Высоты треугольника: равные углы — задание 24 ОГЭ по математике
Треугольники. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что углы BB1A1 и BAA1 равны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Высоты AA1 и BB1 перпендикулярны сторонам, лежащим против вершин A и B, поэтому ∠AA1B = ∠BB1A = 90°.
Из точек A1 и B1 отрезок AB виден под прямым углом, значит они лежат на окружности с диаметром AB. Тем самым точки A, B, A1, B1 лежат на одной окружности.
Вписанные углы BB1A1 и BAA1 опираются на одну и ту же дугу BA1, поэтому они равны.
Из точек A1 и B1 отрезок AB виден под прямым углом, значит они лежат на окружности с диаметром AB. Тем самым точки A, B, A1, B1 лежат на одной окружности.
Вписанные углы BB1A1 и BAA1 опираются на одну и ту же дугу BA1, поэтому они равны.
Пример 2
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1. Докажите, что углы BB1C1 и BCC1 равны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Высоты CC1 и BB1 перпендикулярны сторонам, лежащим против вершин C и B, поэтому ∠CC1B = ∠BB1C = 90°.
Из точек C1 и B1 отрезок CB виден под прямым углом, значит они лежат на окружности с диаметром CB. Тем самым точки C, B, C1, B1 лежат на одной окружности.
Вписанные углы BB1C1 и BCC1 опираются на одну и ту же дугу BC1, поэтому они равны.
Из точек C1 и B1 отрезок CB виден под прямым углом, значит они лежат на окружности с диаметром CB. Тем самым точки C, B, C1, B1 лежат на одной окружности.
Вписанные углы BB1C1 и BCC1 опираются на одну и ту же дугу BC1, поэтому они равны.
Пример 3
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что углы CC1A1 и CAA1 равны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Высоты AA1 и CC1 перпендикулярны сторонам, лежащим против вершин A и C, поэтому ∠AA1C = ∠CC1A = 90°.
Из точек A1 и C1 отрезок AC виден под прямым углом, значит они лежат на окружности с диаметром AC. Тем самым точки A, C, A1, C1 лежат на одной окружности.
Вписанные углы CC1A1 и CAA1 опираются на одну и ту же дугу CA1, поэтому они равны.
Из точек A1 и C1 отрезок AC виден под прямым углом, значит они лежат на окружности с диаметром AC. Тем самым точки A, C, A1, C1 лежат на одной окружности.
Вписанные углы CC1A1 и CAA1 опираются на одну и ту же дугу CA1, поэтому они равны.
Пример 4
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1. Докажите, что углы CC1B1 и CBB1 равны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Высоты BB1 и CC1 перпендикулярны сторонам, лежащим против вершин B и C, поэтому ∠BB1C = ∠CC1B = 90°.
Из точек B1 и C1 отрезок BC виден под прямым углом, значит они лежат на окружности с диаметром BC. Тем самым точки B, C, B1, C1 лежат на одной окружности.
Вписанные углы CC1B1 и CBB1 опираются на одну и ту же дугу CB1, поэтому они равны.
Из точек B1 и C1 отрезок BC виден под прямым углом, значит они лежат на окружности с диаметром BC. Тем самым точки B, C, B1, C1 лежат на одной окружности.
Вписанные углы CC1B1 и CBB1 опираются на одну и ту же дугу CB1, поэтому они равны.
Пример 5
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что углы AA1C1 и ACC1 равны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Высоты CC1 и AA1 перпендикулярны сторонам, лежащим против вершин C и A, поэтому ∠CC1A = ∠AA1C = 90°.
Из точек C1 и A1 отрезок CA виден под прямым углом, значит они лежат на окружности с диаметром CA. Тем самым точки C, A, C1, A1 лежат на одной окружности.
Вписанные углы AA1C1 и ACC1 опираются на одну и ту же дугу AC1, поэтому они равны.
Из точек C1 и A1 отрезок CA виден под прямым углом, значит они лежат на окружности с диаметром CA. Тем самым точки C, A, C1, A1 лежат на одной окружности.
Вписанные углы AA1C1 и ACC1 опираются на одну и ту же дугу AC1, поэтому они равны.
Другие темы задания №24
1Высоты тупоугольного: подобие треугольников2Параллелограмм: отрезок оказывается биссектрисой3Трапеция: подобие треугольников при диагонали4Точка внутри параллелограмма: половина площади5Равные углы: четырёхугольник вписан в окружность6Точка на средней линии: половина площади7Биссектрисы параллелограмма: точка — середина8Середина боковой стороны: половина площади9Биссектрисы: точка равноудалена от сторон10Прямая через центр параллелограмма: равные отрезки11Трапеция: равновеликие треугольники при диагоналях12Продолжения сторон вписанного: подобие
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ОГЭ по математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.