Трапеция: подобие треугольников при диагонали — задание 24 ОГЭ по математике
Четырёхугольники. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD=18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
BC = 9, BD = 18, AD = 36, поэтому BC : BD = BD : AD (обе части равны 1 : 2, так как BD2 = 324 = BC·AD).
BC ∥ AD, поэтому ∠CBD = ∠BDA как накрест лежащие углы при секущей BD.
В треугольниках CBD и BDA этот угол заключён между пропорциональными сторонами: CB : DB = BD : DA. Значит, треугольники CBD и BDA подобны по двум сторонам и углу между ними.
BC ∥ AD, поэтому ∠CBD = ∠BDA как накрест лежащие углы при секущей BD.
В треугольниках CBD и BDA этот угол заключён между пропорциональными сторонами: CB : DB = BD : DA. Значит, треугольники CBD и BDA подобны по двум сторонам и углу между ними.
Пример 2
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 72, BD=24. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
BC = 8, BD = 24, AD = 72, поэтому BC : BD = BD : AD (обе части равны 1 : 3, так как BD2 = 576 = BC·AD).
BC ∥ AD, поэтому ∠CBD = ∠BDA как накрест лежащие углы при секущей BD.
В треугольниках CBD и BDA этот угол заключён между пропорциональными сторонами: CB : DB = BD : DA. Значит, треугольники CBD и BDA подобны по двум сторонам и углу между ними.
BC ∥ AD, поэтому ∠CBD = ∠BDA как накрест лежащие углы при секущей BD.
В треугольниках CBD и BDA этот угол заключён между пропорциональными сторонами: CB : DB = BD : DA. Значит, треугольники CBD и BDA подобны по двум сторонам и углу между ними.
Пример 3
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 128, BD=32. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
BC = 8, BD = 32, AD = 128, поэтому BC : BD = BD : AD (обе части равны 1 : 4, так как BD2 = 1024 = BC·AD).
BC ∥ AD, поэтому ∠CBD = ∠BDA как накрест лежащие углы при секущей BD.
В треугольниках CBD и BDA этот угол заключён между пропорциональными сторонами: CB : DB = BD : DA. Значит, треугольники CBD и BDA подобны по двум сторонам и углу между ними.
BC ∥ AD, поэтому ∠CBD = ∠BDA как накрест лежащие углы при секущей BD.
В треугольниках CBD и BDA этот угол заключён между пропорциональными сторонами: CB : DB = BD : DA. Значит, треугольники CBD и BDA подобны по двум сторонам и углу между ними.
Пример 4
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 7 и 112, BD=28. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
BC = 7, BD = 28, AD = 112, поэтому BC : BD = BD : AD (обе части равны 1 : 4, так как BD2 = 784 = BC·AD).
BC ∥ AD, поэтому ∠CBD = ∠BDA как накрест лежащие углы при секущей BD.
В треугольниках CBD и BDA этот угол заключён между пропорциональными сторонами: CB : DB = BD : DA. Значит, треугольники CBD и BDA подобны по двум сторонам и углу между ними.
BC ∥ AD, поэтому ∠CBD = ∠BDA как накрест лежащие углы при секущей BD.
В треугольниках CBD и BDA этот угол заключён между пропорциональными сторонами: CB : DB = BD : DA. Значит, треугольники CBD и BDA подобны по двум сторонам и углу между ними.
Пример 5
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 32, BD=16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
BC = 8, BD = 16, AD = 32, поэтому BC : BD = BD : AD (обе части равны 1 : 2, так как BD2 = 256 = BC·AD).
BC ∥ AD, поэтому ∠CBD = ∠BDA как накрест лежащие углы при секущей BD.
В треугольниках CBD и BDA этот угол заключён между пропорциональными сторонами: CB : DB = BD : DA. Значит, треугольники CBD и BDA подобны по двум сторонам и углу между ними.
BC ∥ AD, поэтому ∠CBD = ∠BDA как накрест лежащие углы при секущей BD.
В треугольниках CBD и BDA этот угол заключён между пропорциональными сторонами: CB : DB = BD : DA. Значит, треугольники CBD и BDA подобны по двум сторонам и углу между ними.
Другие темы задания №24
1Высоты треугольника: равные углы2Высоты тупоугольного: подобие треугольников3Параллелограмм: отрезок оказывается биссектрисой4Точка внутри параллелограмма: половина площади5Равные углы: четырёхугольник вписан в окружность6Точка на средней линии: половина площади7Биссектрисы параллелограмма: точка — середина8Середина боковой стороны: половина площади9Биссектрисы: точка равноудалена от сторон10Прямая через центр параллелограмма: равные отрезки11Трапеция: равновеликие треугольники при диагоналях12Продолжения сторон вписанного: подобие
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ОГЭ по математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.