Общая касательная двух окружностей — задание 24 ОГЭ по математике
Окружность и её элементы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Окружности с центрами в точках E и I не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении k:l. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как k:l.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Пусть касательная касается окружностей в точках X и Y и пересекает отрезок EI в точке S, причём ES : SI = k : l.
Радиусы EX и IY перпендикулярны касательной, поэтому ∠EXS = ∠IYS = 90°. Углы ESX и ISY равны как вертикальные.
Значит, прямоугольные треугольники EXS и IYS подобны, откуда EX : IY = ES : SI = k : l.
EX и IY — радиусы окружностей, а диаметры вдвое больше радиусов, поэтому диаметры относятся так же, как радиусы, то есть как k : l.
Радиусы EX и IY перпендикулярны касательной, поэтому ∠EXS = ∠IYS = 90°. Углы ESX и ISY равны как вертикальные.
Значит, прямоугольные треугольники EXS и IYS подобны, откуда EX : IY = ES : SI = k : l.
EX и IY — радиусы окружностей, а диаметры вдвое больше радиусов, поэтому диаметры относятся так же, как радиусы, то есть как k : l.
Пример 2
Окружности с центрами в точках J и I не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Пусть касательная касается окружностей в точках X и Y и пересекает отрезок JI в точке T, причём JT : TI = a : b.
Радиусы JX и IY перпендикулярны касательной, поэтому ∠JXT = ∠IYT = 90°. Углы JTX и ITY равны как вертикальные.
Значит, прямоугольные треугольники JXT и IYT подобны, откуда JX : IY = JT : TI = a : b.
JX и IY — радиусы окружностей, а диаметры вдвое больше радиусов, поэтому диаметры относятся так же, как радиусы, то есть как a : b.
Радиусы JX и IY перпендикулярны касательной, поэтому ∠JXT = ∠IYT = 90°. Углы JTX и ITY равны как вертикальные.
Значит, прямоугольные треугольники JXT и IYT подобны, откуда JX : IY = JT : TI = a : b.
JX и IY — радиусы окружностей, а диаметры вдвое больше радиусов, поэтому диаметры относятся так же, как радиусы, то есть как a : b.
Пример 3
Окружности с центрами в точках Q и E не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Пусть касательная касается окружностей в точках X и Y и пересекает отрезок QE в точке S, причём QS : SE = m : n.
Радиусы QX и EY перпендикулярны касательной, поэтому ∠QXS = ∠EYS = 90°. Углы QSX и ESY равны как вертикальные.
Значит, прямоугольные треугольники QXS и EYS подобны, откуда QX : EY = QS : SE = m : n.
QX и EY — радиусы окружностей, а диаметры вдвое больше радиусов, поэтому диаметры относятся так же, как радиусы, то есть как m : n.
Радиусы QX и EY перпендикулярны касательной, поэтому ∠QXS = ∠EYS = 90°. Углы QSX и ESY равны как вертикальные.
Значит, прямоугольные треугольники QXS и EYS подобны, откуда QX : EY = QS : SE = m : n.
QX и EY — радиусы окружностей, а диаметры вдвое больше радиусов, поэтому диаметры относятся так же, как радиусы, то есть как m : n.
Пример 4
Окружности с центрами в точках F и N не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Пусть касательная касается окружностей в точках X и Y и пересекает отрезок FN в точке S, причём FS : SN = a : b.
Радиусы FX и NY перпендикулярны касательной, поэтому ∠FXS = ∠NYS = 90°. Углы FSX и NSY равны как вертикальные.
Значит, прямоугольные треугольники FXS и NYS подобны, откуда FX : NY = FS : SN = a : b.
FX и NY — радиусы окружностей, а диаметры вдвое больше радиусов, поэтому диаметры относятся так же, как радиусы, то есть как a : b.
Радиусы FX и NY перпендикулярны касательной, поэтому ∠FXS = ∠NYS = 90°. Углы FSX и NSY равны как вертикальные.
Значит, прямоугольные треугольники FXS и NYS подобны, откуда FX : NY = FS : SN = a : b.
FX и NY — радиусы окружностей, а диаметры вдвое больше радиусов, поэтому диаметры относятся так же, как радиусы, то есть как a : b.
Пример 5
Окружности с центрами в точках I и M не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.
Задание на доказательство: ход рассуждения — в решении ниже.
Решение
Пусть касательная касается окружностей в точках X и Y и пересекает отрезок IM в точке O, причём IO : OM = p : q.
Радиусы IX и MY перпендикулярны касательной, поэтому ∠IXO = ∠MYO = 90°. Углы IOX и MOY равны как вертикальные.
Значит, прямоугольные треугольники IXO и MYO подобны, откуда IX : MY = IO : OM = p : q.
IX и MY — радиусы окружностей, а диаметры вдвое больше радиусов, поэтому диаметры относятся так же, как радиусы, то есть как p : q.
Радиусы IX и MY перпендикулярны касательной, поэтому ∠IXO = ∠MYO = 90°. Углы IOX и MOY равны как вертикальные.
Значит, прямоугольные треугольники IXO и MYO подобны, откуда IX : MY = IO : OM = p : q.
IX и MY — радиусы окружностей, а диаметры вдвое больше радиусов, поэтому диаметры относятся так же, как радиусы, то есть как p : q.
Другие темы задания №24
1Высоты треугольника: равные углы2Высоты тупоугольного: подобие треугольников3Параллелограмм: отрезок оказывается биссектрисой4Трапеция: подобие треугольников при диагонали5Точка внутри параллелограмма: половина площади6Равные углы: четырёхугольник вписан в окружность7Точка на средней линии: половина площади8Биссектрисы параллелограмма: точка — середина9Середина боковой стороны: половина площади10Биссектрисы: точка равноудалена от сторон11Прямая через центр параллелограмма: равные отрезки12Трапеция: равновеликие треугольники при диагоналях
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ОГЭ по математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.