Плоскость APQ через середины рёбер: площадь сечения — задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Сечение: периметр и площадь. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 2, BC = 3, AA1 = 12. Точки P и Q — середины рёбер A1B1 и CC1 соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B1C1 в точке U.
а) Докажите, что B1U : UC1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.
а) Докажите, что B1U : UC1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.
Показать ответ
б) 11√181/4
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 3; 0) нормаль плоскости APQ пропорциональна (−4·BC; 3·AA1·…), и она пересекает B1C1 в точке с ординатой ⅔·BC при любых рёбрах. Площадь сечения равна 11√181/4.
Пример 2
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 8, BC = 9, AA1 = 12. Точки P и Q — середины рёбер A1B1 и CC1 соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B1C1 в точке U.
а) Докажите, что B1U : UC1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.
а) Докажите, что B1U : UC1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.
Показать ответ
б) 33√14
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(8; 0; 0), D(0; 9; 0) нормаль плоскости APQ пропорциональна (−4·BC; 3·AA1·…), и она пересекает B1C1 в точке с ординатой ⅔·BC при любых рёбрах. Площадь сечения равна 33√14.
Пример 3
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 8, BC = 4, AA1 = 4. Точки P и Q — середины рёбер A1B1 и CC1 соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B1C1 в точке U.
а) Докажите, что B1U : UC1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.
а) Докажите, что B1U : UC1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.
Показать ответ
б) 22√17/3
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(8; 0; 0), D(0; 4; 0) нормаль плоскости APQ пропорциональна (−4·BC; 3·AA1·…), и она пересекает B1C1 в точке с ординатой ⅔·BC при любых рёбрах. Площадь сечения равна 22√17/3.
Пример 4
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 7, BC = 6, AA1 = 4. Точки P и Q — середины рёбер A1B1 и CC1 соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B1C1 в точке U.
а) Докажите, что B1U : UC1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.
а) Докажите, что B1U : UC1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.
Показать ответ
б) 99√2/4
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(7; 0; 0), D(0; 6; 0) нормаль плоскости APQ пропорциональна (−4·BC; 3·AA1·…), и она пересекает B1C1 в точке с ординатой ⅔·BC при любых рёбрах. Площадь сечения равна 99√2/4.
Пример 5
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 12, BC = 3, AA1 = 6. Точки P и Q — середины рёбер A1B1 и CC1 соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B1C1 в точке U.
а) Докажите, что B1U : UC1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.
а) Докажите, что B1U : UC1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.
Показать ответ
б) 33√11/2
Решение
В координатах A(0; 0; 0), B(12; 0; 0), D(0; 3; 0) нормаль плоскости APQ пропорциональна (−4·BC; 3·AA1·…), и она пересекает B1C1 в точке с ординатой ⅔·BC при любых рёбрах. Площадь сечения равна 33√11/2.
Другие темы задания №15
1Призма с квадратом: сечение ∥ BD₁ — периметр треугольника2Треугольная призма: сечение через A₁B₁ и середину BC3Параллелепипед: сечение через AC₁ — ромб4Конус 120°: сечение через вершину ⊥ образующей5Четырёхугольная призма: сечение — шестиугольник6Треугольная призма: сечение — пятиугольник7Плоскость EFT через D₁: площадь сечения8Призма: α через BC₁ ∥ AB₁9Плоскость ETD₁ делит BB₁: площадь сечения10Все рёбра a: сечение через AB и середину B₁C₁ (буквенный ответ)11α через K и B ∥ AC: площадь сечения12α через BA₁ ∥ CB₁: площадь сечения
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.