноудалены от прямой AD. Значит, треугольники ABD и ACD, имеющие общее основание AD, равновелики: S(ABD) = S(ACD).
Диагонали пересекаются в точке O, поэтому S(ABD) = S(AOB) + S(AOD) и S(ACD) = S(COD) + S(AOD).
Вычитая общую площадь S(AOD), получаем S(AOB) = S(COD).
Диагонали пересекаются в точке O, поэтому S(ABD) = S(AOB) + S(AOD) и S(ACD) = S(COD) + S(AOD).
Вычитая общую площадь S(AOD), получаем S(AOB) = S(COD).
Пример 3
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке K. Докажите, что площади треугольников AKB и CKD равны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Основания BC и AD параллельны, поэтому вершины B и C равноудалены от прямой AD. Значит, треугольники ABD и ACD, имеющие общее основание AD, равновелики: S(ABD) = S(ACD).
Диагонали пересекаются в точке K, поэтому S(ABD) = S(AKB) + S(AKD) и S(ACD) = S(CKD) + S(AKD).
Вычитая общую площадь S(AKD), получаем S(AKB) = S(CKD).
Диагонали пересекаются в точке K, поэтому S(ABD) = S(AKB) + S(AKD) и S(ACD) = S(CKD) + S(AKD).
Вычитая общую площадь S(AKD), получаем S(AKB) = S(CKD).
Пример 4
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке M. Докажите, что площади треугольников AMB и CMD равны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Основания BC и AD параллельны, поэтому вершины B и C равноудалены от прямой AD. Значит, треугольники ABD и ACD, имеющие общее основание AD, равновелики: S(ABD) = S(ACD).
Диагонали пересекаются в точке M, поэтому S(ABD) = S(AMB) + S(AMD) и S(ACD) = S(CMD) + S(AMD).
Вычитая общую площадь S(AMD), получаем S(AMB) = S(CMD).
Диагонали пересекаются в точке M, поэтому S(ABD) = S(AMB) + S(AMD) и S(ACD) = S(CMD) + S(AMD).
Вычитая общую площадь S(AMD), получаем S(AMB) = S(CMD).
Другие темы задания №24
1Высоты треугольника: равные углы2Высоты тупоугольного: подобие треугольников3Параллелограмм: отрезок оказывается биссектрисой4Трапеция: подобие треугольников при диагонали5Точка внутри параллелограмма: половина площади6Равные углы: четырёхугольник вписан в окружность7Точка на средней линии: половина площади8Биссектрисы параллелограмма: точка — середина9Середина боковой стороны: половина площади10Биссектрисы: точка равноудалена от сторон11Прямая через центр параллелограмма: равные отрезки12Продолжения сторон вписанного: подобие
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ОГЭ по математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.