Вписанный четырёхугольник: радиус по углу диагоналей — задание 25 ОГЭ по математике
Окружность и её элементы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=21 и CD=39 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Показать ответ
3√103
Решение
Угол между диагоналями равен полусумме дуг AB и CD: если AB=2R·sinβ, CD=2R·sinδ, то β+δ=60°. Исключая углы, получаем R2 = (AB2+CD2+AB·CD)/3 = (212+392+21·39)/3 = 927, R = 3√103.
Пример 2
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=15 и CD=42 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Показать ответ
3√97
Решение
Угол между диагоналями равен полусумме дуг AB и CD: если AB=2R·sinβ, CD=2R·sinδ, то β+δ=60°. Исключая углы, получаем R2 = (AB2+CD2+AB·CD)/3 = (152+422+15·42)/3 = 873, R = 3√97.
Пример 3
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=44 и CD=38 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Показать ответ
2√421
Решение
Угол между диагоналями равен полусумме дуг AB и CD: если AB=2R·sinβ, CD=2R·sinδ, то β+δ=60°. Исключая углы, получаем R2 = (AB2+CD2+AB·CD)/3 = (442+382+44·38)/3 = 1684, R = 2√421.
Пример 4
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=18 и CD=42 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Показать ответ
2√237
Решение
Угол между диагоналями равен полусумме дуг AB и CD: если AB=2R·sinβ, CD=2R·sinδ, то β+δ=60°. Исключая углы, получаем R2 = (AB2+CD2+AB·CD)/3 = (182+422+18·42)/3 = 948, R = 2√237.
Пример 5
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=40 и CD=34 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Показать ответ
14√7
Решение
Угол между диагоналями равен полусумме дуг AB и CD: если AB=2R·sinβ, CD=2R·sinδ, то β+δ=60°. Исключая углы, получаем R2 = (AB2+CD2+AB·CD)/3 = (402+342+40·34)/3 = 1372, R = 14√7.
Другие темы задания №25
1Сторона по двум углам и радиусу описанной2Полуокружность и точка пересечения высот3Биссектриса делит высоту: радиус описанной4Центр описанной: перпендикуляр к радиусу5Окружность, касающаяся сторон: найти радиус6Биссектриса перпендикулярна медиане7Окружность через две вершины треугольника8Окружность с центром на стороне, касающаяся другой9Параллелограмм: площадь по биссектрисам10Трапеция: основания по углам и средним линиям11Трапеция: биссектриса через середину стороны12Середина стороны равноудалена от вершин
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ОГЭ по математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.