Прямая через центр параллелограмма: равные отрезки — задание 24 ОГЭ по математике
Четырёхугольники. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках N и M соответственно. Докажите, что отрезки AN и CM равны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Точка O — точка пересечения диагоналей параллелограмма, поэтому OA = OC (диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам).
Рассмотрим треугольники AON и COM: OA = OC; ∠AON = ∠COM как вертикальные; ∠OAN = ∠OCM как накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей AC.
Значит, треугольники AON и COM равны по стороне и двум прилежащим углам, откуда AN = CM.
Рассмотрим треугольники AON и COM: OA = OC; ∠AON = ∠COM как вертикальные; ∠OAN = ∠OCM как накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей AC.
Значит, треугольники AON и COM равны по стороне и двум прилежащим углам, откуда AN = CM.
Пример 2
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках F и N соответственно. Докажите, что отрезки AF и CN равны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Точка O — точка пересечения диагоналей параллелограмма, поэтому OA = OC (диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам).
Рассмотрим треугольники AOF и CON: OA = OC; ∠AOF = ∠CON как вертикальные; ∠OAF = ∠OCN как накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей AC.
Значит, треугольники AOF и CON равны по стороне и двум прилежащим углам, откуда AF = CN.
Рассмотрим треугольники AOF и CON: OA = OC; ∠AOF = ∠CON как вертикальные; ∠OAF = ∠OCN как накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей AC.
Значит, треугольники AOF и CON равны по стороне и двум прилежащим углам, откуда AF = CN.
Пример 3
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках Q и E соответственно. Докажите, что отрезки AQ и CE равны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Точка O — точка пересечения диагоналей параллелограмма, поэтому OA = OC (диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам).
Рассмотрим треугольники AOQ и COE: OA = OC; ∠AOQ = ∠COE как вертикальные; ∠OAQ = ∠OCE как накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей AC.
Значит, треугольники AOQ и COE равны по стороне и двум прилежащим углам, откуда AQ = CE.
Рассмотрим треугольники AOQ и COE: OA = OC; ∠AOQ = ∠COE как вертикальные; ∠OAQ = ∠OCE как накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей AC.
Значит, треугольники AOQ и COE равны по стороне и двум прилежащим углам, откуда AQ = CE.
Пример 4
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках M и F соответственно. Докажите, что отрезки AM и CF равны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Точка O — точка пересечения диагоналей параллелограмма, поэтому OA = OC (диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам).
Рассмотрим треугольники AOM и COF: OA = OC; ∠AOM = ∠COF как вертикальные; ∠OAM = ∠OCF как накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей AC.
Значит, треугольники AOM и COF равны по стороне и двум прилежащим углам, откуда AM = CF.
Рассмотрим треугольники AOM и COF: OA = OC; ∠AOM = ∠COF как вертикальные; ∠OAM = ∠OCF как накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей AC.
Значит, треугольники AOM и COF равны по стороне и двум прилежащим углам, откуда AM = CF.
Пример 5
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках M и K соответственно. Докажите, что отрезки AM и CK равны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Точка O — точка пересечения диагоналей параллелограмма, поэтому OA = OC (диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам).
Рассмотрим треугольники AOM и COK: OA = OC; ∠AOM = ∠COK как вертикальные; ∠OAM = ∠OCK как накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей AC.
Значит, треугольники AOM и COK равны по стороне и двум прилежащим углам, откуда AM = CK.
Рассмотрим треугольники AOM и COK: OA = OC; ∠AOM = ∠COK как вертикальные; ∠OAM = ∠OCK как накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей AC.
Значит, треугольники AOM и COK равны по стороне и двум прилежащим углам, откуда AM = CK.
Другие темы задания №24
1Высоты треугольника: равные углы2Высоты тупоугольного: подобие треугольников3Параллелограмм: отрезок оказывается биссектрисой4Трапеция: подобие треугольников при диагонали5Точка внутри параллелограмма: половина площади6Равные углы: четырёхугольник вписан в окружность7Точка на средней линии: половина площади8Биссектрисы параллелограмма: точка — середина9Середина боковой стороны: половина площади10Биссектрисы: точка равноудалена от сторон11Трапеция: равновеликие треугольники при диагоналях12Продолжения сторон вписанного: подобие
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ОГЭ по математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.