Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Сечение: периметр и площадь. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120° при вершине M. Образующая конуса равна 4. Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а) Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
а) Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
Показать ответ
б) 16√2
Решение
Радиус основания R = l·sin 60° и высота H = l·cos 60°. Сечение — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными образующей l = 4, и основанием, стягивающим дугу с косинусом −H2/R2 = −⅓. Отсюда площадь равна l2√2/3 = 16√2.
Пример 2
Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120° при вершине M. Образующая конуса равна 3. Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а) Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
а) Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
Показать ответ
б) 9√2
Решение
Радиус основания R = l·sin 60° и высота H = l·cos 60°. Сечение — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными образующей l = 3, и основанием, стягивающим дугу с косинусом −H2/R2 = −⅓. Отсюда площадь равна l2√2/3 = 9√2.
Пример 3
Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120° при вершине M. Образующая конуса равна . Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а) Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
а) Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
Показать ответ
б) √2
Решение
Радиус основания R = l·sin 60° и высота H = l·cos 60°. Сечение — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными образующей l = , и основанием, стягивающим дугу с косинусом −H2/R2 = −⅓. Отсюда площадь равна l2√2/3 = √2.
Пример 4
Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120° при вершине M. Образующая конуса равна 6. Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а) Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
а) Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
Показать ответ
б) 36√2
Решение
Радиус основания R = l·sin 60° и высота H = l·cos 60°. Сечение — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными образующей l = 6, и основанием, стягивающим дугу с косинусом −H2/R2 = −⅓. Отсюда площадь равна l2√2/3 = 36√2.
Пример 5
Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120° при вершине M. Образующая конуса равна 5. Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а) Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
а) Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
Показать ответ
б) 25√2
Решение
Радиус основания R = l·sin 60° и высота H = l·cos 60°. Сечение — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными образующей l = 5, и основанием, стягивающим дугу с косинусом −H2/R2 = −⅓. Отсюда площадь равна l2√2/3 = 25√2.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник5Треугольная призма: сечение — пятиугольник6Плоскость EFT через D₁: площадь сечения7Призма: α через BC₁ ∥ AB₁8Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения9Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)10α через K и B ∥ AC: площадь сечения11α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения12Плоскость APQ через середины рёбер: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.