γ ⊥ A₁C: объём пирамиды с вершиной A₁ — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Объём многогранника. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 12, а боковое ребро AA1 равно 2√15. На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём CK = 11, а C1L = 6. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.
Показать ответ
б) 102√15
Решение
Так как A1C ⊥ γ, высота искомой пирамиды — отрезок от A1 до плоскости γ вдоль A1C. Объём равен ⅓ · S(сечения) · A1H = 102√15.
Пример 2
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 14, а боковое ребро AA1 равно √14. На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём CK = 11, а C1L = 10. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.
Показать ответ
б) 63√14
Решение
Так как A1C ⊥ γ, высота искомой пирамиды — отрезок от A1 до плоскости γ вдоль A1C. Объём равен ⅓ · S(сечения) · A1H = 63√14.
Пример 3
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 10, а боковое ребро AA1 равно √10. На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём CK = 6, а C1L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.
Показать ответ
б) 55√10/2
Решение
Так как A1C ⊥ γ, высота искомой пирамиды — отрезок от A1 до плоскости γ вдоль A1C. Объём равен ⅓ · S(сечения) · A1H = 55√10/2.
Пример 4
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 12, а боковое ребро AA1 равно 2√21. На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём CK = 8, а C1L = 1. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.
Показать ответ
б) 69√21
Решение
Так как A1C ⊥ γ, высота искомой пирамиды — отрезок от A1 до плоскости γ вдоль A1C. Объём равен ⅓ · S(сечения) · A1H = 69√21.
Пример 5
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 12, а боковое ребро AA1 равно 4√3. На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём CK = 5, а C1L = 1. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.
Показать ответ
б) 92√3
Решение
Так как A1C ⊥ γ, высота искомой пирамиды — отрезок от A1 до плоскости γ вдоль A1C. Объём равен ⅓ · S(сечения) · A1H = 92√3.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.