Окружность, касающаяся сторон: найти радиус — задание 25 ОГЭ по математике
Треугольники. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 4 и 28 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=√7/4.
Показать ответ
12
Решение
Пусть окружность касается AB в точке T; тогда AT2=AM·AN=112 (степень точки A). Центр проецируется в середину MN (на расстоянии 16 от A), а расстояние от центра до AB равно радиусу. Отсюда r = (4·16 − √(4·28·7))/√(42−7) = 12.
Пример 2
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 10 и 20 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=2√2/3.
Показать ответ
5
Решение
Пусть окружность касается AB в точке T; тогда AT2=AM·AN=200 (степень точки A). Центр проецируется в середину MN (на расстоянии 15 от A), а расстояние от центра до AB равно радиусу. Отсюда r = (3·15 − √(10·20·8))/√(32−8) = 5.
Пример 3
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 20 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=4√5/9.
Показать ответ
10,5
Решение
Пусть окружность касается AB в точке T; тогда AT2=AM·AN=180 (степень точки A). Центр проецируется в середину MN (на расстоянии 14.5 от A), а расстояние от центра до AB равно радиусу. Отсюда r = (9·14.5 − √(9·20·80))/√(92−80) = 10,5.
Пример 4
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 12 и 18 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=2√6/7.
Показать ответ
6,6
Решение
Пусть окружность касается AB в точке T; тогда AT2=AM·AN=216 (степень точки A). Центр проецируется в середину MN (на расстоянии 15 от A), а расстояние от центра до AB равно радиусу. Отсюда r = (7·15 − √(12·18·24))/√(72−24) = 6,6.
Пример 5
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 18 и 36 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=4√2/6.
Показать ответ
9
Решение
Пусть окружность касается AB в точке T; тогда AT2=AM·AN=648 (степень точки A). Центр проецируется в середину MN (на расстоянии 27 от A), а расстояние от центра до AB равно радиусу. Отсюда r = (6·27 − √(18·36·32))/√(62−32) = 9.
Другие темы задания №25
1Сторона по двум углам и радиусу описанной2Полуокружность и точка пересечения высот3Биссектриса делит высоту: радиус описанной4Центр описанной: перпендикуляр к радиусу5Биссектриса перпендикулярна медиане6Окружность через две вершины треугольника7Окружность с центром на стороне, касающаяся другой8Параллелограмм: площадь по биссектрисам9Трапеция: основания по углам и средним линиям10Трапеция: биссектриса через середину стороны11Середина стороны равноудалена от вершин12Окружность, вписанная в трапецию: расстояние
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ОГЭ по математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.